六年級奧數(shù)格點(diǎn)型面積教師版

1、PAGE |初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-提高-精英學(xué)生版| 第1講 第頁 PAGE 頁碼 11 / NUMPAGES 總頁數(shù) 114-2-7.格點(diǎn)型面積例題精講六年級奧數(shù)格點(diǎn)型面積教師版在一張紙上,先畫出一些水平直線和一些豎直直線,并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等通常規(guī)定是1個單位,這樣在紙上就形成了一個方格網(wǎng),其中的每個交點(diǎn)就叫做一個格點(diǎn)在方格網(wǎng)中,以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形,例如,右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個格點(diǎn)多邊形那么,格點(diǎn)多邊形的面積如何計算？它與格點(diǎn)數(shù)目有沒有關(guān)系？如果有,這兩者之間的關(guān)系能否用計算公式來表達(dá)？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn),L表示多邊形

2、周界上的格點(diǎn),S表示多邊形面積,請同學(xué)們分析前幾個例題的格點(diǎn)數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：這個規(guī)律就是畢克定理畢克定理若一個格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個格點(diǎn),它的邊界上有L個格點(diǎn)，則它的面積為判斷下列圖形哪些是格點(diǎn)多邊形？ 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】判斷根據(jù)格點(diǎn)多邊形的定義可知,圖形的邊必須是直線段,頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上！所以只有是格點(diǎn)多邊形【答案】是格點(diǎn)多邊形如圖,計算各個格點(diǎn)多邊形的面積 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答本題所給的圖形都是規(guī)則圖形,它們的面積運(yùn)用公式直接可求,只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了 方法一：圖是正方形,邊長是4,所以面積是面積單位；圖是矩形,長是5,寬是3,

3、所以面積是面積單位；圖是三角形,底是5,高是4,所以面積是面積單位；圖是平行四邊形,底是5,高是3,所以面積是面積單位；圖是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面積是面積單位；圖是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面積是面積單位如果兩格點(diǎn)之間的距離是2,能利用剛計算的結(jié)果說出相應(yīng)面積么？教師總結(jié)：面積數(shù)值均擴(kuò)大4倍方法二：以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外,我們還可以從推導(dǎo)它們的面積公式過程中得到啟發(fā),即用“割補(bǔ)法”或“擴(kuò)展法”分別轉(zhuǎn)化成長方形來求這一種方法很重要,在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖,我們利用“擴(kuò)展法”將其轉(zhuǎn)化,如圖所示,從圖中易知三角形面積是長方形面

4、積的一半如圖,我們利用“割補(bǔ)法”將其陰影部分面積平移到右邊,轉(zhuǎn)化成一個長方形,從中易得平行四邊形面積同理,圖、也可利用同樣的思想【答案】圖；圖；圖；圖；圖；圖如圖a,計算這個格點(diǎn)多邊形的面積 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答方法一擴(kuò)展法這是個三角形,雖然有三角形面積公式可用,但判斷它的底和高卻十分困難,只能另想別的辦法：這個三角形是處在長是6、寬是4的矩形內(nèi),除此之外還有其他三個直角三角形,如下右圖b,這三個直角三角形面積很容易求出,再用矩形面積減去這三個直角三角形面積,就是所要求的三角形面積矩形面積是；直角三角形的面積是：；直角三角形的面積是：；直角三角形面積是；所求三角形的面

5、積是面積單位方法二割補(bǔ)法將原三角形分割成兩個我們方便計算面積的三角形,如c圖因此三角形的面積是：面積單位【答案】右圖是一個方格網(wǎng),計算陰影部分的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽擴(kuò)展法把所求三角形擴(kuò)展成正方形ABCD中這個正方形中有四個三角形：一個是要求的；另外三個分別是：ABE、FEC、DAF,它們都有一條邊是水平放置的,易求它們的面積分別為,所以,圖中陰影部分的面積為：【答案】分別計算圖中兩個格點(diǎn)多邊形的面積 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答利用“擴(kuò)展法”和“割補(bǔ)法”我們都可以簡單的得到第一幅圖的面積均為9面積單位第二幅圖的

6、面積均為10面積單位【點(diǎn)評】“一個格點(diǎn)多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和周界上的格點(diǎn)數(shù)與格點(diǎn)多邊形的面積有沒有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？”下面我們就來探討一下！在鞏固中,我們發(fā)現(xiàn)兩個圖形面積相等進(jìn)一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是8個；第二個圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是10個,包含在圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)也相等,都是6個【答案】第一幅圖的面積均為9；第二幅圖的面積均為10求下列各個格點(diǎn)多邊形的面積 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答 ；,面積單位； ；,面積單位； ；,面積單位； ；,面積單位用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn),L表示多邊形周界上的格點(diǎn),S表示多邊形面積,請同學(xué)

7、們分析前幾個例題的格點(diǎn)數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：這個規(guī)律就是畢克定理【答案】； ； “鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)；圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù) ；根據(jù)畢克定理, 則單位面積【答案】右圖是一個面積單位的圖形求矩形內(nèi)的箭形的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答箭形的面積面積單位【答案】比較圖中的兩個陰影部分和的面積,它們的大小關(guān)系_【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,二試,第9題,6分的面積為：,的面積也為。所以兩塊陰影部分面積相等均為3。【答案】相等右圖中每個小正方形的面積都是1,那么圖中這只“狗”所占

8、的面積是多少？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】4星 【題型】解答圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為54,圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為19所以圖形的面積為：面積單位【答案】如圖,每一個小方格的面積都是1平方厘米,那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？ 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答方法一：正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：N+-1單位正方形面積,其中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù),L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有N=4,L=7,則用粗線圍成圖形的面積為：4+-11=6.5平方厘米方法二：如右上圖,先求出粗實線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積,有=32=15,=22=1,=22=1,=22=1,=22=l,=22=1,還有三個小正方形,所以粗實線外

9、格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為15+l+1+1+1+1+3=95,而整個格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為16,所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5平方厘米【答案】平方厘米第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽在7月21日開幕,下面的圖形中,每一個小方格的面積是1,那么7、2、1三個數(shù)字所占的面積之和是多少？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽要計算三個數(shù)字所占的面積之和,可以先分別求出每個數(shù)字所占的面積顯然,圖中的三個數(shù)字都可以看作格點(diǎn)多邊形,根據(jù)畢克定理,可以很方便地求出每個數(shù)字所占的面積值得注意的是：數(shù)字“7”內(nèi)部有兩個格點(diǎn),而數(shù)字“2”和“1”內(nèi)部

10、都沒有格點(diǎn)7所占的面積為：；2所占的面積為：；1所占的面積為：所以,這三個數(shù)字所占的面積之和為：【答案】的方格紙,小方格的面積是1平方厘米,小方格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)請你在圖上選7個格點(diǎn),要求其中任意3個格點(diǎn)都不在一條直線上,并且使這7個點(diǎn)用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么,所圍圖形的面積是 平方厘米【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 為了使這7個點(diǎn)圍成最大的面積,這7個點(diǎn)應(yīng)盡量在正方形的邊或頂點(diǎn)上,如圖選取7個點(diǎn),圍成面積最大最大面積為平方厘米【答案】平方厘米兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格現(xiàn)將這兩個正方形的一部分重疊起來,若左上角的陰影部

11、分塊狀面積為,右下角的陰影部分線狀面積為,求大正方形的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】從小愛數(shù)學(xué) 塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為D,則D與前者共14個方格,與后者共17個方格,因此每個方格的面積是大正方形的面積為【答案】平方厘米將邊長為正整數(shù)的正方形平均分成個小正方形,每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)。例如：圖A中的格點(diǎn)是邊長為的正方形的格點(diǎn)。圖B中,在邊長為12的正方形中有四個完全相同的直角三角形。如果三角形的一條直角邊是3,那么這四個三角形各邊共經(jīng)過多少個格點(diǎn)？每個格點(diǎn)只計一次 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級,二試,第19題,

12、10分如下圖是一個三角形的示意圖,共經(jīng)過了33個格點(diǎn)【答案】個格點(diǎn)模塊二、三角形格點(diǎn)問題1、定義：所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“”或“”,所形成的三角形都是等邊三角形規(guī)定它的面積為1,以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形2、公式：關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積同樣有它的計算公式：如果用S表示面積,N表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù),L表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù),那么有,就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的2倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去2如圖a,有21個點(diǎn),每相鄰三個點(diǎn)成“”或“”,所形成的三角形都是等邊三角形計算三角形ABC的面積 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答方法一：如

13、圖b所示,在ABC內(nèi)連接相鄰的三個點(diǎn)成DEF,再連接DC、EA、FB后是ABC可看成是由DEF分別延長FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的,由等積變換不難得到, ,所以面積單位 方法二：如圖c所示,作輔助線把圖、分別移拼到、的位置,這樣可以通過數(shù)小正三角形的方法,求出ABC的面積為10 方法三：如圖d所示：作輔助線可知：平行四邊形ARBE中有6個小正三角形,而ABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半,即,平行四邊形ADCH中有4個小正三角形,而ADC的面積是平行四邊形ADCH面積的一半,即平行四邊形FBGC中有8個小正三角形,而FBC的面積是平行四邊形FBGC的一半,即：所以面積單位 【

14、答案】如圖,每相鄰三個點(diǎn)所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形,計算ABC的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答因為；：所以面積單位【答案】求下列格點(diǎn)多邊形的面積每相鄰三個點(diǎn)“”或“”成面積為1的等邊三角形 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答 ；,面積單位； ；,面積單位； ；,面積單位； ；,面積單位【答案】1；2；把大正三角形每邊八等分,組成如右圖所示的三角形網(wǎng)如果大三角形的面積是128,求圖中粗線所圍成的三角形的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答圖中有個小三角形,那么一個小三角形的面積是,圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為12,圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為4；圖形的面積為：

15、面積單位,進(jìn)而得圖形的面積為：【答案】如圖,如果每一個小三角形的面積是1平方厘米,那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？ 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答法一：正三角形方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：2N+L-2x單位正三角形面積,其中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù),L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有N=9,L=4,所以用粗線圍成的圖形的面積為：92+4-21=20平方厘米法二：如下圖,我們先數(shù)出粗實線內(nèi)完整的小正三角形有10個,而將不完整的小正三角形分成4部分計算,其中部分對應(yīng)的平行四邊形面積為4,所以部分的面積為2,、部分對應(yīng)的平行四邊形面積分別為2,8,6,所以、部分的面積分別為1,4,3所以粗實線內(nèi)

16、圖形的面積為10+2+1+4+3=20平方厘米【答案】平方厘米如果下圖中任意相鄰的三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積都是2平方厘米那么,三角形ABC的面積是_平方厘米 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【答案】平方厘米模塊三、構(gòu)造格點(diǎn)進(jìn)行解題圖中正六邊形ABCDEF的面積是54,AP=2PF,CQ=2BQ,求陰影四邊形CEPQ的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽 如圖,將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積,面積,面積,四邊形ABQP面積上述三塊面積之和為因此,陰影四邊形CEPQ面積為【答案】正六邊形ABCDEF的面積

17、是6平方厘米M是AB中點(diǎn),N是CD中點(diǎn),P是EF中點(diǎn)問：三角形MNP的面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽將正六邊形分成六個面積為1平方厘米的正三角形,再取它們各邊的中點(diǎn)將每個正三角形分為4個小正三角形于是正六邊形ABCDEF被分成了24個小正三角形,每一個小正三角形的面積是平方厘米,三角形MNP由9個小正三角形所組成,所以三角形MNP的面積平方厘米 【答案】如圖涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米,問：大正六角星形面積是多少平方厘米？ 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答如圖,涂陰影部分的小正六角星形可分成12個與三角形PMN全等能完全重疊地放在一起的小三角形而圖中的大正六角星形除去小正六角星形后有64=24個與三角形PMN全等的小三角形,所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍,即48平方厘米【答案】平方厘米把正三角形每邊三等分,將各邊的中間段取來向外面作小正三角形,得到一個六角形再將這個六角形的各個“角”即小正三角形的兩邊三等分,又以它們的中間段向外作更小的正三角形,這樣就得到圖所示的圖形如果這個圖形面積是1,那么原來的正三角形面積是多少?【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】