注冊設(shè)備工程師10年培訓(xùn)1

1、電磁場 與 電磁波第1章 矢 量 分 析.1.1 標(biāo)量場和矢量場 1.2 矢量與矢量場的不變特性 1.3 矢量的通量 散度 1.4 矢量的環(huán)量 旋度 1.5 標(biāo)量場的梯度 1.6 亥姆霍茲定理 第1章 矢量分析.本章學(xué)習(xí)根本要求 了解標(biāo)量場與矢量場的概念，并了解標(biāo)量場的等值面和矢量 的矢量線的概念； 深化了解矢量場的散度和旋度、標(biāo)量場的梯度的重要概念， 并掌握散度、旋度和梯度的計(jì)算公式和方法； 熟練掌握和運(yùn)用散度定理和斯托克斯定理； 了解亥姆霍茲定理的意義。.本章重點(diǎn)和難點(diǎn)1矢量場散度和旋度描畫了矢量場的不同性質(zhì)，留意它們的區(qū)別。2亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場的根本性質(zhì)。3標(biāo)量場的性質(zhì)可由它的梯度

2、來描畫。本章習(xí)題：1.1 1.13 1.23 .矢量：既有大小，又有方向的量稱為矢量。選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一個矢量可以由它在各坐標(biāo)軸上的投影來表示，如下圖：是各坐標(biāo)方向的單位矢量；A是矢量的模。假設(shè)矢量中的各分量是坐標(biāo)的函數(shù)，那么這個函數(shù)就是一個矢量函數(shù)。其中補(bǔ)充： 矢量的表示及運(yùn)算.矢量的加法和減法矢量相加和相減就是分別將矢量的各分量相加和相減，如下圖。如 .矢量的點(diǎn)積 標(biāo)積兩個矢量A和B的點(diǎn)積定義為： 點(diǎn)積的結(jié)果C是一個數(shù)量標(biāo)量，而不是一個矢量，其結(jié)果為： 如右圖所示。在直角坐標(biāo)系中，假設(shè) ：那么.矢量的叉積矢積 兩個矢量的叉積定義為： 矢量的叉積還是一個矢量，叉積得到的新的矢量方向垂直于由

3、叉積矢量構(gòu)成的平面，方向滿足右手螺旋法那么，其模值為： 在直角坐標(biāo)系下，叉積可以表示為：.補(bǔ)充 ：坐標(biāo)系及單位矢量矢量的單位矢定義為： 1.直角坐標(biāo) 直角坐標(biāo)系由三相互垂直的直線構(gòu)成。此三直線稱x、y 和 z軸。三軸線的交點(diǎn)是原點(diǎn)。用單位矢量：表征矢量分別沿x、y 和 z 分量的方向。 空間一點(diǎn) P(x , y , z)可以用它在三軸線上的投影獨(dú)一確實(shí)定。.位置矢量 (position vector 簡稱位矢) 是一個從原點(diǎn)指向點(diǎn) P 的矢量如圖示，可以用它的分量表示為： 其中 X、Y 和 Z 是 r 在 x、y和 z 軸上的投影。假設(shè)Ax 、Ay 和Az是 A的坐標(biāo)投影，那么 A 可寫成：在

4、直角坐標(biāo)系中體微分元為：在直角坐標(biāo)系中面微分元為：在直角坐標(biāo)系中線微分元為：.間隔矢量 (distance vector) : 從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的矢量稱為間隔矢量。例：求從點(diǎn) P ( x1 , y1 , z1) 到 Q ( x2 , y2 , z2) 的矢量 R 。解：令 r1 和 r2 分別為點(diǎn)和點(diǎn)的位置矢量，如圖。 那么 從點(diǎn) P 到點(diǎn) Q 的間隔矢量又稱為點(diǎn) Q相對于點(diǎn) P的相對位矢 R 為：.2.圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：由三個相互垂直的面組成：r=常數(shù)圓柱面= 常數(shù)半平面z= 常數(shù)平面.圓柱坐標(biāo)的微分元：圓柱坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系：圓柱坐標(biāo)中矢量表示：圓柱坐標(biāo)中其它關(guān)系見 附錄

5、1 P240.3.球坐標(biāo)由三個相互垂直的面組成：r=常數(shù)球面= 常數(shù)正圓錐面，即極角 = 常數(shù)半平面，即方位角其他見附錄教材P242.場的概念 假設(shè)某一個物理量在全部空間或一部分空間的每一點(diǎn)有確定的值,這樣就確定了這個量的一個場。場的一個重要屬性是它占有一個空間，它把物理形狀作為空間和時間的函數(shù)來描畫。標(biāo)量場(scalar field)：按上述場的定義,假設(shè)給定的量是數(shù)量,那么這個場叫做標(biāo)量場,又稱為數(shù)量場。溫度場、密度場、電位場、高度場等是標(biāo)量場。矢量場(vector field)：假設(shè)給定的量是矢量,那么它確定的場叫做矢量場。流速場、渦流場、電場、磁場等是矢量場。靜態(tài)場(static fi

6、eld)：假設(shè)場的變化與時間無關(guān)，這樣的場我們就稱為靜態(tài)場，簡稱靜場。時變場(time-varying field)：場的物理形狀隨時間變化的場稱為時變場。一個矢量場可以用它沿坐標(biāo)軸的三個分量來表示。例如在直角坐標(biāo)系中有：顯然上面的函數(shù)表示的是一個靜態(tài)的矢量場。(1.1.1)1.1標(biāo)量場和矢量場. 場是一個標(biāo)量或一個矢量的位置函數(shù),即場中任一個點(diǎn)都有一個確定的標(biāo)量值或矢量.例如,在直角坐標(biāo)下, 為標(biāo)量場 為矢量場矢量函數(shù)及微積分常矢量- 模和方向都堅(jiān)持不變的矢量；變矢量-模和方向或其中之一會改動的矢量；矢量函數(shù)-由一個或幾個標(biāo)量變量的函數(shù)表示的矢量。例如 靜電場的電場強(qiáng)度普通是空間坐標(biāo)位置的函

7、數(shù) E(x,y,z) 或 E(r) , 其三個坐標(biāo)分量普通也是x，y，z 或 r 的函數(shù)，即.設(shè)單變量的矢量函數(shù)為，那么導(dǎo)數(shù)的定義為：普通 1矢量的增量不一定與原矢量方向一樣； 2對常量 3假設(shè) f 為標(biāo)量函數(shù)，F(xiàn) 為矢量函數(shù)，那么 普通函數(shù)的積分根本法那么對矢量函數(shù)積分也都適用。但在柱、球坐標(biāo)中求矢量函數(shù)的積分時，要留意坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系，不能在任何情況下都將坐標(biāo)單位矢量提到積分號之外。 例如 在柱坐標(biāo)中：4在求單位矢量的導(dǎo)數(shù)時，要留意在不同坐標(biāo)系中其是常矢還是變矢。.場線(圖)-籠統(tǒng)描畫場分布的工具標(biāo)量場-等值線(面)，其方程為：圖1.1.3 等值線等值面在某一高度上沿什么方向高度變化最快

8、？這是由于單位矢量 而應(yīng)將柱坐標(biāo)的單位矢量變換成直角坐標(biāo)的單位矢量后來求：.矢量場 Fr-矢量線或力線、流線圖 矢量線如圖1.1.4所示。力線上恣意點(diǎn)的切線方向必定與該點(diǎn)的矢量方向一樣，即以直角坐標(biāo)表示其中：.在直角坐標(biāo)下力線方程為：二維場三維場那么可得.1.2 矢量與矢量場的不變特性不變 -即與坐標(biāo)系無關(guān)，而只與兩矢量的數(shù)值及它們之間的夾角有關(guān)。 描畫物理形狀空間分布的標(biāo)量函數(shù) r和矢量函數(shù)Fr，在時間為一定值的情況下，它們是獨(dú)一的，其大小或方向與所選擇的坐標(biāo)系無關(guān)。 即對于坐標(biāo)系的變換，r和 Fr的大小與方向堅(jiān)持不變。常用的正交坐標(biāo)系有三種：這三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)及單位矢量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系見附錄

9、1.例1.2.1 、例1.2.1見教材 P3P4 由矢量不變特性，可得以下恒等式：矢量函數(shù)在上述三種坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)有的關(guān)系為：.一、通量 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無源)圖0.3.1 矢量場的通量 圖0 矢量場的通量 1.3 矢量場的通量與散度矢量 E 沿有向曲面S 的面積分假設(shè)S 為閉合曲面 ，可以根據(jù)凈通量的大小判別閉合面中源的性質(zhì):.二、散度 假設(shè)包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以恣意方式減少為點(diǎn)P時, 通量與體積之比的極限存在，即散度(divergence)計(jì)算公式1.3.6其中為哈密頓算符.式1.3.6的證明： 在右圖所示的直角坐標(biāo)系中，我們以所研討的點(diǎn)(x,y,z)為頂點(diǎn)作

10、一個平行六面體，其三個邊分別為 ， 和 ，分別計(jì)算三對外表穿出的 的通量。從左，右一對外表穿出的凈通量等于從上，下一對外表穿出的凈通量等于從前，后一對外表穿出的凈通量等于.故從六面體穿出的凈通量等于令 ，那么 引入哈密頓算符所以. 在矢量場中，假設(shè) A= 0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；假設(shè)矢量場中處處 A=0，稱之為無源場。 A= 0 (無源 A= 0 (正源) A= 0 (負(fù)源)三、散度的物理意義 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)； 散度代表矢量場的通量源的分布特性.高斯定理的證明： 將閉合面 所圍的體積 分成許多體積元，計(jì)算包圍每個體積元的小閉合面上穿出的 的通量，然后疊

11、加。圖0 散度定理該公式闡明了區(qū)域中場 A與邊境 S 上的場 A之間的關(guān)系。高斯公式既矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。 對 體積積分等于該矢量 A 穿過包圍該體積的閉合面S的總通量四、高斯公式(散度定理)1.3.9.故得證。 由于相鄰兩體積元有一個公共外表，這個公共外表上的通量對這兩個體積元來說恰好等值異號，求和時就相互抵消了ds的方向總是取外法線方向。除了臨近S面的那些體積元外，一切體積元都是由幾個與相鄰體積元的公共外表包圍而成的，這些體積元的通量總和為零。而臨近S面的那些體積元，它們有部分外表是S面上的面元，這部分外表的通量沒有被抵消，其總和剛好等于從閉合面S穿出的通量。故得到：得： 由散

12、度的定義式：.該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運(yùn)動流體做渦旋運(yùn)動0，有產(chǎn)生渦旋的源例：流速場圖0 流速場圖 環(huán)量的計(jì)算1.4 矢量場的環(huán)流與旋度矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分一、環(huán)量.二、旋度1. 環(huán)流(量)密度 過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊境曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法那么。當(dāng)S點(diǎn)P時,存在極限環(huán)流密度取不同的途徑，其環(huán)量密度不同。2. 旋度 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。旋度(curl)它與環(huán)量密度的關(guān)系為.在直角坐標(biāo)系下證明如下：以M為頂點(diǎn)，取一個平行于yz面的矩形面元，那么面元矢量與x軸平行

13、，其模用 Sx 表示。M點(diǎn)的 沿回路1234的積分為故. 根據(jù)上述，此極限是 rotA 在 上的投影，也即rotA 在x軸上的投影。類似地，取面元 , 分別平行于y軸和z軸，用與上面一樣的運(yùn)算得到rotA 在y軸和z軸上的投影。所以.三、旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。 點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。 在矢量場中，假設(shè) A=J 0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J 稱為旋度源(或渦旋源)； 假設(shè)矢量場處處 A=0，稱之為無旋場。旋度有一個重要的性質(zhì)：任一矢量的旋度的散度恒為零。即 根據(jù)這一性質(zhì)，對于一個其散度恒為零的矢量

14、 B ，可把它表示為矢量 A 的旋度。即：.在電磁場實(shí)際中，Gauss公式和 Stockes公式是兩個非常重要的公式。 該公式闡明了區(qū)域 S 中場A與邊境 C 上的場A之間的關(guān)系； 矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。Stockes定理證明：將閉合回路 C 所圍的面積S 分成許多面元，計(jì)算沿包圍每個面積元的小閉合回路上的 A 的環(huán)流，然后疊加。運(yùn)用旋度矢量的定義式可得：四、斯托克斯(Stockes)定理圖 1.4.4 斯托克斯定理.圖1.4.4 斯托克斯定理可以看出，將上式一切環(huán)流相加時，各個小回路在公共邊上的那部分積分相互抵消由于相鄰小回路在公共邊境上積分方向一定相反，僅在沒有公共邊的部分沒有抵

15、消，故一切小回路環(huán)流的總和等于沿大回路C 的環(huán)流，即 該式左邊又可以寫為當(dāng)無限多個無限小的面元相加時，得故得證。.例 知矢量: 求: 解: .1.5 標(biāo)量場的梯度一、標(biāo)量的梯度 圖1.5.1 標(biāo)量場 u(r) 設(shè)有一個標(biāo)量場 ur= ux，y，z),圖中用不同的 u 值表示幾個曲面，每個曲面都由具有一樣 u 值的點(diǎn)所構(gòu)成，即它們分別是具有u 值為u1，u2，u3 的等值面。圖1.5.2 等值面 從場中某點(diǎn)位移dl 到臨近的另一點(diǎn)，此標(biāo)量值從 u 變化為u+du，在直角坐標(biāo)內(nèi)增量 du為：.那么 du 可表示為：而矢量 由于位移矢量圖1.5.2 等值面u 的梯度 稱為標(biāo)量場 u 的梯度。 假設(shè)在

16、等值面 u1=400 上沿等值面 切向取一段位移矢量 dl1 ，那么 因等值面上 u值沒有變化，故有：可見.所以梯度的定義：標(biāo)量場 u 在某點(diǎn)的梯度是一個矢量，其方向?yàn)?u 添加最大的方向，即等值面法線方向；其大小等于 u 在該方向上的添加率，即最大添加率。換言之，梯度是與等值面垂直的一個矢量。 假設(shè)用沿 u 添加方向的單位法向矢量 n 表示等值面上面元的方向，那么 設(shè)u1和u2=u1+du 為u 值相差很小的兩個等值面，如下圖。沿法向n的位移最短，u 的添加率最大。由又由式1.5.1.比較上兩式，得到梯度的模為：由式1.5.1可得其中二. 梯度的物理意義 標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)

17、的函數(shù); 標(biāo)量的梯度表示了標(biāo)量 u 添加率的最大值及方向。.梯度的有一個重要性質(zhì)：假設(shè)有矢量場 ，其旋度處處為0，那么 如電場強(qiáng)度 ，那么. 指向地勢升高的方向。 數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率； 與過該點(diǎn)的等高線垂直；高度場的梯度 指向電位添加的方向。 數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方導(dǎo)游數(shù)； 與過該點(diǎn)的等位線垂直；電位場的梯度圖0.2.1 三維高度場的梯度圖0.2.2 電位場的梯度例1 三維高度場的梯度例2 電位場的梯度.矢量場有兩種不同性質(zhì)的源：散度源：標(biāo)量，產(chǎn)生穿過曲面的通量，空間一點(diǎn)源的強(qiáng)度為矢量場在該點(diǎn)的散度；旋度源J ：矢量，產(chǎn)生的矢量場有渦旋的性質(zhì)，空間一點(diǎn)源的強(qiáng)度與矢量場在該點(diǎn)的 旋度成正

18、比。 1.6 亥姆霍茨定理任一矢量場能夠由上述二者之一產(chǎn)生，或由二者共同產(chǎn)生。普通的矢量場可表示成一個無散場和一個無旋場之和。即：其中： 為無旋場分量，其散度不為零，設(shè)為 ； 為無散度分量，其旋度不為零，設(shè)為 ，因此有 .由此式可知：F 的散度代表矢量場的一種源； F 的旋度代表矢量場的另一種源J 。當(dāng)、 J 給定后，矢量函數(shù) F 也就確定了。這就是亥姆霍茨定理。并可得到：.亥姆霍茨定理可了解為：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊境條件獨(dú)一地確定。知矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度場域邊境條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊境條件矢量F 獨(dú)一地確定例：判別矢量場的性質(zhì)=0=0=000=0.a矢性微分算子，有矢性和微分雙重性質(zhì)。b作用在數(shù)性函數(shù)或