書上的初等模型

1、數(shù)學(xué)建模12.1 數(shù)列模型模型實(shí)例模型評價(jià)2 個(gè)月還清。 分期付款的第一個(gè)月應(yīng)該付款 （萬元） 第二個(gè)月應(yīng)該付款 （萬元） 第三個(gè)月應(yīng)該付款 (萬元） 第20個(gè)月應(yīng)該付款 （萬元）一共付款 (萬元) （萬元） 或（萬元）即第十個(gè)月應(yīng)該付款55.5萬元，一共花了1255萬元。回顧：這是一個(gè)等差數(shù)列模型，第個(gè)月需還款是等差數(shù)列的求通項(xiàng)問題，求總和又是等差數(shù)列的求和問題。例1 某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元。購買當(dāng)天先付150萬元，以后每月這天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為1%。若交付150萬元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問到分期付款第10個(gè)月應(yīng)該付

2、多少錢？全部貸款付清后買這40套住房實(shí)際花了多少錢？分析：這是一個(gè)非等額分期付款問題，是數(shù)列模型的應(yīng)用題。每月還50萬元，欠款減少，但剩余欠款的欠款時(shí)間在增加。 模型實(shí)例3 分期付款的第一個(gè)月應(yīng)該付款 第二個(gè)月應(yīng)該付款 第三個(gè)月應(yīng)該付款 第20個(gè)月應(yīng)該付款 一共付款 解：由題意可知，需 個(gè)月還清。4或即第十個(gè)月應(yīng)該付款55.5萬元，一共花了1255萬元。是等差數(shù)列的求通項(xiàng)問題，求總和又是等差數(shù)列的求和問題。回顧：這是一個(gè)等差數(shù)列模型，第i個(gè)月需還款5例2 一對夫婦為給他們的獨(dú)生子女支付將來上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，從孩子一出生每年都到銀行儲蓄一筆錢。設(shè)大學(xué)學(xué)費(fèi)每年需2500元，四年共需1萬元，銀行儲蓄年利

3、率為11%。每年按復(fù)利計(jì)算，為了使到18周歲上大學(xué)時(shí)本利和共1萬元，他們每年需存多少錢？（精確到元， ) 分析：這是一個(gè)積攢學(xué)費(fèi)的問題，學(xué)費(fèi)每年2500元是一個(gè)不變的量，但逐年存入的錢到期時(shí)本利和構(gòu)成一數(shù)列，需求此數(shù)列的和，恰為1萬元。6（元） 解：設(shè)每年需存入x元，則7例3 某家庭為給其獨(dú)生孩子準(zhǔn)備一筆上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，從孩子出生起就在每年孩子生日這天到銀行儲蓄一筆錢。若目前上大學(xué)費(fèi)用為每年3000元，四年共需12000元，并因物價(jià)上漲等因素影響，學(xué)費(fèi)將以每年6%的幅度增加。假定銀行的年利率為4%，且在今后的18年內(nèi)不變，計(jì)復(fù)利，試問當(dāng)孩子18歲上大學(xué)時(shí)，要存滿相當(dāng)于上大學(xué)當(dāng)年的四年學(xué)費(fèi)，每年生

4、日時(shí)應(yīng)存入多少錢？ 分析：這也是一個(gè)積攢學(xué)費(fèi)的問題，與例2不同的是，題中涉及兩個(gè)數(shù)列。一個(gè)是四年所需學(xué)費(fèi)（逐年上漲）所構(gòu)成的數(shù)列，另一個(gè)是逐年所存入的錢到期時(shí)的本利和所構(gòu)成的數(shù)列。本題所需求的每年生日所存入多少錢才能使所有的存款的本息和等于18年后所需的學(xué)費(fèi)。 8解：12000元學(xué)費(fèi)，按6%的幅度增加，18年后應(yīng)為設(shè)每年應(yīng)存入 元，按復(fù)利計(jì)算，這個(gè)應(yīng)從孩子0歲到17周歲共存了18筆款，它們到孩子18周歲時(shí)，各筆款的存期分別為18年，17年，1年，因此它們的本利和為即每年需存入1284元. (元)回顧：本題可用計(jì)數(shù)器計(jì)算。通過本題的求解，可見認(rèn)真分析題中的隱含條件，熟練掌握建模方法是十分重要的。

5、本題的結(jié)果又告訴我們，教育投資應(yīng)從長計(jì)議。 9例6 年底，小王承包了一個(gè)小商店，一月初向銀行貸款10000元作為投資用于進(jìn)貨。每月月底可售出全部貨物，獲得毛利（當(dāng)月銷售收入與投入資金之差）是該月月初投入資金的20%，每月月底需要支付稅款等費(fèi)用共占該毛利的60%，此外，小王每月還得支付生活費(fèi)300元，余額作為下月投入資金用于進(jìn)貨，如此繼續(xù)。問到年底，小王擁有多少資金？若貸款利率為10.98%，問小王的純收入為多少？解：設(shè)第n個(gè)月的月底小王擁有資金元，貸款金額為a0，則整理得：分析：這是一個(gè)貸款經(jīng)營問題，要分清毛利與純收入之間的區(qū)別10這是一個(gè)非齊次的差分方程，即差比數(shù)列方程。設(shè) 則 （元）其中

6、(元)純收入為 即小王年底擁有資金19488.6元，純收入為8390.6元。(元)，11例8 在一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出他們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司承諾第一年月工資為1500元，以后每年月工資比上一年增加230 元；B公司承諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年月工 資的基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被兩家公司同時(shí)錄取，試問： 若該人分別在A或B公司連續(xù)工作n年，則他到第n年的月工資分別是多少？ 該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其它因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司？為什么？ 在月工資較多的公司工作月工資比月工資較少的公司每月多收入多少元

7、？（精確到元）并說明理由。 分析：A公司的月工資以年為單位是成等差數(shù)列遞增。B公司的月工資以年為單位成等比數(shù)列遞增，由此建立模型。12解：（1）設(shè)、分別為此人在A、B公司的第n年月工資，由已知可得此人在A、B公司工作第n年的月工資分別為)(2) 若此人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為(元)，同理在B公司連續(xù)工作10年，他的工資收入總量為 (元)，因?yàn)锳公司的收入總量較高，所以此人應(yīng)該選擇A公司。13(3) 此問題等價(jià)于求的最大值。當(dāng) 時(shí),若 ,則 即 時(shí)因此當(dāng)時(shí)，,于是當(dāng)時(shí)， 是數(shù)列的最大項(xiàng)，此時(shí) 即在A公司工作比在B公司工作的月工資最多可多827元。(元)，14例9 一電視臺某天有n次插播廣告時(shí)刻，一共播了m條廣告，第一次播了一條以及余下(m-1)條的1/8，第二次播了2條以及余下的1/8,以后每次按此規(guī)律插播廣告，在最后一次即第n次播了余下的最后n條廣告，問這幾天有幾次插播廣告？并求播出廣告的條數(shù)m。分析：這是一個(gè)比較現(xiàn)實(shí)的電視臺插播廣告問題，從已知條件建立數(shù)列模型。于是 解：設(shè)播出k次廣告后，還剩下 條廣告未播，則第k次播出的廣告條數(shù)為15由此遞推式可得： (1)由之定義可得 (2)(1)-(2)得 16 對于,顯然有又，而m是正整數(shù)，因此有即,此時(shí)?；仡櫍捍祟}巧妙構(gòu)思了數(shù)列的遞推式，而在解法上又應(yīng)用了方法，它是等差，等