湖南大學(xué)微積分32-第32講一元微積分應(yīng)用五

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第三十二講 一元微積分的應(yīng)用(五)腳本編寫：劉楚中 平面曲線的曲率第六章 一元微積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計(jì)算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量：平面圖形的面

2、積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計(jì)算一些極限。第六章 一元微積分的應(yīng)用第 七 節(jié) 平面曲線的曲率一、曲率的概念二、曲率的計(jì)算公式三、參數(shù)方程下曲率的計(jì)算公式四、曲率圓、曲率中心 我們已經(jīng)討論過曲線的凹凸性 , 知道如判定曲線的彎曲程度 . 而在許多實(shí)際問題中何判斷曲線的彎曲方向 , 但是還不能描述和都必須考慮曲線的彎曲程度 , 例如 , 道路的彎道設(shè)計(jì) , 梁的彎曲程度 , 曲線形的切削工具的設(shè)計(jì)等等 .你認(rèn)為應(yīng)該如何描述曲線的彎曲程度 ?單位弧長上的轉(zhuǎn)角一、曲率的概念例1解求半徑為 R 的圓上任意一點(diǎn)處的曲率

3、. 如圖所示 , 在圓上任取一點(diǎn) M , 則故即圓上點(diǎn)的曲率處處相同：半徑越小的圓 , 彎曲得越厲害 .設(shè)曲線方程為則在曲線上點(diǎn)處的曲率為二、曲率的計(jì)算公式證如圖所示 ,曲線在故又從而例2解直線上任意一點(diǎn)處的曲率均為零 .俗話說 , 直線不彎曲 .例3解哪一點(diǎn)曲率最大 , 哪一點(diǎn)曲率最小 .利用參數(shù)方程求導(dǎo)法求出故得駐點(diǎn)故在各象限中+由此可得 :將它們代入曲率計(jì)算公式中即可得：三、參數(shù)方程下曲率的計(jì)算公式例4解會出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的分母為零的情形 , 相同 , 對稱 , 故原問題可以轉(zhuǎn)為求曲線圖形關(guān)于在有些實(shí)際問題中 , 現(xiàn)在問你一下 : (假設(shè)單位是統(tǒng)一的)如果告訴你一條曲線在點(diǎn) M 處的曲率為 你能

4、想象出它的彎曲程度嗎？如果告訴你有一個(gè)半徑為 5 的圓 , 你能想象出該圓上任何一點(diǎn)處的彎曲程度嗎？由此及前面講的例題1 , 你有什么想法？曲率圓曲率半徑曲率中心處可用一個(gè)相應(yīng)的圓來描述曲線的彎曲程度作其法線, 在法線指向曲線凹向的一側(cè)上取一點(diǎn) Q ,使以 Q 為中心 , R 為半徑所作的圓稱為曲線在點(diǎn)M 處的曲率圓 , 圓心 Q 稱為曲率中心 , R 稱為曲率半徑 .三、曲率圓、曲率中心曲率圓與曲線在點(diǎn) M 處相切 , 且在點(diǎn) M 處兩者曲率相同 . 曲率圓與曲線在點(diǎn) M 處具有相同的一、二階導(dǎo)數(shù) . 當(dāng)討論曲線在點(diǎn) M 處與一、二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的局部性質(zhì)時(shí), 可以通過討論其相應(yīng)的曲率圓的局部性質(zhì)來實(shí)現(xiàn) .曲率圓的性質(zhì)則曲線在點(diǎn)曲率中心的坐標(biāo)證則曲線在點(diǎn)由于故有其斜率為曲線在點(diǎn) M 處切線的斜率為從而 , 有(1)(2)由 (1) , (2) 兩式消去由于曲率圓總是位于曲線凹