數(shù)學建模生物種群模型

1、關(guān)于數(shù)學建模-生物種群模型第一張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25簡介種群(Population)：是指在特定時間里占據(jù)一定空間的同一物種的有機體集合。種群生態(tài)學：主要研究種群的時間動態(tài)及調(diào)節(jié)機理。種群分為單種群和多種群。生物種群模型西北大學數(shù)學系第二張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/252) 羅杰斯特(Logistic)模型 表示該種群的最大容納量。1 單種群的數(shù)學模型：1)馬爾薩斯(Malthus)模型 表示 時刻的種群數(shù)量， 稱為內(nèi)稟增長率。第三張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/254) 開發(fā)了的單種群模型具有常數(shù)收獲率

2、具有時變收獲率3） 一般的種群模型第四張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25 2 兩種群的一般模型 兩種群生活在同一自然環(huán)境下，存在下面三種情形，相互競爭、相互依存、弱肉強食。 設(shè)甲、乙兩種群在 時刻的數(shù)量為 ，則線性化，得西北大學數(shù)學系第五張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25 表示甲（乙）種群的自然生長率； 表示甲（乙）種群為非密度制約， 表示甲（乙）種群為密度制約； 表示甲、乙種群相互競爭；4) 表示甲、乙種群相互依存；5) 表示甲、乙種群為弱肉強食（捕食與被捕食）。第六張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/253 三種群的一

3、般模型三種群相互之間的作用要比兩種群更復(fù)雜，但建立模型的思想和方法是相同的。在三種群中每兩個種群之間的關(guān)系仍可歸結(jié)為：相互競爭、相互依存、弱肉強食。三種群兩兩關(guān)系不同的組合就得到種類繁多的數(shù)學模型。這些模型用方程組表示，或用圖形表示。西北大學數(shù)學系第七張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25記三個種群分別為123并約定 1）種群 供食于種群 表示為 12122）種群 為密度制約可表示為113）種群 不主要靠吃本系統(tǒng)（1，2，3個種群組成的系統(tǒng)）為生，114）種群 與種群 相互競爭：12125）種群 與種群 互惠共存：1212）第八張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2

4、022/8/25如，設(shè)A，B，C三種群為捕食與被捕食關(guān)系，則三者關(guān)系有三種：兩個食餌種群，一個捕食者種群。一個食餌種群，兩個捕食者種群。捕食鏈。CBACBACBA西北大學數(shù)學系第九張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25下面對于食餌種群增長是線性密度制約，兩種群間的影響都是線性的，建立其相互作用的數(shù)學模型（Volterra模型）（1）兩個食餌種群A，B，一個捕食者種群C 。設(shè) A，B，C t 時刻的密度分別為假設(shè)：C 種群主要以A，B種群為食餌， A，B不存在時，C 要逐漸絕滅，C 不是密度制約的； A，B種群不靠本系統(tǒng)為生，它們?yōu)槊芏戎萍s且相互競爭。圖示如下：第十張，PP

5、T共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25CBA（）西北大學數(shù)學系第十一張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25（2）一個食餌種群A，兩個捕食者種群B ， C 。ACB（）第十二張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25ACB）西北大學數(shù)學系第十三張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25ACB）（3）捕食鏈：A是B的食餌， B是C的食餌。第十四張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25ACB）西北大學數(shù)學系說明下列微分方程組的生態(tài)意義第十五張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25ACB）第

6、十六張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25ACB）西北大學數(shù)學系第十七張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25種群模型的求解方法：微分方程定性與穩(wěn)定性理論數(shù)值方法第十八張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25平面自治系統(tǒng)西北大學數(shù)學系微分方程定性與穩(wěn)定性理論第十九張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25 假定方程組(1)的右端函數(shù) ， 在平面區(qū)域 滿足解的存在唯一的條件，則過相平面中任一點有唯一的軌線。 相平面： 所在的平面。軌線：第二十張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25平衡點 （Equ

7、ilibrium） ：使得的點 為組(1)的平衡點，否則稱為常點。即 平衡點滿足記為西北大學數(shù)學系第二十一張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25稱平衡點 是穩(wěn)定的（stable）；否則 是不穩(wěn)定（unstable）的。穩(wěn)定與不穩(wěn)定：如果存在某個鄰域，使系統(tǒng)（1）的解 從這個鄰域內(nèi)的某一初值 出發(fā)，滿足第二十二張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25其中 是常數(shù)。平面線性微分方程組的平衡點分類系統(tǒng)（2）有唯一的平衡點（0，0）。記系數(shù)矩陣西北大學數(shù)學系第二十三張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25記組(2)的系數(shù)矩陣構(gòu)成的特征方程為

8、：其中唯一的平衡點（0，0）的穩(wěn)定性由特征根確定。方程組（2）解的一般形式為第二十四張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25方程組（2）解的一般形式為西北大學數(shù)學系第二十五張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25平衡點類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結(jié)點(node)stable不穩(wěn)定結(jié)點unstable鞍點(saddle)unstable穩(wěn)定退化結(jié)點stable不穩(wěn)定退化結(jié)點unstable穩(wěn)定焦點(focus)stable不穩(wěn)定焦點unstable中心(center)unstable第二十六張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25pq鞍點區(qū)穩(wěn)定結(jié)點區(qū)

9、不穩(wěn)定結(jié)點區(qū)穩(wěn)定焦點區(qū)不穩(wěn)定焦點區(qū)奇點 的性態(tài)與 的關(guān)系第二十七張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25簡單非線性微分方程的奇點西北大學數(shù)學系第二十八張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25稱下列方程組為組(1)的一次（線性）近似方程組：第二十九張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25結(jié)論1 如果則(4)的一次近似方程組的奇點 在五種一般情形與組（4）的奇點 的性態(tài)相同。第三十張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25結(jié)論2 設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個連續(xù)的首次積分，則

10、O必為中心。在O(0,0)點的鄰域內(nèi)解析。第三十一張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25 捕食與被捕食模型問題的提出 20世紀20年代，意大利生物學家U.DAncona在研究魚類變化規(guī)律時，無意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間，意大利Finme港收購站的軟骨掠肉魚（鯊魚等以其他魚為食的魚）在魚類收購量中的所占比例的資料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7-1918,11第三十二張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2

11、022/8/25戰(zhàn)爭期間鯊魚比例明顯增加！ 顯然，捕獲的各種魚的比例基本上代表了地中海漁場中各種魚的比例。 戰(zhàn)爭中捕獲量大幅下降，應(yīng)該使?jié)O場中食用魚和以此為生的鯊魚數(shù)量同時增加。 然而，捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加？發(fā)現(xiàn)DAncona 的迷惑：第三十三張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25請教著名的意大利數(shù)學家 Volterra。 將魚分為兩類，一類為捕食(predator) 種群，另一類為被捕食(prey) 種群。設(shè) t 時刻兩種群的數(shù)量（或密度）為 y(t)，x(t)。在無捕撈和忽略了密度制約的情形下，有：第三十四張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月20

12、22/8/25平衡點為一次近似系統(tǒng)第三十五張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的鞍點。一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的 ？。的鞍點。的中心。第三十六張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25定理： 設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點的鄰域內(nèi)解析。第三十七張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25為了研究平衡點M，作平移變換首次積分第三十八張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25由定理，得平衡點M的外圍鄰近被一閉軌線族 所環(huán)繞。說

13、明：在M附近，食餌種群與捕食種群的個體總量呈周期性變化。OxyM盡管沿不同的閉軌線的周期可能不同，但兩種群個體數(shù)量在一個周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)。第三十九張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25兩種群個體數(shù)量在一個周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)：兩種群個體數(shù)量在一個周期內(nèi)的平均值恰好是平衡點的坐標。事實上，而第四十張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25同理，可證西北大學數(shù)學系第四十一張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25現(xiàn)考慮捕撈的影響平衡點的坐標為解釋：捕撈能力減少，食餌種群數(shù)量減少，而捕食種群數(shù)量增加。第四十二張，PPT

14、共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25應(yīng)用農(nóng)藥的使用策略。害蟲食餌，害蟲的天敵捕食者。因此，應(yīng)該適量地使用農(nóng)藥，更應(yīng)發(fā)展以蟲治蟲的策略。平衡點的坐標為根據(jù) Volterra 原理：殺蟲能力過量，害蟲種群數(shù)量增加，而天敵種群數(shù)量減少，對天敵更為不利。第四十三張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25 天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物鏈，且對人類生存起著重要作用。長期以來，人為破壞（如過度放牧、獵殺動物及采挖草藥等）使草原生態(tài)每況愈下，日漸衰竭。據(jù)2000年8月6日北京晚報載：“受利益驅(qū)使，有些人不顧國家法律和當?shù)卣?，在呼倫貝爾草原大肆采挖中草藥，致使?/p>

15、原嚴重受損。據(jù)此，有關(guān)專家推斷，10年之內(nèi)，該草原將變成荒漠。” 草原命運思考第四十四張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25為了天然草原生息繁衍和可持續(xù)發(fā)展，完成以下工作：（1）建立草原自然生長規(guī)律模型，描述人為破壞對草原生長的影響過程;（2）論證或駁斥報載消息中專家的推斷，如果立即停止對草原的一切破壞，10年后的情形如何？（3）尋找導(dǎo)致草原消失的臨界條件，給出草原生長的挽救方案，并對挽救效果進行預(yù)測。第四十五張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/252007年6月湖南洞庭湖鼠患20億田鼠洞庭“跑馬圈地 ”第四十六張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6

16、月2022/8/25政府收購鼠尾巴鼓勵捕鼠；成千上萬田鼠陷落捕鼠溝。 新華社 圖人鼠大戰(zhàn)可能還將繼續(xù)。 新華社 圖 2007年07月11日 08時13分廣州日報 第四十七張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25洞庭湖區(qū)用毒藥滅鼠可能釀成新的生態(tài)災(zāi)難 捕食鏈破壞老鼠的天敵蛇、貓頭鷹大量減少老鼠泛濫莊稼、環(huán)境受到威脅人類的盤中餐豐盛有余威脅人類的生存從人類自身做起 保護環(huán)境！第四十八張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25關(guān)于撰寫建模論文摘要問題重述模型假設(shè)（符號說明）問題分析模型的建立及求解結(jié)果的分析與檢驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)缺點評價問題進一步思考（模型推廣）參考文獻第四十九張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25競賽過程中注意的問題時間安排合理分工團結(jié)奮戰(zhàn)，互相鼓勵第五十張，PPT共五十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/25時間安排上午下午晚上定題準備，思路作題（第一問）建模作題（第一問）求解作題（第二問）建模作題（第二問）