八個有趣模型-搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

1、(3)題-2 #(3)題-2 八個有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型(三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑)(3)題-2 #(3)題-2 #(3)題-2 (3)題-2 #(3)題-1C方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2=a2b2c2,即2R=a2+b2+c2,求出RTOC o 1-5 h z例1(1)已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是(C)a16,.20,.24,.32,()若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是9,解:()V=a2h=16,a=2,4R2=a2a2h2=4416=24,S

2、=24,選C()4R2=333=9,S=4,R2=9,()在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且AM丄MN若側(cè)棱SA=2忑則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是。36,解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：如圖()，取AB,BC的中點D,E,連接AE,CD,AE,CD交于H,連接SH,則H是底面正三角形ABC的中心，SH丄平面ABC，SH丄AB,AC二BC,AD二BD,CD丄AB,AB丄平面SCD,AB丄SC，同理：BC丄SA,AC丄SB，即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖()，AM丄MN,SBMN,AM丄SB,AC丄SB，SB丄平面SAC,SB丄SA,SB丄SC,SB丄

3、SA,BC丄SA,SA丄平面SBC,SA丄SC,故三棱錐S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2二(23)2(23)2(23)2二36,即4R2二36,正三棱錐S-ABC外接球的表面積是36,11 #11 （）在四面體SABC中，SA丄平面ABC,ABAC，120。,SA，AC，2,AB，1,則該四面體的外接球的表面積為（）A1B.7兀c.103d.403（）如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為解析：()在AABC中，BC2，AC2+

4、AB2一2AB-BC-cos120。，7，BC727BC，7，AABC的外接球直徑為2r，,sinABAC33T274040(2R)2，(2r)2+SA2，()2+4，一，S，選333（）三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c（a,b,ceR+），則lab，12bc，8，abc，24，/.a，3，b，4，c，2，(2R)2，a2+b2+c2，29，S，4R2,29，ac，6()(2R)2，a2+b2+c2，3，44V，R3，3333,3I2類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）.題設(shè)：如圖，PA丄平面ABC解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直

5、徑AD，連接PD，則PD必過球心O；第二步：O為AABC的外心，所以00丄平面ABC，算出小圓O的半111徑01D=r（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得CADB圖5a,b,csinAsinBsinC），OO，1PA.12；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2，PA2+（2r）2o2R，PA2+（2r）2；R2,r2+OO2oR，r2+0023 #.題設(shè)：如圖，P的射影是ABC的外心o三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等o三棱錐P-ABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點A3兀B2兀C16兀3.以上都不對解：選，(3R)2+1二R23-23RR21=R24-23R

6、=0216R=S=4兀R2二兀33例2一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（第一步：確定球心O的位置，取ABC的外心O,則P,O,O三點共線;11第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi=r，再算出棱錐的高POi=h（也是圓錐的高）;第三步：勾股定理：OA2=OA2OO2R2=（hR）2丫2，解出R11方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。3 # 類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）3 # #3 i題設(shè)：如圖-平面PAC丄平面ABC,且AB丄BC（即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC，2r；abc第二步：在APAC中，可

7、根據(jù)正弦定理=,2R，求出RsinAsinBsinC.如圖-平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC（即AC為小圓的直徑）OC2，OC2+OO2R2,r2+OO2AC，2R2一OO211113如圖-平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC（即AC為小圓的直徑），且P的射影是AABC的外心三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等三棱P-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心O,則P,O,O三點共線；11第二步：先算出小圓O的半徑AO，r，再算出棱錐的高PO，h（也是圓錐的高）；111第三步：勾股定理：OA2，OA2+OO2nR2，（h-R）2+

8、r2，解出R114如圖-平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC（即AC為小圓的直徑），且PA丄AC，貝0利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2，PA2+（2r）22R，PA2+（2r）2；R2,r2+OO2R，r2+OO211例（）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為23，則該球的表面積為。（）正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為2，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為一解：（）由正弦定理或找球心都可得2R，7，S，4兀R2，49兀，4兀（）方法一：找球心的位置，易知r，1，h，1，h，r，故球心在正方形的中心ABCD處，R，1，V，丁方法二：大圓是軸截面所的

9、外接圓，即大圓是ASAC的外接圓，此處特殊，RtASAC的斜邊是球半徑，4兀R，2，R，1，V，（）在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=3側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60。，則該三棱錐外TOC o 1-5 h z接球的體積為（）,4,兀A33解：選，圓錐A,B,C在以r二斗的圓上，R二1（）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的求面上AABC是邊長為1的正三角形SC為球O的直徑且SC=2，則此棱錐的體積為（）2A663*2解:ooi二R2r2二1（3）2=f，h，V二3Sh二3斗二尋類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）3 # #3 #題設(shè)：如圖10，-圖110-，2圖10-

10、直3三,棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心O的位置，O是AABC的外心，則00丄平面ABC；1111第二步：算出小圓0的半徑A0=丫，00AAh（AA=h也是圓柱的咼）;r2+(2”，解出R1112121第三步：勾股定理：0A20A2+002nR211例4（1）一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上9且該六棱柱的體積為6，底面周長為3，則這個球的體積為8解：設(shè)正六邊形邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的關(guān)徑為r，則a2，底面積為S6二(-)2，VSh口h9，h3，R2(二)2+(1)21,428

11、柱88224,R1，球的體積為V=- # ()直三棱柱ABCABC的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,BAC=120,則此1111球的表面積等于。23解：BC=23，2r二二4，r=2，R=5，S二20sin120。()已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,AEB=60，則多面體E一ABCD的外接球的表面積為。16兀解析：折疊型，法一：EAB的外接圓半徑為r=3，00=1，11ECR=1+3=2.法二：OM=二，12r=OD=，R2=-+13=4，R=2，S=16兀22244()在直三棱柱ABCABC中，AB=4,AC=6,A=,AA=4則

12、直三棱柱ABCABC的外接球11131603的表面積為解析：BC2=16+362-4-6丄=28，BC=27，2r=2273227r=，3111R2=r2+(1)22=28+4=巴，S=竺333類型五、折疊模型第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出BCD和ABD的外心H和H.12第二步：過H和H分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心0，連接OE,OC.12第三步：解OEH，算出OH，在RtOCH中，勾股定理：OH2+CH2=OC211111例三棱錐PABC中,平面PAC丄平面ABC，PAC和厶ABC均為邊長為2的正三角形，貝0三棱錐PABC外接球的半徑為.4

13、4 解析：2廠2廠:，rr2sin60312R2OH2+r2214，R-15333，OH123法二：OH123OH1，AH11315R2AO2AH2+O1H2+O1O23，R3類型六、對棱相等模型（補形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c,ADBC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列方程組,x2+y2+z2b2+c2y2n(2R)2a2+b2+c2=，11補充：Vabc-abcx4=_abca-bcd63X2+y2+z2第三步：根

14、據(jù)墻角模型，2Ra2+b2+c2；R2X2+y2+z2，RX2+y2+z2，求出R,8例如,正四面體的外接球半徑可用此法。例6（1）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上,個截面如圖，則圖中三角形正四面體的截面的面積是.（）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（其中底面的三個頂點312解：（）截面為APCO，面積是1（）高hR1，底面外接圓的半徑為R1，直徑為2R2,2；設(shè)底面邊長為a，則2R02，a3，S二#a2二手,sin6044（1）題解答圖1三棱錐的體積為V3Sh 33 BAC)12564125125,3兀=，選c1251T()在三

15、棱錐ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,則三棱錐ABCD外接球的表29TOC o 1-5 h z面積為。,解析：如圖，設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c，則a2+b2=9,b2+c2二4，c2+a2二162(a2+b2+c2)=9+4+16=29，2(a2+b2+c2)=9+4+16=29，292929a2+b2+c2=，4R2=，S=兀222（）如圖所示三棱錐A一BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,則該三棱錐外接球的表面積為解析：同上，設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c，2(a

16、2+b2+c2)=25+36+49=110，a2+b2+c2=55，4R2=55，S=55,【兀；對稱幾何體；放到長方體中】（）正四面體的各條棱長都為2，則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，2R=3，TOC o 1-5 h z4333兀=82類型七、兩直角三角形拼接在一起斜邊相同也可看作矩形沿對角線折起所得三A圖13題設(shè)：ZAPB=ZACB=90，求三棱錐PABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點O，連接1OP,OC，則OA=OB=OC=OP=AB，O為三棱錐PABC外接球球心，然后在OCP中求出2半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成

17、的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例（）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（TOC o 1-5 h z125125兀兀12*954解：（1）2R=AC=5，R=，V=,R3=23386（2）在矩形ABCD中,AB=2，BC=3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐ABCD的夕卜接球的表面積為解析：（）BD的中點是球心O，2R=BD=13，S=4,R2=13兀； 33 #類型八、錐體的內(nèi)切球問題.題設(shè)：如圖，三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別

18、是兩個三角形的外心;第二步：求DH=*BD，PO=PHr，PD是側(cè)面,ABP的高;第三步：OEPO由,POE相似于，PDH，建立等式：，解出rDHPDC圖14 #33 # #33 #.題設(shè)：如圖，四棱錐P-ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點共線;第二步：求FH二1BC，PO=PHr，PF是側(cè)面,PCD的高;2第三步：OGPO由MOG相似于,PFH，建立等式：麗-帀，解出圖15題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積； 33 +VOPBC第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：V=V+V+VPABCOABCOPABOPAC1111V二一S-r+S-r+S-r+Sr二一(S+S+S+S)rP-ABC3，ABC3PAB3PAC3PBC*AABC,PABPACAPBC3VPABC第三步：解出r二S+S+S+SOABCOPABOPACOPBC習題：i若三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA2，SBSC4，則該三棱錐的外接球半徑為（）36369解:【】（2R）24+16+166，R3