概率密度及連續(xù)型隨機變量

1、 3 連續(xù)型隨機變量 除了離散型隨機變量之外，還有非離散型的隨機變量，這些隨機變量的取值已不再是有限個或可列個。在這類非離散型隨機變量中，有一類常見而重要的類型，即所謂連續(xù)型隨機變量。粗略地講，連續(xù)型隨機變量能夠在某特定區(qū)間內(nèi)任何一點取值。例如某種樹的高度；測量的誤差；計算機的使用壽命等等差不多上連續(xù)型隨機變量。關于連續(xù)型隨機變量，不能一一列出它可能取值，因此不能像對離散型隨機變量那樣用它取各個可能值的概率來描述它的概率分布，而是要考慮該隨機變量在某個區(qū)間上取值的概率，我們是用概率密度函數(shù)來研究連續(xù)型隨機變量的。概率密度和連續(xù)型隨機變量定義： 關于隨機變量，假如存在非負可積函數(shù)，使得關于任意實

2、數(shù)， 都有 ，則稱為連續(xù)型隨機變量；稱為的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度由定義可知，分布密度具有如下差不多性質(zhì):（）；（） 這兩條性質(zhì)的幾何意義是：概率分布密度曲線不在x軸下方，且該曲線與x軸所圍的圖形面積為1。性質(zhì)(1)、(2)能夠作為判定一個函數(shù)是否能夠作為一個連續(xù)型隨機變量的分布密度的條件。關于連續(xù)型隨機變量能夠證明，它在某一點處取值的概率為零，即關于任意實數(shù)，有即研究在某一點處取值的概率是沒有什么實際意義的。從而可知，研究在某區(qū)間上取值的概率時，該區(qū)間含不含端點，不阻礙概率值。即()關于任意實數(shù)， 都有設是連續(xù)型隨機變量，已知的概率密度為 其中為正常數(shù) 試 確定常數(shù)解： 由概率密度函

3、數(shù)性質(zhì)，知 二幾個常用的一維連續(xù)型隨機變量：1. 均勻分布：假如連續(xù)型隨機變量的概率密度為記作 因此上述定義中的概率密度能夠改為其中為一常數(shù)，利用概率密度的性質(zhì)，易得 指數(shù)分布:則稱服從指數(shù)分布（參數(shù)為），記為若服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則對任意，有如燈泡、電子元件的壽命，電話的通話時刻等都被認為是服從指數(shù)分布的。正態(tài)分布:定義：假如連續(xù)型隨機變量的概率密度為能夠證明： =1標準正態(tài)分布：當參數(shù)0而時，即，稱服從標準正態(tài)分布，記標準正態(tài)分布的概率密度為，則 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布。一方面，正態(tài)分布是實踐中最常見的一種分布，例如測量的誤差，人的身高、體重，農(nóng)作物的收獲量，大批學生的考試

4、成績等等，都近似服從正態(tài)分布。一般講來，若某一數(shù)量指標受到專門多相互獨立的隨機因素的阻礙，而每個因素所起的作用都專門微小，則那個數(shù)量指標近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，許多分布在一定條件下能夠用正態(tài)分布來近似，因此在概率數(shù)理統(tǒng)計的理論和實際應用中，正態(tài)分布都有著十分重要的地位。性質(zhì)： (a) 在直角坐標系內(nèi)的圖形呈鐘形;(b) 在處得最大值(c) 關于直線對稱；在處有拐點；(d) 假如固定，改變的值，則的圖形沿x軸平行移動，而不改變其形狀，可見形狀完全由決定，而位置完全由來決定當時，曲線以x軸為漸近線; 當大時，曲線平緩, 當小時，曲線陡峭（）標準正態(tài)分布的隨機變量落在區(qū)間中的概率：標準正態(tài)分布密度，記，當，其函數(shù)值可查本書的附表， ，其中（）；（）：可直接查本書的附表，得（）：；【例】設，則（）一般正態(tài)分布的隨機變量落在區(qū)間中的概率：只要搞清晰一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系，即可利用標準正態(tài)分布求得一般正態(tài)分布的隨機變量落在區(qū)間中的概率具體地，設，則令則有，轉化為標準正態(tài)分布，查本書的附表，就可得這概率特不地，；， 由上面三式可見，服從正態(tài)分布的隨機變量之值差不多上落在區(qū)間內(nèi)， 而幾乎不在區(qū)間外取值【例】，求解：三例題：【例4】 對以下各題隨機變