我數(shù)學(xué)之路丘成桐

1、我的數(shù)學(xué)之路 丘成桐教授浙江大學(xué)二零零四年三月二十日 1我在香港的郊區(qū)元朗和沙田長(zhǎng)大。那裏沒(méi)有電，也沒(méi)有自來(lái)水。小時(shí)候就在河中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食物少得可憐。五歲時(shí)參加某著名小學(xué)的入學(xué)試，結(jié)果沒(méi)考上。原因是用了錯(cuò)誤的記號(hào)，如把57反寫(xiě)成75，69反寫(xiě)成96等。2我只能上一所小小的鄉(xiāng)村學(xué)校。那裏有很多來(lái)自農(nóng)村的粗野小孩。受到這些小孩的威嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身患重病。在家中養(yǎng)病的半年，我思索如何跟同學(xué)老師相處。升上小六時(shí)，我已經(jīng)是一群小孩的首領(lǐng)，帶著他們?cè)诮诸^亂闖。3家父是位教授。他教了我不少中國(guó)文學(xué)。可是，他並不知道我曾曠課好一段日子?；蛘哌@是因?yàn)槲以诩抑醒?guī)蹈矩，他教授的

2、詩(shī)詞我也能背誦如流。逃學(xué)的原因是老師不怎樣教學(xué)，在學(xué)校悶得發(fā)慌，不久連上街也覺(jué)得無(wú)聊了。當(dāng)時(shí)香港有統(tǒng)一的升中試。我考得並不好，但幸好分?jǐn)?shù)落在分界線上。4政府允許這些落在分界線上的學(xué)生申請(qǐng)私立中學(xué)，並提供學(xué)費(fèi)。我進(jìn)入了培正中學(xué)。培正是一所很好的中學(xué)。中學(xué)生涯的第一年乏善可陳。我的成績(jī)不大好，老師常常對(duì)我很生氣。大概剛從鄉(xiāng)村出來(lái)，“野性”未改吧。我熱中於養(yǎng)蠶、養(yǎng)小魚(yú)，到山上去捉各種小動(dòng)物。沙田的風(fēng)景美麗清新，在大自然的懷抱裏，倒是自得其趣，到如今還不能忘懷。 5當(dāng)時(shí)武俠小說(shuō)盛行，我很喜歡讀這些小說(shuō)，沒(méi)有錢(qián)去買，就向鄰居借。父親不贊成我讀這些小說(shuō)，認(rèn)為膚淺，但我還是偷偷去看，也看了各種不同的章回小說(shuō)

3、如七俠五義、說(shuō)岳全傳、東周列國(guó)志等雜書(shū)。6父親從我小學(xué)五年級(jí)教我詩(shī)詞、古文和古典小說(shuō)如三國(guó)演義、水滸傳、紅樓夢(mèng)、西廂記等。父親堅(jiān)持我在看這些小說(shuō)時(shí)，要背誦其中的詩(shī)詞。當(dāng)時(shí)雖以為苦，但順口吟誦，也慢慢習(xí)慣?？傆X(jué)得沒(méi)有看武俠小說(shuō)來(lái)得刺激。7但是真正對(duì)我有影響的卻不是武俠小說(shuō)。中國(guó)古典文學(xué)深深影響了我做學(xué)問(wèn)的氣質(zhì)和修養(yǎng)。近代的作品，如魯迅的也有閱讀。記憶深刻的路是人行出來(lái)的，自己的路更要自己去走。8我們家中常有父親的學(xué)生來(lái)訪，往往興高采烈的談學(xué)問(wèn)。他們討論時(shí)常常談及希臘哲學(xué)，雖然我對(duì)希臘哲學(xué)不大了解，但卻對(duì)它留下深刻的印象。希臘學(xué)者對(duì)真理和美無(wú)條件的追求是我一生做學(xué)問(wèn)的座右銘。他們對(duì)康德的哲學(xué)、對(duì)自

4、然辦證法的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我對(duì)自然科學(xué)的興奮。西方的作品如浮士德、戰(zhàn)爭(zhēng)與和平等文學(xué)著作，雖有接觸，但遠(yuǎn)不如中國(guó)文學(xué)對(duì)我的印象深厚。9我開(kāi)始研讀史學(xué)名著史記和左傳。對(duì)史記尤其著迷。這不僅是由於其文字優(yōu)美、音調(diào)鏗鏘，還是因?yàn)樗鼣⑹虑笳?，史觀獨(dú)特。直到現(xiàn)在，我還不時(shí)披閱這書(shū)。史學(xué)大師駐足高涯，俯視整個(gè)歷史，與大科學(xué)家的思入風(fēng)雲(yún)，干宇宙之奧秘遙相呼應(yīng)。10在當(dāng)時(shí)讀這些文章，大多部份不能夠領(lǐng)會(huì)，尤其困難的是讀馮友蘭寫(xiě)的新原道和新原人，但是重複的去讀，總有點(diǎn)收穫。晉陶淵明好讀書(shū)，不求甚解，每有會(huì)意，便欣然忘食。其實(shí)在做科學(xué)時(shí)，也往往有同樣的經(jīng)驗(yàn)，讀書(shū)只要有興趣，不一定要全懂，慢慢

5、自然領(lǐng)會(huì)其中心思想，同時(shí)一定要做到不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。這是古人的經(jīng)驗(yàn)，陶淵明的古文和詩(shī)有他的獨(dú)特氣質(zhì)，深得自然之趣，我們做科學(xué)的學(xué)者也需要得到自然界的氣息，需要同樣的精神。11在以後的日子裏，我都以此作為原則，以研讀學(xué)問(wèn)為樂(lè)事，不以為苦。在父親的循循善導(dǎo)下，我開(kāi)始建立我對(duì)人生的看法。到如今，我讀史記至以下一段時(shí)，仍然使我心志清新司馬遷孔子世家贊天下君王至於賢人，眾矣！當(dāng)時(shí)則榮，沒(méi)則已焉，孔子布衣，傳十餘世，學(xué)者宗之。 12假如我們追求的永恆的真理，即使一時(shí)的挫折，也不覺(jué)灰心。韓愈茍余行之不迷，雖顛沛其何傷。我讀左傳，始知有不朽的事情。左傳叔孫豹論三不朽太上有立德，其次有立功，其次有立言

6、，雖久不廢，此之謂不朽。以前我以為立德跟立言沒(méi)有關(guān)係，但是數(shù)十年的觀察才知道立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質(zhì)樸為主。 13我有一個(gè)學(xué)生在南京大學(xué)電視臺(tái)訪問(wèn)自炫會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小，真輕妄浮誇之言。其實(shí)遠(yuǎn)山微小，越近越覺(jué)其宏大。往往眾人合作才能跨過(guò)困難的地方，在沒(méi)有嘗試創(chuàng)作性的學(xué)問(wèn)時(shí)，才會(huì)說(shuō)這種膚淺的說(shuō)話。14在培正的第二年，我多言多動(dòng)，老師要記我小過(guò)。她是我的班主任，責(zé)任心強(qiáng)，誠(chéng)然是為我好。當(dāng)她知道家父是位教授，但卻拿著微薄的薪酬後，大為震動(dòng)。此後在她悉心栽培下，我在課堂上規(guī)矩多了。就在這年，我們開(kāi)始學(xué)習(xí)平面幾何。15同學(xué)對(duì)抽象思維都不習(xí)慣。由於在家中時(shí)常聽(tīng)父親談?wù)撜軐W(xué)，對(duì)利用公理

7、進(jìn)行推導(dǎo)的做法，我一點(diǎn)也不覺(jué)得見(jiàn)外。學(xué)習(xí)幾何後，我對(duì)父親的講話，又多明白了幾分。利用簡(jiǎn)單的公理，卻能推出美妙的定理，實(shí)在令人神往。 16對(duì)幾何的狂熱，提高了對(duì)數(shù)學(xué)包括代數(shù)的鑑賞能力。當(dāng)你喜歡某科目時(shí)，所有有關(guān)的東西都變得淺易。我對(duì)歷史也甚有興趣。它培養(yǎng)我對(duì)事物要作一整體觀。事件是如何發(fā)生的？到底是甚麼原故？將來(lái)會(huì)如何？17就在這時(shí)，父親完成了他的西方哲學(xué)史。他跟學(xué)生談話，總是說(shuō)應(yīng)整體地看歷史。這種觀念深深地影響了我。這種想法，在往後的日子中，指引我去尋找研究項(xiàng)目。父親的書(shū)對(duì)我有很深的影響。 18書(shū)中第一頁(yè)的引言文心雕龍 諸子身與時(shí)舛，志共道申。標(biāo)心於萬(wàn)古之上，而送懷與千載之下。這是何等的胸襟。

8、19哲學(xué)史的目的有三， 一曰求因，哲學(xué)思潮其源甚夥，必先上溯以求之。 二曰明變，往昔哲學(xué)思想交纏屈結(jié)，故重理其脈絡(luò)，是為要?jiǎng)?wù)。 三曰評(píng)論，所有思潮及其流派，皆一一評(píng)論，作警策精闢之言。這三點(diǎn)和自然科學(xué)的研究有密切的關(guān)係，再加上創(chuàng)新，則可以概括研究的方法了。20十四歲時(shí)，父親便去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長(zhǎng)的日子裏，對(duì)父親離開(kāi)了我和家人的事實(shí)，我都不能置信。家中經(jīng)濟(jì)，頓入困境，我們面臨輟學(xué)。幸得母親苦心操持，先父舊交弟子的援手，我們才倖免如此。21家中遽變，令我更成熟堅(jiān)強(qiáng)。困境中人情冷暖，父親生前的教導(dǎo)，竟變得真實(shí)起來(lái)。以前誦讀的詩(shī)詞古文，有了進(jìn)一步的體會(huì)。我花了整整半年，研習(xí)古

9、典文學(xué)和中國(guó)歷史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩(shī)詞教人欣賞自然之美。 22我閱讀了大量數(shù)學(xué)書(shū)籍，並考慮書(shū)中的難題。當(dāng)這些難題都解決掉後，我開(kāi)始創(chuàng)造自己認(rèn)為有挑戰(zhàn)性的題目。由個(gè)人去創(chuàng)造問(wèn)題此後變成我研究事業(yè)中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。學(xué)校的課本已經(jīng)不能滿足我了。我跑到圖書(shū)館、書(shū)店去看書(shū)。我花了許多時(shí)間打書(shū)釘，閱讀那些買不起的書(shū)本。我讀了華羅庚先生寫(xiě)的很多參考書(shū)，無(wú)論在分析或數(shù)論上的討論，都漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題，例如陳明哲寫(xiě)的一些小冊(cè)子，一般來(lái)說(shuō)，我會(huì)比課程早一個(gè)學(xué)期做完所有的習(xí)題，所以聽(tīng)數(shù)學(xué)課是一程享受。 23打從十五歲起，我開(kāi)始替低年級(jí)學(xué)生當(dāng)家教，以幫補(bǔ)家計(jì)。我找到一些巧妙的方法，使成績(jī)低劣的孩

10、子搖身變成優(yōu)等生，為此我覺(jué)得有點(diǎn)飄飄然。我積累了教導(dǎo)年青人的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也體會(huì)到教學(xué)相長(zhǎng)的道理。24我們的數(shù)學(xué)老師十分好。他教授的內(nèi)容，比課程要求來(lái)得艱深，但我覺(jué)得絲毫不費(fèi)氣力。其實(shí)我的同學(xué)們雖然叫苦，但是總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)都不錯(cuò)，這叫做取法乎其上，得乎其中。近代數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，恐怕適得其反，取法乎其中，得乎其下。25當(dāng)時(shí)我們的物理老師不太行，對(duì)此不無(wú)失望。中學(xué)時(shí)養(yǎng)成不了物理上的基本直觀，至今於心還有戚戚焉。國(guó)文老師卻是無(wú)懈可擊。他是我的父執(zhí)輩。他教導(dǎo)我們思想要不落俗套。 26國(guó)文教師說(shuō)思惟要自出機(jī)杼，讀好書(shū)之餘，爛書(shū)也無(wú)妨一讀，以資比較。因此我甚麼書(shū)都啃。他這種觀點(diǎn)，就是放諸我日後的科學(xué)生涯中，也

11、有其可取之處。作文堂的一個(gè)典型題目豬的哲學(xué)觀於是大伙兒興高采烈，自由發(fā)揮。在班裏我並非名列前茅，數(shù)學(xué)科的等級(jí)也不見(jiàn)得最高。但我比同班諸子想得更深，書(shū)也讀得更多。27中學(xué)讀書(shū)，除數(shù)學(xué)外，真正對(duì)我前途有影響的是國(guó)文和歷史。現(xiàn)在來(lái)談?wù)勚袑W(xué)國(guó)文和歷史對(duì)我的影響。最重要的是立志，覺(jué)得做學(xué)問(wèn)是一輩子的志願(yuàn)。典論 論文曹丕 蓋文章，經(jīng)國(guó)之大業(yè)，不朽之盛事。年壽有時(shí)而盡。榮樂(lè)止乎其身。二者必至之常期，夫若文章之無(wú)窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見(jiàn)意於篇籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢(shì)，而聲名自傳於後。 28立志之後，必需培養(yǎng)興趣，而做習(xí)題和思考是不二法門(mén)論語(yǔ)學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦樂(lè)乎。學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。楚辭路

12、曼曼其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索29做學(xué)問(wèn)要有興趣，才能深入，但追求學(xué)問(wèn)的道路曲折有致，必須要有毅力，才能持久。楚辭亦余心之所善兮雖九死其猶未悔抽思惟郢路之遼遠(yuǎn)兮魂一夕而九逝30在中學(xué)和大學(xué)的教育中最重要的一環(huán)是培養(yǎng)氣質(zhì) 孟子我知言，我善養(yǎng)吾浩然之氣。 曹丕譬諸音樂(lè)，曲度雖均，節(jié)奏同檢，至於引氣不齊，巧拙有素，雖在父兄，不能以移子弟。 岑參性靈出萬(wàn)象。31但是師友和讀書(shū)的環(huán)境卻足以轉(zhuǎn)變?nèi)说那閼蜒胖?。汪中撫弦?dòng)曲，乃移我情。 32做學(xué)問(wèn)，無(wú)論是自然科學(xué)或文學(xué)都有氣質(zhì)的問(wèn)題，從文章中，往往可以看出作者的修養(yǎng)。古代注重音樂(lè)，從樂(lè)聲中可以看見(jiàn)國(guó)家的盛衰，也是同樣的道理。 33季札觀樂(lè)左傳 吳公子札來(lái)聘，請(qǐng)觀

13、於同樂(lè)，使工為之歌周南召南。曰美哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣 為之歌鄭，曰美哉，其細(xì)已甚。民不堪也，是其先亡乎。 為之歌齊，曰美哉，泱泱乎，大風(fēng)也哉。表東海者，其太公乎 為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直體，其文王之德乎。34在培養(yǎng)氣質(zhì)上，師友的關(guān)係至為重要。韓愈師者，傳道授業(yè)解惑者也。論語(yǔ)三人行，必有我?guī)熝伞?5在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發(fā)問(wèn)。善問(wèn)者如叩鐘，問(wèn)之大者則大鳴，問(wèn)之小者則小鳴。中國(guó)科學(xué)家最欠缺的是發(fā)問(wèn)的精神。歷史上最著名的是屈原的天問(wèn)篇遂古之初，誰(shuí)傳道之，上下未形，何由考之。日月安屬，列星安陳。以後的學(xué)者很少有這種精神，可能是科學(xué)不發(fā)達(dá)的一個(gè)原因。 36善

14、於發(fā)問(wèn)後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善而固執(zhí)之。楚辭民生各有所樂(lè)兮余獨(dú)好修以為常雖體解吾猶未變兮豈余心之可懲涉江茍余心其端真兮雖僻遠(yuǎn)之何傷37很多同學(xué)開(kāi)始時(shí)讀書(shū)讀得很好，以後就灰心了，不求上進(jìn)，一方面是基礎(chǔ)沒(méi)有打好，又不敢重新再學(xué)，一方面是跟師友之間的關(guān)係沒(méi)有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰心，不求上進(jìn)。我有些學(xué)生畢業(yè)時(shí)很踏實(shí)，受到表?yè)P(yáng)，就以為自己了不起，事實(shí)上學(xué)問(wèn)還沒(méi)有成熟就凋謝了。離騷何昔日之芳草兮，今直為此蕭艾也。豈其有他故兮，莫好修之害也。38以下引韓愈作文的態(tài)度實(shí)在值得各人去參考韓愈 答李翊書(shū) 始者非三代兩漢之書(shū)不敢觀，非聖人之志不敢存，處若忘，行若遺，儼乎其若

15、思，茫乎其若迷。當(dāng)其取於心而注於手也，惟陳言之務(wù)去，戛戛乎其難哉！ 其觀於人也，毀之則以為喜，譽(yù)之則以為憂，以其猶有人之說(shuō)者存也。如是者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又懼其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然後肆焉。雖然，不可以不養(yǎng)也。行之乎仁義之途，遊之乎詩(shī)、書(shū)之源，無(wú)迷其途，無(wú)絕其源，終吾身而己矣。 39一九六六年我進(jìn)了中文大學(xué)。雖然對(duì)歷史抱著濃厚的興趣，我還是選擇了數(shù)學(xué)作為我的事業(yè)。就在這時(shí)，中學(xué)時(shí)唸的高等數(shù)學(xué)漸漸消化，開(kāi)始時(shí)還不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同輩高明不少。40大學(xué)的數(shù)學(xué)使我大開(kāi)眼界。連最基本的實(shí)數(shù)系統(tǒng)都可以嚴(yán)格的建立起來(lái)，著實(shí)另人興奮萬(wàn)分。當(dāng)我了解數(shù)學(xué)是如此建構(gòu)後，

16、我寫(xiě)信給教授，表達(dá)我的喜悅。這是本人賞析數(shù)學(xué)之始。一位剛從柏克萊畢業(yè)的博士來(lái)了香港，他名叫史提芬沙拉夫Stephen Salaff。他對(duì)我大為讚賞，我們合寫(xiě)了一本有關(guān)常微分方程的書(shū)。41另外一位老師布狄Brody來(lái)自普林斯頓。他有一套獨(dú)特的教學(xué)法。他找來(lái)一本高深的數(shù)學(xué)著作，然後要求學(xué)生在書(shū)中找尋錯(cuò)誤，並提出改正的方法。這是讓我們不要盲目依賴書(shū)本的良方。同時(shí)也訓(xùn)練了我對(duì)書(shū)本上定理採(cǎi)取存疑的態(tài)度。我有時(shí)將某些定理推廣了，在課堂上說(shuō)出來(lái)，他聽(tīng)了很高興。 42這些教導(dǎo)的重要性在於 培養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣 在人前表達(dá)數(shù)學(xué)同時(shí)在表達(dá)數(shù)學(xué)的時(shí)候，找出自己的弱點(diǎn)，與同學(xué)和老師一同切磋。這不論對(duì)自己或?qū)ψ约喝蔗岬?/p>

17、教學(xué)都十分要緊。43古人說(shuō)學(xué)無(wú)常師，其實(shí)教亦無(wú)常法，有之，因人而施教也。孔門(mén)弟子問(wèn)仁，孔子對(duì)每個(gè)人有不同的回答方法，而孔門(mén)弟子因此各有所長(zhǎng)。孔子教學(xué)有禮樂(lè)射御書(shū)數(shù)。西方Plato教學(xué)有幾何、數(shù)論、天文和音樂(lè)，合稱數(shù)學(xué)。古今中外都以培養(yǎng)通材為訓(xùn)練領(lǐng)袖的主要過(guò)程。44現(xiàn)代社會(huì)需要政界和工商業(yè)的領(lǐng)袖，也需要大量的工人、會(huì)計(jì)師、律師等的白領(lǐng)階級(jí)和藍(lán)領(lǐng)階級(jí)，訓(xùn)練他們可能有不同的層次。但是有一點(diǎn)很重要的作為一個(gè)知識(shí)份子必需要具有推理的能力。自古以來(lái)最要緊和最富用途的就是三段論證方法。在學(xué)校學(xué)習(xí)邏輯方法最好的莫過(guò)於平面幾何的公理系統(tǒng)。熟習(xí)證明使我們思考清晰。45良好的中學(xué)教科書(shū)，必需要包含公理系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。平

18、面幾何的本身可能沒(méi)有用途，但是它的方法卻是最重要的。正如朱自清寫(xiě)的荷塘月色的內(nèi)容可能不重要，但我們要學(xué)他的文字的應(yīng)用，書(shū)寫(xiě)流暢的做法。學(xué)習(xí)需要融匯貫通，更需要博聞強(qiáng)記。 46有些人以為數(shù)學(xué)每一步都可推理，不宜強(qiáng)記，這是極為可笑的說(shuō)法，我還沒(méi)有親眼看過(guò)一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家有這種能力。即使在做研究的時(shí)候，我們不能不記憶前人或近人的工作，使我們能夠向前作新的研究。 47往往記熟某一門(mén)技巧後，我們會(huì)突然融匯貫通，所以多做習(xí)題是很緊要的事，假如能夠讓學(xué)生在課堂上有所表現(xiàn)，不單老師對(duì)他們瞭解，他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。 48學(xué)生既要強(qiáng)記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕妙之處。同一個(gè)問(wèn)題，可能有超過(guò)很多個(gè)

19、不同的解法，學(xué)生能用不同的方法解題，值得鼓勵(lì)。譬如來(lái)說(shuō)，畢氏定理是數(shù)學(xué)中最基本的定理，古往今來(lái)有無(wú)數(shù)的不同證明，能夠舉出一些不同的證明，會(huì)讓學(xué)生瞭解不同的看法可以達(dá)到同一的目標(biāo)。近代數(shù)學(xué)的大發(fā)展，往往起源於用不同的手法解決同一的問(wèn)題，所以不可少看這些不同的證明。 49數(shù)學(xué)既可以實(shí)用，亦獨(dú)立為一至為美麗的學(xué)科，習(xí)題可以重視實(shí)用，但絕對(duì)要討論看來(lái)無(wú)用但美麗的工作，重要的數(shù)學(xué)的發(fā)展可以從實(shí)用而形成，也可以追求純美而成功，要注意的是所有重要的實(shí)用數(shù)學(xué)都建基在純美的數(shù)學(xué)上。數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)是分不開(kāi)的，能夠多談數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷，會(huì)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的興趣有極大的幫助。50一本數(shù)學(xué)教科書(shū)能夠引導(dǎo)學(xué)生的興趣是一本最

20、成功的教科書(shū)，可以講故事數(shù)學(xué)家的故事、創(chuàng)造這些命題的過(guò)程、中國(guó)數(shù)學(xué)、希臘數(shù)學(xué)、巴比倫的數(shù)學(xué)、阿拉伯的數(shù)學(xué)，都是有意思而影響著近代數(shù)學(xué)家思維的常識(shí)。，可以跟其他學(xué)科如物理、工程、經(jīng)濟(jì)、音樂(lè)等等溝通的數(shù)學(xué)都值得討論。能使學(xué)生以學(xué)數(shù)學(xué)為樂(lè)乃是成功的教科書(shū)。51雖然只讀了三年大學(xué)，已經(jīng)完成了大學(xué)的課程。在沙拉夫教授的幫助下，我進(jìn)入了柏克萊的研究院。柏克萊的數(shù)學(xué)系當(dāng)時(shí)在世界數(shù)一數(shù)二。我八月入校，便認(rèn)識(shí)了陳省身教授。他後來(lái)成為我的論文導(dǎo)師。在香港時(shí)我醉心於極度抽象的數(shù)學(xué)當(dāng)然我的分析功夫也很紮實(shí)，覺(jué)得數(shù)學(xué)愈廣泛愈好。我打算唸泛函分析，已經(jīng)學(xué)了不少這方面的東西，包括丹福一史華滋有關(guān)的巨冊(cè)，還有不少有關(guān)算子代數(shù)

21、的書(shū)。到柏克萊後，認(rèn)識(shí)不少卓越的學(xué)者，我的看法改變了。52我如飢似渴地從他們處學(xué)習(xí)不同的科目。從早上八時(shí)到下午五時(shí)我都在上課有時(shí)在班上吃午飯。這些學(xué)科包括拓樸、幾何、微分方程、李群、數(shù)論、組合學(xué)、概率及動(dòng)力系統(tǒng)。我並非科科都精通，但對(duì)某幾門(mén)學(xué)問(wèn)格外留神。學(xué)拓樸時(shí)，發(fā)現(xiàn)跟以前學(xué)的完全不同。班上五十人，每個(gè)人看來(lái)都醒目在行，比我好多了。他們表現(xiàn)出色，說(shuō)話條理分明。53於是我埋首做好功課，不久之後，我發(fā)現(xiàn)自己畢竟也不賴。關(guān)鍵是做好所有棘手的題目，並把這些題目想通想透。我讀了約翰米拿John Milnor的一本書(shū)，對(duì)裏面講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學(xué)者。我開(kāi)始思考與這書(shū)有關(guān)的問(wèn)題，並大

22、部分時(shí)間呆在圖書(shū)館。當(dāng)時(shí)研究生並沒(méi)有辦公室。柏克萊名牌教授不少，然而不久之後，我對(duì)他們竟有英雄見(jiàn)慣的感覺(jué)。在圖書(shū)館裏我讀了不少書(shū)藉和期刊。54在柏克萊的第二個(gè)學(xué)期，我漸漸能證出一些不簡(jiǎn)單的定理。這些定理與群論有關(guān)。在崇基時(shí)，我跟老師聊天時(shí)曾談及有關(guān)的內(nèi)容，我現(xiàn)在把它用到幾何上去。教授都為我的進(jìn)展而驚訝不已，欣慰非常。其中一位教授開(kāi)始與我合作，寫(xiě)了兩篇論文。陳省身教授其時(shí)正在放年假。當(dāng)他回來(lái)時(shí)，對(duì)我的表現(xiàn)甚為嘉許。 55縱然如此，對(duì)這些工作我倒不覺(jué)得怎樣。摩里教授Charles B. Morrey有關(guān)非線性偏微分方程的課，另人難忘。他教授的非線性技巧，當(dāng)時(shí)並不流行。他的書(shū)也佶屈聱牙。但我隱隱感覺(jué)

23、到他發(fā)展的技巧十分深?yuàn)W，對(duì)未來(lái)幾何學(xué)的發(fā)展舉足輕重。我用心地學(xué)習(xí)這些技巧。雖在盛名之下，聽(tīng)他課的學(xué)生同事都不多。到學(xué)期終結(jié)時(shí)，我竟成為他班上唯一的學(xué)生。他索性就在辦公室裏授課了。這科目後來(lái)成為我數(shù)學(xué)生涯的基石。56完成幾篇文章後，陳教授到處說(shuō)我是何的出色，雖然他對(duì)我的工作認(rèn)識(shí)不深。我開(kāi)始全盤(pán)地思考數(shù)學(xué)，尤其是幾何。我也試圖去研究幾何學(xué)的其它問(wèn)題，可是進(jìn)度緩慢。這年夏天老友鄭紹遠(yuǎn)從香港來(lái)了，我們?cè)谛@旁租了一所柏文，心情更加開(kāi)朗了。 57就在這個(gè)夏天，我請(qǐng)求陳教授當(dāng)我的論文導(dǎo)師，他答應(yīng)了。約一個(gè)月後，他告訴我，我在一年級(jí)時(shí)的文章，已夠格作為畢業(yè)論文。我有點(diǎn)悶納，心想這些工作還不夠好，而且我還希望

24、多學(xué)點(diǎn)東西。就這樣，在第二個(gè)學(xué)年中我學(xué)了不少複幾何及拓樸。陳師對(duì)我期望甚殷，他提議考慮黎曼猜想。十分遺憾的是，到目前為止，我還沒(méi)有想過(guò)它。 58代而之者，我嘗試去了解空間的曲率。我確認(rèn)卡拉比E. Calabi在五十年代作出的某建議，會(huì)是理解這概念的關(guān)鍵。當(dāng)時(shí)我不認(rèn)為卡拉比是對(duì)的。我開(kāi)始對(duì)此深思苦想。這並不是個(gè)當(dāng)代幾何學(xué)者研究的標(biāo)準(zhǔn)課題，明顯地，這是分析學(xué)上的一道難題，沒(méi)有人願(yuàn)意跟它沾上邊。 59我漸漸養(yǎng)成把分析作為工具引進(jìn)幾何中的志趣。在此之前，曾有人把非線性理論用於三維空間的曲面上。但我考慮的，卻是任意維數(shù)的抽象空間。由於摩里教授及陳師對(duì)極小曲面的興趣，我亦對(duì)這項(xiàng)目深深著迷。對(duì)調(diào)和映照尤其情

25、有獨(dú)鍾，並因此鑽研了變分法。60我對(duì)幾何中的所有分析內(nèi)容都感興趣。簡(jiǎn)而言之，就是要把非線性微分方程和幾何融匯成一體。要了解非線性方程，就必須先了解線性方程。因此我建立了在流形上調(diào)和函數(shù)的主要定理。在我的影響下，鄭紹遠(yuǎn)研究了有關(guān)的特徵值及特徵函數(shù)等問(wèn)題。我們合作寫(xiě)了幾篇重要文章，到而今還是這項(xiàng)目的基礎(chǔ)。61畢業(yè)時(shí)我得到幾份聘書(shū)。陳師提議我到高等研究所，那兒的薪水不及哈佛提供的一半。但我還是到那兒去了。在高等研究所我認(rèn)識(shí)了其它科目出色的數(shù)學(xué)家。同時(shí)提升了對(duì)拓樸，尤其是空間對(duì)稱理論的鑑賞力。事實(shí)上，利用分析的想法在流形上的群作用，我解決了這科目的一些重要課題。 62由於簽証的問(wèn)題，我到了紐約石溪分校

26、。當(dāng)時(shí)石溪是尺度幾何的重鎮(zhèn)，事實(shí)上那兒真的不錯(cuò)，聚集了一批朝氣勃勃的幾何學(xué)家。我學(xué)習(xí)他們的技巧，但並不認(rèn)為那是幾何的正確方向。一年後我到了史丹福，當(dāng)時(shí)那裏並沒(méi)有幾何學(xué)者。史丹福環(huán)境安寧，非線性偏微分方程很出色。在那裏我碰見(jiàn)好友李安西門(mén)及共同的弟子孫理察。我們一起拓展了在幾何上的非線性分析。 63晉陶淵明久在樊籠裏，復(fù)得返自然。64我剛到史丹福時(shí)，一個(gè)幾何大會(huì)正在舉行。有位物理學(xué)家應(yīng)邀就廣義相對(duì)論發(fā)言。當(dāng)時(shí)我對(duì)物理還不算在行。但對(duì)他提及有關(guān)相對(duì)論的一個(gè)幾何問(wèn)題卻一見(jiàn)傾心。賦予空間的數(shù)學(xué)解釋，與空間物理導(dǎo)出數(shù)學(xué)問(wèn)題，兩者皆令人神往。65這問(wèn)題當(dāng)時(shí)對(duì)我而言，還是遙遠(yuǎn)不可及。但我對(duì)它念念不忘。在會(huì)議期

27、中，我找到了一個(gè)辦法，去反證卡拉比的提議。我發(fā)表了我的想法，反應(yīng)似乎不錯(cuò)，沒(méi)人提出異議。人們都鬆了口氣，畢竟大家都猜對(duì)了，卡拉比猜想是不對(duì)的。66兩個(gè)月後，卡拉比教授寫(xiě)信給我，釐清了我的一些想法。我在推理中找到一個(gè)嚴(yán)重的決口。在我的研究生涯中，這可說(shuō)是最痛苦的經(jīng)歷了。我輾轉(zhuǎn)反側(cè)，不能成眠。 67差不多兩個(gè)星期都失眠，眼見(jiàn)名譽(yù)因犯錯(cuò)雖然我沒(méi)把想法成文發(fā)表而毀於一旦。經(jīng)過(guò)反覆仔細(xì)審閱每個(gè)步驟後，我相信問(wèn)題反過(guò)來(lái)才對(duì)。為卡拉比猜想舉出反例，其論據(jù)是先假設(shè)它是對(duì)的，然後考慮其後果。數(shù)年後，當(dāng)我解答了這個(gè)猜想，很多有關(guān)的自然推論就水到渠成了。68意識(shí)到卡拉比猜想是對(duì)的後，我便朝著正確的方向邁進(jìn)。在準(zhǔn)備最

28、後的證明前，需要大量的準(zhǔn)備工作。我和鄭紹遠(yuǎn)合作研究蒙奇安培方程、仿射幾何、極大曲面等相關(guān)問(wèn)題。與孫理察合作搞調(diào)和影照，與孫理察和李安西門(mén)搞極小曲面。在短短兩年裏，我們於與幾何有關(guān)的非線性分析，碩果纍纍。這是幾何學(xué)的黃金時(shí)代。 69屈原固余心之所善兮，雖九死而猶未悔。70新婚伊始，我找到完成卡拉比猜想的正確想法。我終於掌握了凱勒Kahler幾何中的曲率了。一些老大難的代數(shù)幾何問(wèn)題，都因卡拉比猜想的證明而解決掉。當(dāng)時(shí)我認(rèn)為我首先瞭解到Kahler幾何的曲率結(jié)構(gòu)後，有物我相融的感覺(jué)落花人獨(dú)立微雨燕雙飛71紐約時(shí)報(bào)2003年9月2日宇宙一懸案 眾人答案殊弦理論中的一個(gè)困難在於它要用十維的時(shí)空來(lái)描述，而

29、我們生存的空間只有四維而已。史創(chuàng)敏格Strominger博士回憶起他在找到數(shù)學(xué)家丘成桐博士的一份論文時(shí)的萬(wàn)分喜悅之情。丘博士現(xiàn)在任教於哈佛大學(xué)及香港中文大學(xué)。在這篇文章裏他證明了尤金尼奧卡拉比Eugenio Calabi博士提出的猜想。卡拉比博士現(xiàn)已從賓夕凡尼亞大學(xué)退休。猜想指出這些額外的維數(shù)雖然不可捉摸，但在微觀下可以想像它們卷曲起來(lái)，就像地毯的小毛圈。 72完成卡拉比猜想的證明後，我看出自己建立了融合兩門(mén)重要科目非線性偏微分方程和幾何的架構(gòu)。一九七六年我在UCLA碰見(jiàn)老友麥克斯Meeks，他是我在研究院時(shí)的同學(xué)。他的景況不大好。Meeks是位具原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家，我向他提議合作，試圖把極小曲面

30、和三維流形的拓樸聯(lián)繫起來(lái)。73結(jié)果成績(jī)斐然。我們解決在這兩門(mén)科目中的兩個(gè)經(jīng)典難題1.當(dāng)一塊肥皂膜的邊界是凸時(shí)，膜面不能自相交。2.史密斯猜想的證明，這是與霍斯頓Thurston工作結(jié)合的成果。一旦把方向校正了，很多古典問(wèn)題便能迎刃而解。 74次年，我回到柏克萊訪問(wèn)，並組織了“幾何上非線性問(wèn)題”的研討班。孫理察和鄭紹遠(yuǎn)都在那兒。和理察一起，我們終於解決了那個(gè)使我念念不忘的有關(guān)廣義相對(duì)論的難題。這道難題叫做正質(zhì)量猜想，它在廣義相對(duì)論中佔(zhàn)基本的地位。只有當(dāng)質(zhì)量為正時(shí)，時(shí)空才能穩(wěn)定。 75一九七八年我又回到史丹福。和蕭蔭棠一起，我們利用極小曲面作為工具，解決了複幾何上有名的法恩科Frenkel猜想。我

31、也利用了調(diào)和映照作為工具去研究離散的群對(duì)稱。這些想法，迄今仍有其價(jià)值。利用我們?cè)趶V義相對(duì)論的工作，孫理察和我研究了具正純量曲率的流形的結(jié)構(gòu)。76一九七九年我們?cè)诟叩妊芯克e辦微分幾何年。差不多所有幾何學(xué)家都來(lái)了。我們?yōu)閹缀螌W(xué)釐定了發(fā)展的方向。我提出一百條在幾何裏的有趣問(wèn)題。到目前為止，有的已經(jīng)解掉了，但有的還是迄立不動(dòng)。七十年代確是幾何學(xué)的豐收期。77到了七十年末期，我在數(shù)學(xué)界可說(shuō)是略有名望。對(duì)於我解決的難題，媒體也有廣泛報(bào)導(dǎo)。然而，認(rèn)為我的奮鬥目標(biāo)是獎(jiǎng)項(xiàng)，是成名成家，那就不對(duì)了。這些都不是本人研究的首要目標(biāo)。我對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，源於人類智能足以參悟自然的欣喜。從幾何上看，大自然的美是永恒不朽的。 78與朋輩如孫理察、西門(mén)、鄭紹遠(yuǎn)、麥克斯Meeks、烏蘭貝克K. Uhlenbeck、漢密爾頓R. Hamilton，和稍後的當(dāng)勞遜S. Donaldson、塔貝斯H. Taubes、惠斯根G. Huisken等人的共同努力下，幾何上的非線性分析