研究生數(shù)值分析(6)割線法

1、 牛頓迭代法的收斂速度快，但是每一次迭代，除需計(jì)算 的值外，還要計(jì)算的值。如果 比較復(fù)雜，計(jì)算的工作量就可能很大，尤其當(dāng)7 割線法很小時(shí)，會產(chǎn)生很大的舍入誤差。為避免計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，我們用插商來代替導(dǎo)數(shù)。1設(shè)經(jīng)過 k 次迭代后，欲求 。兩點(diǎn)的差商用 f (x) 在來代替牛頓迭代公式中的導(dǎo)數(shù) ，2得到如下迭代公式：稱為割線法，又稱弦割法。計(jì)算時(shí)可用的接近程度控制迭代終止，也可用結(jié)束迭代，是允許誤差。3公式的幾何意義是：引一直線，則該直線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為因此迭代公式可看成割線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為 的新的近似值 ，設(shè)已知方程經(jīng)過點(diǎn) 和4故迭代公式又稱為弦割法。不如牛頓法，且需提供兩個較好的初始

2、近似根 。弦割法的優(yōu)點(diǎn)是避免了求導(dǎo)數(shù)。不足是收斂速度割線法收斂性見 p81-83。（如圖）5例8 用弦割法求方程解：取初始近似根 ，割線公式為在區(qū)間1，1.5內(nèi)的一個根,誤差不超過 。計(jì)算結(jié)果列于下表6 k x k f (x k)012345611.51.2666671.3159621.3252141.3247141.324718-10.875-0.234369-0.03703690.00211642-0.0000168760.000000182因?yàn)樗蠼聘鶠?78 單點(diǎn)割線法在割線法中用固定點(diǎn) (x0, f (x0)代替就得到新的迭代公式稱為單點(diǎn)割線法。8單點(diǎn)割線法的收斂定理定理9 設(shè)函數(shù)

3、 f (x)在區(qū)間a，b上存在二階 連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足條件：9則單點(diǎn)割線法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于方程F (x)=0在a,b內(nèi)唯一的根s,并且收斂速度是一階的。證明見書 p84-8510例9 用單點(diǎn)割線法求方程在區(qū)間(2，)內(nèi)的根，要求解：設(shè)滿足11所以，選由單點(diǎn)割線法產(chǎn)生的序列必收斂于方程在2，4內(nèi)的根s。迭代結(jié)果見下表12 k x k f (x k)0123456784.0000000002.0000000003.0607884393.1417387813.1459659363.1461816373.1461926303.1461931913.146193219 0.613705638-0.693147180-0.057884103-0.003037617-0.000155040-0.000007902-0.000000402-0.000000020-0.000000001已滿足精度要求，故方