勾股定理習(xí)題(附答案)

1、勾股定理評估試卷（1）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.直角三角形一直角邊長為12,另兩條邊長均為自然數(shù)，則其周長為（）.(A) 30(B) 28(C) 56(D)不能確定2.宜角三角形的斜邊比一直角邊長2 cm.另一直角邊長為6 cm,則它的斜邊民3.4 cm8 cm10 cm(D)12 cm已知一個Rt的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（(A) 25(B) 14(C) 7(D)7或254.等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為（）5.(A) 13(B) 8(C) 25(D) 61五根小木棒,其長度分別為7, 15, 20, 24, 25,現(xiàn)將他們提成兩個直角三角形，

2、其中正確的是（）.6.將立角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是（A）鈍角三角形 （B）銳角三角形 （C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如圖小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（8.三角形的三邊長為（。+ /，尸=c2 + lab ,則這個三角形是（）（A）等邊三角形（B）鈍角三角形 （C）直角三角形（D）銳角三角形.9.ZXNC=90 , AC=30米,AB=50米,如果要在這塊空地上種植草皮,按每平方米草皮。元計算，那么共需要資50。元600。元1200 元1500 元10.如圖，ABLCD 于 B,ABD和4BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17, BE=

3、5,那么AC的長為（）.(B) 7(C) 5(D) 13(A) 12（第10題）（第11題）（第14題）二、填空題（每小題3分，24分） 1L如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯衣面鋪地毯,地毯的K度至少需要 米.在直角三角形A8C中，斜邊 46二2,AB2 + AC2 + BC: =.直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為.如圖，在aABC中，NC=90 , BC=3, ACF.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓的面積是.（第17題）.如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛 米.如圖，A4BC

4、中，ZC=90 , 48垂直平分線交8c于。若8c=8, AD=5,則AC等于.如圖，四邊形A6C。是正方形，AE垂宜于6E,且BEM,陰影部分的面積是.18.如圖，所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊和長為7c皿則正方形A, B, C, D的面枳之和為 cm2.cm， 7笫18三、解答題（每小題8分，共40分）19.11世紀的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題：“小溪邊長著兩棵棕檎樹，恰好隔岸相望.一棵樹高是30肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵高20 肘尺：兩棵棕桐樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然，兩只鳥同時看見

5、棕擱樹間的水 面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到達目標(biāo).問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高的棕才閭樹的樹跟有多 遠？20.如圖，己知一等腰三角形的周長是16,底邊上的高是4.求這個三角形各邊的長.A21.如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD二30 T米，且CD二30米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每T米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少?L第21題圖求這塊地的面枳。22.如圖所示的一塊地，NADC=900 , AD口2m, CD=9m, AB=39m, BC=36m,23

6、.如圖，一架2. 5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻卜滑0. 4米，那么梯足將向外移多少米?四、綜合探索（共26分）（12分）如圖,某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報,在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km,那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如 果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的 幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？（14 分）（：中，BC= a , AC=，AB=C,若 NC=90 ,如圖（1）

7、,根據(jù)勾股定理，則。2+二=1,若ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3）,請你類比勾股定理，試猜想與/的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖1參考答案一、1. (D)； 2. (C)： 3. (D)； 4. (B)； 5. (C)： 6. (C)； 7.(B)： 8. (C)； 9. (B)； 10. (D)；當(dāng)是鈍角三角形時,探索勾股定理測試卷姓名二、li.7： 12.8： 13.24： 14.一乃；15. 13： 16.4： 17.19： 18.49： 三、19.20； 20,設(shè) BD=x,則 AB=S-x由勾股定理，可以得到ABjBD斗AD二，也就是(8-x)x斗個.所以 x=3,所以 AB=A

8、C=5, BC=6A,連結(jié)BA,與CD交于點E,則E點即為所求.總費用150萬元.4 23. 0.8 米；四、綜合探索24.4小時，24小時.25.解：若是銳角三角形，則有ajbc?若ABC是鈍角三角形，NC為鈍角，則有屋+bY? TOC o 1-5 h z 當(dāng)?shù)?7是銳角三角形時，/ :/ I/ I證明：過點A作AD_LCB,垂足為D。設(shè)CD為X,貝lj有DB=a 4、一-、R根據(jù)勾股定理得 b:x2=c:(a-x):即 b2x:=c:-a2+2ax-x2:.a2+b2=c2+2axVa0 x02ax0 a2+b2c:證明：過點B作BDAC,交AC的延長線于點D.設(shè)CD為x,則有DBla，一

9、X?根據(jù)勾股定理得 (b+x)-+a-x2=c-即 b2+2bx+x2+a2x2=c2a2 + b:4-2bx=c:Vb0t x0.e.2bx0:.a2+b:l),A 2nB n+1 Cn* 1 3、已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm, AD=9cm,將此長方形折總，使點B與點D重合，折痕為EF,則AABE的面積為A6 cmB 8cm C 10cm- D 12cm-4、己知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港I I A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船 以12海里/時的速度同時從港II A出發(fā)向東南方向航行，離開港11 2小時后，則兩船相 距A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40

10、海里填空題（每題6分）5、在 RtZkABC 中，ZC=90 ,若 a=5, b=12,則 c三;若 a=15 c=25,則 b=8、在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬卜.樹走到離樹20米處的池塘的 A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng) 過的距離相等，則這棵樹高 米。三、解答題（每題13分）9、小明的叔叔家承包了一個矩形魚池，已知其面枳為48m,其對角線長為10m,為建柵欄，要計算這個矩形魚 池的周長，你能幫助小明算一算嗎？10、己知，如圖，四邊形 ABCD 中，AB=3cm, AD=4cm, BC=13cm. CD=12cm,且NA=90,求四邊形A

11、BCD的面積0A11、太陽剛剛從地平線升起，巴河姆就在草原上大步朝東方走去，他走了足足有10俄里才左拐彎，接著又走了 許久許久，再向左拐彎，這樣又走了 2俄里，這時，他發(fā)現(xiàn)天色不早了，而自己離出發(fā)點還足足有17俄里，于 是改變方向，拼命朝出發(fā)點跑去，在口落前趕回了出發(fā)點。這是俄羅斯大作家托爾斯泰在作品一個人需要很多 土地嗎中寫的故事的一部分。你能算出巴河姆這一天共走了多少路？走過的路所圍成的土地面枳有多大嗎？12、如圖1,是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形，兩立角邊的長分別為a和b,斜邊長為c：如圖2是以c 為直角變的等腰直角三角形，請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形。畫出拼成

12、的這個圖形的示意圖，寫出它的名稱；用這個圖形證明勾股定理；設(shè)圖1中的直角三角形由若干個，你能運用圖1中所給的直角三角形拼出另外一種能證明勾股定理的圖形嗎？請 畫出拼成后的示意圖。（無需證明）圖1探索勾股定理（二）.填空題（1）某養(yǎng)殖廠有一個長2米、寬1.5米的矩形柵欄，現(xiàn)在要在相對角的頂點間加固一條木板，則木板的長應(yīng)取米.（2）有兩艘漁船同時離開某港門去捕魚，其中一艘以16海里/時的速度向東南方向航行，另一艘以12海里/時 的速度向東北方向航行，它們離開港口一個半小時后相距 海里.（3）如圖1：隔湖有兩點A、B,為了測得A、B兩點間的距離，從與AB方向成直角的BC方向上任取一點C,若 測得CA

13、=50m, CB=40m,那么A、B兩點間的距離是.圖1.已知一個等腰三角形的底邊和腰的長分別為12cm和10cm,求這個三角形的面枳.在 ABC 中，NC二900 ,（1）求這個三角形的斜邊AB的長和斜邊上的高CD的長.（2）求斜邊被分成的兩部分AD和BD的長.如圖2,要修建一個育苗棚,棚高h=L8m,棚寬a=2.4m,棚的長為12m,現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜,試求 需要多少平方米塑料薄膜？.如圖3,已知長方形ABCD中AB=8cm, BC=10cm,在邊CD上取一點E,將AADE折疊使點D恰好落在BC邊上的 點F,求CE的長.勾股定理練習(xí)題：練習(xí)一：（基礎(chǔ)）.三角形的腰長為13,底邊長為1

14、0,則頂角的平分線為.：12 ： 13,它的周長為60,則它的面積是.a, b, c為4ABC三邊且滿足（萬一萬）（才+萬一3） =0,則它的形狀為（）A.直角三角形C.等腰直角三角形B.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形4.如圖，一圓柱高8cm,底面半徑2cm, 一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（乃取3） 是（）.(A) 20cm(B) 10cm(C) 14cmABC 中，斜邊 AB=2,貝ij AB:+BC+ACJ.（D）無法確定. Rt一直角邊的長為11,另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長為（）A、121 B、120 C、132 D、不能確定.如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC,若小方

15、格邊長為1,則ABC是（）.如果果的兩直角邊長分別為以一L2n（nl那么它的斜邊長是（A、2nB、n+1C、n1D、n:+lABC中，/。= 90。,若1 + /? = 7,48（：的面積等于6,則邊長 ABC 中，Z4CS = 9()o.AC = 12,8C=5,4N=貝MN=11. 一個直角三角形的三邊長的平方和為200,則斜邊長為 10ABC是直角三角形，兩直角邊都是6,在三角形斜邊上有一點P,到兩直角邊的距離相等，則這 個距離等于13.如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想 把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短

16、路程是多少？1 / l*kin14、有一個直用三角形紙片，兩直角邊AC=6cm, BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿NCAB的角平分線AD折疊, 使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？15.校園里有一塊三醉形空地，現(xiàn)準備在這塊空地上種植草皮以美化環(huán)境，已經(jīng)測量出它的三邊長 分別是13、14、15米，若這種草皮每平方米售價120元，則購買這種草皮至少需要支出多少？16、如圖，在AABC中，ZB=90B, AB=BC=6,把ABC進行折登，使點A與點D重合，BD:DC=1:2, 折痕為EF,點E在AB上，點F在AC上，求EC的長。提高題：1、直角三角形的面積為S,斜邊上的中線長為d,則

17、這個三角形周長為()(A) J/ + S+2d(B) y/d2-S-d(C) 2J/+S +2d(D) 24d，S+d2.在A4SC中，AB = AC = l. 6。邊上有2006個不同的點匕優(yōu)，以雙， 記m. = AP2 + BP PC(i = L2,2006),則叫 + m2 + m2W)f =解：如圖，作AZ)_L6C于。，因為= AC = 1,則6 = CD.由勾股定理，得 A5, =+ bD?, AP2 = AD2 + PD2.所以AB2- AP2 = BD2 - PD2=(BD - PD)(BD + PD) = BP . PC所以 A尸+ 6PPC = AZf = f.因止匕町 +

18、 ?, + 7.006 = I2 x 2006 = 2006. A一_UW3派.如圖所示，在用A48C中，/24。= 90。,4。=4氏44七=45。，且8。= 3, 。七二4,求。：的長.解:如右圖：因為AA5C為等腰直角三角形，所以NA5D = NC = 45。.所以把A4EC繞點A旋轉(zhuǎn)到A4FB,則AFB = AEC.所以=EC = 4,4尸=AE,/48尸=NC = 45。.連結(jié)OE所以AD5尸為直角三角形.由勾股定理,得。尸=6尸+6。三4,35二所以。尸=5.因為 zDAE=45,所以 n)AF=n0A5+ C=45。.所以AADE且ADF勺AS1所以 DE=DF=5.4、如圖，在

19、AABC中，AB=AC=6, P為BC上任意一點，請用學(xué)過的知識試求PC-PA+PA，的值。5、如圖在RtABC中，ZC = 90,AC=4C=3在RtABC的外部拼接一個合適的直角三角形,9使得拼成的圖形是一個等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三 邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫出正確的圖形）解：要在RtAABC的外部接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，關(guān)鍵是 腰與底邊的確定。要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識。下圖中 的四種拼接方法供參考

20、。答案：選擇即B 2、 D 3、 A 4、 D填空題5、 13 20 11 24 ： 6、49 ： 7、5 ：8、25解答題9、28m10、解：連接BDZA = 90BD=ylAB (1) 2.5(2) 30(3) 30 米 2.如圖：等邊ABC 中 BC=12cm, AB=AC=10cm +AD2 = 5又5,12,13是一組勾股數(shù)AB 8是直角三角形e- S 四邊杉 abcd = -x3x4 + x5xl2 = 3611、根據(jù)題意畫出圖形，已知北二10,1)寸8二2,疝二17RkD ED = ylAD2-AE2 = 15周長為10+15+2+17 = 44(俄里)面積為(2 + 10)x1

21、5 = 90(平方俄里)212、(1)直角梯形(2)根據(jù)面積相等可得：a-hb)(a + b) = abx2 + -c2化簡得：a2 +b2 = c2(3)n作ADLBC,垂足為D,則D為BC中點，BD=CD=6 cm 在 RtABD 中，AD：=AB：-BD：=10：-6：=64AD=8cmAS.3二-BC AD=- X12X8=48 (cm2)223.解：(1) ABC 中,ZC=90DCAAB:=AC:+BC：=2. f:S3AC BCAB CD 22.AC BC=AB CDAC8C_2.lx2.8AB 3T=1.68 (cm)(2)在RtZkACD中,由勾股定理得:AD:+CD:=AC

22、:ad Jac 二一CD： =(2. 1+1.68) (2. 1-1.68)XO. 42=2XX2X=2：X9X XAAD=2X3XO.21=1.26 (cm)ABD=AB-AD=3. 51. 26=2. 24 (cm).解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜邊長為3m,所以矩形塑料薄膜的面枳是：3X12=36 (m：).解：根據(jù)題意得：RtAADERtAAEFNAFE=90 , AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=x cm,則 DE二EF二CD-CE=8一x在RtAABF中由勾股定理得：AB：+BF：=AF 即 8:+BF=10/. BF-6 cmACF=BC-BF=10-6=

23、4 (cm)在RtAECF中由勾股定理可得：EF:=CE:+CF 即(8x) W+42/. 64 - 16x+x*=x：+16% x=3 (cm),即 CE=3cm一.選擇題（共10小題）1. （2016淄博）如圖，正方形ABCD的邊長為10, AG=CH=8, BG=DH=6,連接GH,則線段GH的長為A班 R5（2016漳州）如圖，在回（：中，AB=AJ5, BC=8, D是線段BC上的動點（不含端點B、C）.若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有（）A. 5個B. 4個C. 3個D. 2個（2016青海）如圖，正方形ABCD的邊長為2,其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該

24、等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2, 按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S9的值為（）A. 1C. 3D. 4（2016東營）在AABC 中，AB=10t AC=2/To，BC 邊上的高 AD=6,則另一邊 BC 等 于（）A. 10 B. 8 C. 6 或 10 D. 8 或 10（2016株洲）如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角 三角形和正方形，上述四種情況的面枳關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形個數(shù)有（）a. 2（2016黔東南州）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國占代數(shù)學(xué)家 趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方

25、形拼成的大正方形，如圖所示, 如果大正方形的面積是13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短宜角邊長為a,較長直 角邊長為b,那么（a+b） 2的值為（）（2016南京）下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）A. 3, 4, 4 B. 3, 4, 5 C. 3, 4, 6 D. 3, 4, 7（2016綿陽）如圖，沿AC方向開山修建一條公路，為了加快施工進度，要在小山的另 一邊尋找點E同時施工，從AC上的一點B取NABD=150。，沿BD的方向前進，取N BDE=60,測得BD=520m, BC=80m,并且AC, BD和DE在同一平面內(nèi)，那么公路CE 段的長度為（）A. 180m B.

26、26O/3m C. （260-80） m D. （260-80） m TOC o 1-5 h z （2016達州）如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點A, B, C, D中任取三 點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）a- B.工 C. 2 D.芭3234（2016杭州）已知立角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n （mVn）,過銳角頂點把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則（）A. nr+2mn+n2=O B. nr - 2mn+n2=O C. m2+2mii - n2=0 D. nr - 2nin - n2=0 二.填空題（共10小題）（2016資陽）如圖

27、，在等腰直角加（：中，ZACB=90, CO_LAB于點O,點D、E分 別在邊AC、BC上，且AD=CE,連結(jié)DE交CO于點P,給出以卜結(jié)論：ADOE是等腰立角三角形：ZCDE=ZCOE：若AC=1,則四邊形CEOD的面積為工:4ALAb匕2.2OP2=2DPTE其中所有正確結(jié)論的序號是.（2016棗莊）如圖,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù):AM=4米，AB=8米，NMAD=45。，ZMBC=30,則警示牌的高CD為 米（結(jié)果精確到0米,參考數(shù)據(jù):V2=1.41, V3-1.73）.C客霧路段MHB（2016哈爾濱）在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90% AC=

28、3,點P為邊BC的三等 分點，連接AP,則AP的長為.（2016江西三模）如圖，RtZABC中，ZABC=90, DE垂立平分AC,垂足為O, AD BC,且 AB=5, BC=12,則 AD 的長為.（2016南崗區(qū)模擬）在（：中，ZABC-300, AB=8, AC-2聽，邊AB的垂直平分 線與直線BC相交于點F,則線段CF的長為.（2016道外區(qū)一模）如圖，在ZkABC中,ZACB=90, AC=BC, P為三角形內(nèi)部一點, 且 PC=3, PA=5, PB=7,則PAB 的面積為.（2016余干縣二模）如圖，在ABC中，AB=AC=4, AO=BO. P是射線CO上的一個 動點，ZAO

29、C=120,則當(dāng)APAB為直角三角形時，AP的長為.（2016通州區(qū)一模）在我國占算書周髀算經(jīng)中記載周公與商高的談話,其中就有勾 股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱作商高定理.如圖1是由邊長相等的小 正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系臉證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得 到的，ZBAC=90, AB=3, AC=4,則D,E. F, G, H, I都在矩形KLMJ的邊上，那么 矩形KLMJ的面枳為.（2016富順縣校級模擬）如圖,在一根長90cm的燈管上,纏滿了彩色絲帶,已知可近 似地將燈管看作圓柱體，且底面周長為4cm,彩色絲帶均勻地纏繞了 30圈，則彩色絲帶的 總長

30、度為.0 W）（2016南陵縣一模）如圖，要使寬為2米的矩形平板乍ABCD通過寬為2&米的等寬 的直角通道，平板車的長不能超過 米.三.解答題（共10小題）（2016春周口期末）在四邊形ABCD中,AB=AD=8, ZA=60, ZD=150,四邊形周 長為32,求BC和CD的長度.（2016徐州模擬）一、閱讀理解：在 ABC 中，BC-a, CA-b, AB=c：（1）若NC 為直角,RiJ abc2；（2）若NC為銳角，則a?+b2與c?的關(guān)系為：a2+b?c2；（3）若NC為鈍角，試推導(dǎo)a?+b2與c2的關(guān)系.二、探究問題：在中，BC=a=3, CA=b=4, AB=c,若是鈍角三角形，

31、求第三 邊c的取值范圍.若三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是x、y和z,滿足xZ+y2 稱這個三角形為勾股三角形.根據(jù)上述定義，“點角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題；已知一勾股三角形三個內(nèi)角從小到大依次為x、v和z,旦xy=2160.求x+v的值:如圖，ZiABC中，ABN%, BC=2, AC=1+V3求證：的（：是勾股三角形.（2016陜西校級模擬）超速行政是引發(fā)交通事故的主要原因,上周末，小鵬等三位同學(xué) 在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路1的距離為100 米的P處.這時，輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時 間為3秒，并測得NAP

32、O60。，NBPO-45。，試判斷此車是否超過了每小時80 T米的限制 速度？（參考數(shù)據(jù)：V2=1.41, V3=1.73）（2016丹東模擬）校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點問題，安全險患主要是超速和超載, 某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組進行了測試汽車速度的實驗.如圖，先在筆直的公路1旁選取一 點A,在公路1上確定點B、C,使得AC_LL ZBAC=60,再在AC上確定點D,使得/ BDO75。，測得AD-40米.已知本路段對校車限速是50 T米/時，測得某校車從B到C勻 速行駛用時10秒.（1）求CD的長.（結(jié)果保留根號）（2）問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參號數(shù)據(jù)：6=1.414, 61

33、.73）（2016長春模擬）探索：如圖，以的邊AB、AC為直角邊，A為直角頂點， 向外作等腰直角aabd和等腰直角ACE,連結(jié)be、CD,試確定BE與CD有怎樣數(shù)量關(guān) 系，并說明理由.應(yīng)用：如圖，要測量池塘兩岸B、E兩地之間的距離，已知測得/ABC=45。，NCAE=90。,（2016東明縣一模）如圖，已知中，NBAC=90。，AB=AC. D為線段AC上任 一點，連接BD,過C點作CEAB且AD=CE,試說明BD和AE之間的關(guān)系，并證明.（2016安徽模擬）如圖，在RtZXABC中，ZC-90% AOBC,點D在AB的垂直平分 線上，NDAB=15。且 ADTOcm,求 BC 的長.（201

34、6春豐城市期末）如圖，已知四邊形ABCD中，NB=90。，AB=3, BC=4, CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面機（2016春柳江縣期末）如圖，某中學(xué)行一塊四邊形的空地ABCD,學(xué)校計劃在空地上 種植草皮，經(jīng)測量NA=90。，AB=3m, BC=12m, CD=13m, DA=4m,若每平方米草皮需要 200元，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？勾股定理11111111參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題）（2016淄博）如圖，正方形ABCD的邊長為10, AG=CH=8, BG=DH=6,連接GH,則線段GH的長為（A.B. 22 C. D.10-5&55【考點】勾股定理.【分

35、析】延長BG交CH于點E,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明ABGgZXCDH/ZXBCE,可得 GE=BE-BG=2、HE=CHCE=2、ZHEG=90,由勾股定理可得GH的長.【解答】解：如圖，延長BG交CH于點E,在ADG和aCDH中，(期二 CD 二 10 AG=CH=8 ，bG=DH=6A AABGACDH (SSS), ag2+bg2=ab2, ，N1=N5, Z2=Z6, ZAGB=ZCHD=90% .*.Z1+Z2-90% Z5+Z6-90% XVZ2+Z3=90, N4+N5=900, N1=N3=N5, N2=N4=N6, 在AAEG和ABCE中，N1 =/3 AB二BC ,Z2=Z4A

36、AABGABCE (ASA), ，BE=AG=8, CE-BG=6, ZBEC-ZAGB=90, / GE=Bb - BG=8 - 6=2, 同理可得HE=2,在RTZXGHE中，GH=而再必=五號/=2兆,故選：B.【點評】本題主要考無正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜 合運用，通過證三角形全等得出GHE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.（2016漳州）如圖，在ABC中，AB=AC-5, BC=8, D是線段BC上的動點（不含端點B、C）.若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有（）A. 5個B. 4個C. 3個D. 2個【考點】勾股定理：等腰三角形的性質(zhì).【專題】分類討

37、論.【分析】首先過A作AE_LBC,當(dāng)D與E重合時，AD最短，首先利用等腰三角形的性質(zhì) 可得BE=EC,進而可得BE的長，利用勾股定理計算出AE長，然后可得AD的取值范圍, 進而可得答案.【解答】解：過A作AELBC,VAB=AC.AEC-BE-BC-4,AAE=V52 - 4 （2016青海）如圖，正方形ABCD的邊長為2,其面積標(biāo)記為Si,以CD為斜邊作等腰 直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2, 按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S9的值為（）:D是線段BC上的動點（不含端點B、C）.3WADV5,，AD=3 或 4,線段AD長為正整數(shù)，點D的個數(shù)共有3個，故

38、選：C.B DE【點評】此題主要考充了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是正確利用勾股定理計算出 AD的最小值，然后求出AD的取值范圍.【考點】勾股定理.【分析】根據(jù)等腰宜角三角形的性質(zhì)可得出S2+S2-S：,寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“Sn=（工）3，依此規(guī)律即可得出結(jié)論. 2【解答】解：在圖中標(biāo)上字母E,如圖所示.:正方形ABCD的邊長為2, ZCDE為等腰直角三角形， /.de2+ce2=cd2, de=ce,AS2+S2=Si.觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Si=22=4, S2Si=2, S3S2=1，S4=S3=- 22226（X） n3. 2當(dāng) n=9 時，So= （1 9-3=

39、（_）6, 22故選:A.【點評】本題考杳了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律S（工）3”.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，寫出部 2分工的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵.（2016東營）在ZABC 中,AB=10, AC=2V10 BC 邊上的高 AD=6,則另一邊 BC 等 于（）A. 10 B, 8 C. 6 或 10 D. 8 或 10【考點】勾股定理.【分析】分兩種情況考慮，如圖所示，分別在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，利 用勾股定理求出BD與CD的長，即可求出BC的長.【解答】解：根據(jù)即意畫出圖形，如圖所示，如圖

40、1 所示，AB=1O. AC=2VIU AD=6, 在 RtAABD 和 RtAACD 中，根據(jù)勾股定理得：BD=Jab2 - AD凄S，CD=VAC-AD2此時 BC-BD+CD-8-2-10：如圖 2 所示，AB=10, AC=2/T0，AD=6, 在 RtAABD 和 RtAACD 中，根據(jù)勾股定理得：bd=7aB2 - AD 2=8, CD=VAC 2 - AD 2=2, 此時 BC=BDCD=82=6.則BC的長為6或10.故選C.B圖力C 8圖？ c D【點評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.（2016株洲）如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半

41、圓，等腰直角A. 1 B. 2C. 3 D. 4三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足Si+S2ns3圖形個數(shù)有（）【考點】勾股定理.【專題】計算題：推理填空題.【分析】根據(jù)直角三角形a、b、c為邊，應(yīng)用勾股定理，可得a2+b?=c2.（1）第個圖形中，首先根據(jù)等邊三角形的面枳的求法，表示出3個三角形的面枳：然后 根據(jù) a2+b2-c2，可得 S1+S2-S3.（2）第二個圖形中，首先根據(jù)圓的面積的求法，表示出3個半圓的面積：然后根據(jù)a2+b2=c2, 可得S1+S2ss3.（3）第二個圖形中，苜先根據(jù)等腰直角三角形的面枳的求法，表示出3個等腰直角二角形 的面積：然后根據(jù)？+小F2,可得S

42、1+S2-S3.（4）第四個圖形中，首先根據(jù)正方形的面積的求法，表示出3個正方形的面枳；然后根據(jù) a2+b2=c2 S 1+82=83.【解答】解：（1） Si-la2, S2-2, S3迄2,AS1+S2-S3.(2) Si=a2, S2-b2 S3=-c2,444: a2+b2-c2,，S1+S2=S3.(3 ； Si=a， S2=b,S3中,25 D. 1694a?*?,.32十氫2上,444/S1+S2=S3.（4） Si=a2, S2-b2 S3C2*.* a2+b2=c2./. S1+S2=S3.綜上，可得面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形有4個.故選：D.【點評】（1）此題主要考查

43、了勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在 任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.（2）此題還考重了等腰直角三角形、等邊三角形、圓以及正方形的面積的求法，要熟練掌 握.（2016妗東南州）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國占代數(shù)學(xué)家 趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示, 如果大正方形的面枳是13,小正方形的面枳為1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直 角邊長為b,那么（a+b） 2的值為（）【考點】勾股定理的證明.【專題】數(shù)學(xué)建模思想：構(gòu)造法：等腰三角形與直角三角形.【分析】根據(jù)題意，結(jié)

44、合圖形求出ab與f+b?的值，原式利用完全平方公式化簡后代入計 克即可求出色.【解答】解：根據(jù)題苣得：c2=a2+b2=13, 4xlab=13- 1=12,即 2ab=12,2貝ij （a+b） 2-a2+2ab+b2-13+12-25, 故選C【點評】此題考查/勾股定理的證明，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握勾股定理是解本題 的關(guān)鍵.（2016南京）下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）A. 3, 4, 4 B. 3, 4, 5 C. 3, 4, 6 D. 3, 4, 7【考點】勾股定理的逆定理.【分析】在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角 三角形；滿

45、足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形：滿足較小兩邊平方的和小 于最大邊的平方是鈍角三角形，依此求解即可.【解答】解：A、因為32+4242,所以三條線段能組銳角三角形，不符合題意：B、因為32+4252,所以三條線段能組成立角三角形，不符合即意：C、因為3+46,且32+42V6?,所以三條線段能組成鈍角三角形，符合題意；D、因為3+4=7,所以三條線段不能組成三角形，不符合題意.故選：C.【點評】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a, b, c滿足+b2y2,那么 這個三角形就是直角三角形.掌握組成鈍角三角形的條件是解題的關(guān)鍵.（2016綿陽）如圖，沿AC方向開山修建一

46、條公路，為了加快施工進度，要在小山的另 一邊尋找點E同時施工，從AC上的一點B取NABD750。，沿BD的方向前進，取N BDE=60,測得BD=520m, BC=80m,并且AC, BD和DE在同一平面內(nèi),那么公路CE 段的長度為（）A. 180m B. 26（h/3iii C. （26O/3- 80） m D. （26O/2- 80） m【考點】勾股定理的應(yīng)用.【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NE的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求BE, 再根據(jù)線段的和差故選即可得出結(jié)論.【解答】解：在ZkBDE中，NABD 是4BDE 的外角，NABD=150。，ZD=60%:.NET 50。- 60

47、=90,VBD=520m,Vsin60-BE BE , BD 520DE=520sm600=260G (m), 公路C匕段的長度為26g-30 (m). 答：公路CE段的長度為(260y-80) m.故選：c.【點評】本期考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟知三角形外角的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義 是解答此題的關(guān)鍵.（2016達州）如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點A, B，C, D中任取三 點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）3234【考點】勾股定理的應(yīng)用.【分析】從點A, B, C, D中任取三點，找出所有的可能，以及能構(gòu)成直角三角形的情況 數(shù)，即可求出所求的概率.【解答】解：

48、從點A, B, C, D中任取三點能組成三角形的一共有4種可能,其中川口, ADC, ABC是直角三角形，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為3.4故選D.【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及三角形的三邊關(guān)系和勾股定理的逆定理運用， 用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，屬于中考?？碱}型.（2016杭州）已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n （mVn）,過銳角頂點 把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則（）A. nr2nin+n2=0 B. nr - 2nin+n2=0 C. nr+2mii - ir=0 D. nr - 2nm - n2=0【考點】等

49、腰直角三角形：等腰三角形的性質(zhì).【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得m2+ni2=（nm） 2,整理即可求解【解答】解：如圖，m2+m2= （n - m） 22nr=n2 - 2mn*m2,m2+2mn - n2-0.【點評】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角 形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理得到等量關(guān)系.二.填空題（共1。小題）（2016資陽）如圖,在等腰直角ABC中,ZACB=90, CO_LAB于點O,點D、E分 別在邊AC、BC上，且AD=CE,連結(jié)DE交CO于點P,給出以下結(jié)論： DOE是等腰直角三角形；NCDE=NCOE：若AC=1,則四邊開

50、ZCEOD的面積為土:4l AD-BE2 - 20P?=2DPPE，其中所有正確結(jié)論的序號是【考點】勾股定理：四點共圓.【分析】正確.由ADO0CEO,推出DOPE, NAOD-NCOE,由此即可判斷.正確.由D、C、E、。四點共圓，即可證明.止確.由abcnx 1 X 1=-, S兩邊形DCEO=Sa DOC+Sa CEO=Sa CDO+Sa ADO=Sa AOCSa abc 即可解決問題.2正確.由 D、C.E,O 四點共【員 1，得 OPPC=DPPE,所以 ZOPZDP+EuZOpZ+ZOP-PCnZOP (op+pc)=2op*oc,由opes/xoec,得到p.e,即可得到 OE

51、0C2OP2+2DP*PE=2OE2=DE2=CD2+CE2,由此即可證明.【解答】解：正確.如圖，V ZACB=90% AC=BC, CO1AB.e.AO=OB=OC, ZA= ZB= ZACO= ZBCO=45,在ADO和aCEO中，(OA=OCI /a二Neco, (AD=CE:.AADOACEO,/.DO=OE, ZAOD=ZCOE,:.ZAOC=ZDOE=90,DOE是等腰直角三角形.故正確.正確.VZDCE+ZDOE-1800,D、C、E、O四點共圓, /. ZCDE=ZCOE,故正確.正確.VAC=BC=1,Sa ABC=-X 1 X S Riit DCEO=Sa DOC+Sa

52、CEO=Sa CDo+Sa ado=Sa A0C=-1-Sa abc=- 故正確.正確.D、C、E、O四點共圓，OPPC=DPPE,/. 2OP2*2DP-PE=2OP2+ZOP*PC=2OP ( OPPC) =2OPOC,V ZOEP=ZDCO=ZOCE=45, ZPOE=ZCOE,:.AOPEAOEC. OP.OEOE OCAOPOC=OE2,:.2OP2+2DP*PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，VCD=BE. CE=AD,:.AD2+BE2-2OP2-2DP*PE，AD2+BE2 - 2OP2=2DPPE.故正確.【點評】本題考查勾股定理、四點共圓、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直

53、角三角形的性質(zhì)、 相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會利用四點共圓解 決問題，題目比較難，用到的知識點比較多.12.（2016棗1E）如圖，是屆立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如卜數(shù)據(jù): AM-4米，AB=8米，NMAD-45。，ZMBC-30%則警示牌的高CD為2.9 米（結(jié)果精 確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：限1.41, V3=1.73）.C冬霧路段.，.建恒駕駛e.VB【考點】勾股定理的應(yīng)用.【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DM=AM=4m,再根據(jù)勾股定理可得 MC、MB屋（2MC） 2,代入數(shù)可得答案.【解答】解：由題意可得：:AM7米，Z

54、MAD=45,/ DM=4m,AM=4 米，AB=8 米，AMB=12 米， NMBC=30。，.BC-2MC,MC2+MB2= （2MC） 2,MC2+122= （2MC） 2,，MC=4 近，貝lj DC-43 - 42.9 （米）,故答案為:2.9.【點評】此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等 于斜邊的平方.（2016哈爾濱）在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90- AC=3,點P為邊BC的三等 分點，連接AP,則AP的長為殛比5_.【考點】等腰直角三角形.【分析】如圖1根據(jù)已知條件得到PBBC=1.根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；3如圖2,根據(jù)已知條件得

55、到PC-1BCT,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.3【解答】解：如圖1,.NACB-90。, AC-BC-3,7PB=l-BC=b3CP=2,AP=VAC2+PC2=t如圖 2, V ZACB=90 AC=BC=3,vpc=Xbc=e3,止五/+）凸國，綜上所述：AP的長為3互或JI5,故答案為：3話或近5.【點評】本題考查了等腰宜角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是 解題的關(guān)鍵.（2016江西三模）如圖，RtZABC中，NABC=90。，DE垂直平分AC,垂足為O, AD BC,且AB=5, BC=12則AD的長為旦旦. 24 一B【考點】勾股定理；線段垂直平分線的性質(zhì).【分析

56、】連接AE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=EC,然后在直角AABE中利用勾股定 理即可列方程求得EC的長，然后證明AODgZiCOE,即可求得.【解答】解：連接AE.VDE是線段AC的垂直平分線，:.AE=EC. EC=x,則 AE=ECx, BE=BC - EC-12 - x. 在直角 AABE 中，ae2=ab2+be2/.x2=52+ (12-x) 2,解得：x=&.24即 EC=. 24VAD/7BC,:.ZD=ZOEC,在以O(shè)D和COE中，(ZD=Z0EC/ AO D=/COE，OA=OC:.AAODACOE, r.AD-EC-Ai.24故答案是：堡24【點評】本題考查了線段的垂直平

57、分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確列方程求 得EC的長是關(guān)鍵.(2016南崗區(qū)模擬)在ABC中，NABC=30。，AB=8, AC=2V7,邊AB的垂直平分 線與直線BC相交于點F,則線段CF的長為或?qū)W血【考點】勾股定理；線段垂直平分線的性質(zhì).【分析】在中，已知兩邊和其中一邊的對角，符合題意的三角形有兩個，畫出AABC 與ABU.作ADJ_BC于D,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CD=CD.由EF為AB 的垂直平分線求出AE和BE長，根據(jù)勾股定理和解直角三角形求出AD、CD、BD、BF. 即可求出答案.【解答】解：如圖，作ADLBC于D.* AE=BE=AB=4，2EF1AB./AC

58、=AC,=2V7，AD_LBC 于 D, ，CD=CD, EF為AB垂直平分線,丁 ZABC=30.A EF=BE X taii30-V3 BF=2EF-，33在 RtZXABD 中，V ZADB=90, ZABD=30.AAD=ABM, 2由勾股定理得：CD=J(2V7) 2 _ 42=2%. BD=g2 - 4 2=43.即F在C和D之間，V BC=BD - CD=4V3 - 2 V=2近，/.CF=BF - BC=yV3 - 2V3=-1V3 CT=BC, - 故答案為：弓網(wǎng)皆耳.【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂宜平分線的性質(zhì)，等腰三角形三線合 一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，

59、根據(jù)題意畫出圖形進行分類討論是解題的關(guān)鍵.（2016道外區(qū)一模）如圖,在河（：中，ZACB=90, AC=BC, P為三角形內(nèi)部一點, 且 PC=3, PA-5, PB=7,則 APAB 的面積為 14 .【考點】勾股定理；等腰直角三角形.【分析】過P作PD_LAC于D, PE_LBC于E,根據(jù)四邊形CDPE是矩形，得至U CD=PE=y, CE=PD=x,設(shè)PD=x, PE=y. AOBda,列方程組即可得到結(jié)論.【解答】解：過P作PD_LAC于D, PE_LBC于E,則四邊形CDPE是矩形，設(shè)PD=x, PE=v，AC=BC=a,JACD=PE=y, CE=PD=x.x2 + y2=9A

60、x2+(a-y) 2二49, ky2+(a- x) 2=25 (a2 - 2ay=40a2 - 2a16，/. a2 - ay - ax=28,lax - iay=14.22 故答案為：14.Sz. APB=Sa ABC - Sa APC - SA【點評】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（2016余干縣二模）如圖，在（：中，AB=AC=4, AO=BO. P是射線CO上的一個 動點，NAOCT20。，則當(dāng)APAB為直角三角形時，AP的長為2或.【考點】勾股定理.【專題】分類討論.【分析】利用分類討論，當(dāng)NAPB=90。時，分兩種情況討論，情況一：如圖1,易得N