上海市楊浦高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 12 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 12 頁2021-2022學(xué)年上海市楊浦高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1函數(shù)的圖象可能是（）ABCD【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性和特殊點的處的函數(shù)值的符號可得正確的選項.【詳解】因為，故，故為偶函數(shù)，故排除AC.而，故排除D，故選：B.2已知向量，則（）ABCD【答案】A【分析】先求的坐標(biāo)，再用平面向量模長的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】，所以.故選：A.3已知點A,B,C,D是直角坐標(biāo)系中不同的四點，若，且，則

2、下列說法正確的是（ ）AC可能是線段AB的中點BD可能是線段AB的中點CC、D可能同時在線段AB上DC、D不可能同時在線段AB的延長線上【答案】D【分析】根據(jù)向量共線定理得到四點共線，再根據(jù)反證法求證，問題可逐一解決.【詳解】解：由，可得：四點共線，對于選項A，若C是線段AB的中點，則，則，不滿足，即選項A錯誤；對于選項B，若D是線段AB的中點，則，則，不滿足，即選B錯誤；對于選項C，若C、D同時在線段AB上，則，則，不滿足，即選項C錯誤；對于選項D，假設(shè)C、D同時在線段AB的延長線上，則 ，則，則不滿足，即假設(shè)不成立，即C、D不可能同時在線段AB的延長線上，即選項D正確；故選：D.【點睛】本

3、題考查了向量共線定理，重點考查了反證法，屬中檔題.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為第四象限角，角的終邊與單位圓O交于點P(x0，y0)，若cos()=，則x0=（）ABCD【答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義知x0=cos，因為cos=，所以利用兩角差的余弦公式可求.【詳解】解：由題意，x0=cos.，又cos()=，=，x0=cos=+=.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵點是根據(jù)cos()=，縮小角的范圍，從而確定的正負(fù).二、填空題5教室里的掛鐘時間從中午12點到當(dāng)天下午3點，時針轉(zhuǎn)了_弧度.【答案】【分析】由時鐘的時針在鐘面上每轉(zhuǎn)動一個整點的大刻度所得的度數(shù)求出中午12點到當(dāng)天下午

4、3點所轉(zhuǎn)弧的度數(shù)即可得解.【詳解】因時鐘的時針在鐘面上為順時針轉(zhuǎn)動，則每轉(zhuǎn)動一個整點的大刻度所轉(zhuǎn)弧的度數(shù)為，從中午12點到當(dāng)天下午3點，時針轉(zhuǎn)了3個這樣的大刻度，則時針?biāo)D(zhuǎn)弧的度數(shù)為，所以時針轉(zhuǎn)了弧度.故答案為：6若一扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積是_【答案】【分析】利用扇形的弧長公式求扇形的半徑，進而應(yīng)用扇形面積公式求其面積即可.【詳解】由題意，令扇形的半徑為，則，即有，該扇形的面積是故答案為：.7已知角的終邊過點P（5，a），且tan ，則sin cos 的值為_.【答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】由三角函數(shù)的定義得，tan ，a12，P（5，12）.這時r13，si

5、n ，cos ，從而sin cos .故答案為：8已知正方形ABCD的邊長為2，則_【答案】【分析】利用向量的加法計算即可.【詳解】.故答案為：.9已知，且，則_.【答案】【分析】根據(jù)題意，可知，結(jié)合三角函數(shù)的同角基本關(guān)系，可求出和再根據(jù)，利用兩角差的余弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，又，所以，所以.故答案為：.10已知函數(shù)f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，則f(2017)的值為_.【答案】3【分析】由題設(shè)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得f(4)asinbcos，再應(yīng)用正余弦函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式可得f(2017)asinbcos即可求值.【詳解】f(4)asin(4

6、)bcos(4)asinbcos3，f(2017)asin(2017)bcos(2017)asin()bcos()asinbcos3.故答案為：3.11已知向量、，且，則在上的投影為_.【答案】（或）【分析】由已知得出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義可得出在上的投影.【詳解】由已知可得，所以，所以，在上的投影為.故答案為：.12在中，已知是x的方程的兩個實根，則_【答案】（或）【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，再由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)及和角正切公式求，即可得其大小.【詳解】由題設(shè)，又，且，.故答案為：.13若函數(shù)取最小值時，則_.【答案】【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換，再利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】

7、，其中 時取最小值，故答案為：.14已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)，則的最大值是_【答案】13【分析】根據(jù)的對稱軸，以及其單調(diào)性，初步求得的取值范圍，再對取值進行驗證，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，則，因為在上單調(diào)，所以，所以，即，解得，則，即當(dāng)時，在上不單調(diào)，所以，即不符合題意；當(dāng)，即時，在上單調(diào)，所以，即符合題意，故的最大值是13故答案為：.【點睛】本題考察三角函數(shù)中的參數(shù)范圍問題，解決問題的關(guān)鍵是充分挖掘函數(shù)對稱性和單調(diào)性，屬困難題.三、解答題15已知函數(shù)，.(1)若是第一象限角，且，求的值；(2)求使成立的x的取值集合.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先求出，結(jié)合

8、所在象限求得，進而利用半角公式進行求解；（2）利用半角公式，輔助角公式求得，進而求出使成立的x的取值集合.【詳解】(1)，解得：，因為是第一象限角，所以；(2)，即，利用輔助角公式得：，所以，或，解得：，或，故使成立的x的取值集合為或16在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B的大??；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出B的值（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果，進一步求出三角形的周長【詳解】解：，解法2：，所以，（2）由（1）知，所以的面積為，因為，由正弦定理可得，由余弦定理，

9、所以的周長為【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型17已知函數(shù)的圖像如圖.(1)根據(jù)圖像，求的表達式及嚴(yán)格增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖像，且關(guān)于x的方程在上有解，求m的取值范圍.【答案】(1)，增區(qū)間為；(2)-1,2.【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，從而可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解的單調(diào)遞增區(qū)間（2）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得到的解

10、析式，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，即可求得的范圍【詳解】(1)根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，所以，由五點法作圖，可得，故，令，求得，Z，的單調(diào)遞增區(qū)間，Z(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到曲線的圖象，把上各點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖象，由在上有解，即在上有解，因為，所以，所以的取值范圍為18探究與實踐告訴我們：平面上不共線的三個點OAB，對平面上任意一點P，都有實數(shù)與，使得，且ABP三點共線的充要條件是.已知中，過重心G的直線交線段AB于P，交線段AC于Q，設(shè)的面積為，的面積為，.根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決以下問題：(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；

11、(2)【分析】(1)將表示為形式，根據(jù)題意可知當(dāng)P、G、Q三點共線時，xy1，據(jù)此即可證明；(2)利用三角形面積公式及(2)中結(jié)論可得，由的范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍【詳解】(1)，G是ABC重心，由材料可知，P、G、Q三點共線，化簡即為；(2)由(1)，可知，則當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)或0時，取得最大值，或0，故的取值范圍是19定義函數(shù)為“正余弦”函數(shù).結(jié)合學(xué)過的知識，可以得到該函數(shù)的一些性質(zhì)：容易證明為該函數(shù)的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：.可得：也為函數(shù)的周期.但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們可以分區(qū)間研究的單調(diào)性：函數(shù)在是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)，再結(jié)合，可以確定：的最小正周期為.進一步我們可以求出該函數(shù)的值域了.定義函數(shù)為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題：(1)求“余正弦”函數(shù)的定義域；(2)判斷“余正弦”函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)探究“余正弦”函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，說明理由，并求其值域.【答案】(1)(2)偶函數(shù)，理由見解析(3)在是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)；最小正周期為；理由見解析.值域為.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)