數(shù)學與思維發(fā)展的關系

1、公理化方法的作用 一門學科實現(xiàn)公理化的標志是:1、它有一套基本術語/原始概念；2、它有一組基本命題/原始命題/公理；3、其余的概念全由原始概念出發(fā)定義，其余命題全由公理予以推理論證。第一頁，共二十九頁。公理化方法的作用 算術、幾何、微積分、泛函分析、拓撲學、集合論、群論、概率論建立了公理化體系；力學、物理學、量子力學、熱力學、統(tǒng)計力學利用了公理化方法；哲學、倫理學等也借鑒了公理化方法（康德、黑格爾、斯賓諾莎等）。我國教育理論也開始探討教育科學的邏輯起點。目的：提高本學科的邏輯化水平和科學化水平。第二頁，共二十九頁。公理化方法的作用 徐利治教授認為公理化經(jīng)歷了三個階段：實質(zhì)公理化時期形式公理化時

2、期元數(shù)學時期第三頁，共二十九頁。公理化方法的作用 實質(zhì)公理化：歐幾里德幾何的出現(xiàn)，是對已有的不證自明事實的高度概括，明顯依賴經(jīng)驗或感性直觀。牛頓力學的公理化體系（即其三大定律）也呈現(xiàn)實質(zhì)公理化特征。 形式公理化：非歐幾何的出現(xiàn)，公里的起點進一步被形式化和符號化，籍此，希爾波特把歐氏幾何也改造的更加形式化（點、線、面桌子、椅子、啤酒杯） 第四頁，共二十九頁。公理化方法的作用 元數(shù)學：概念成為符號；命題成了公式；推理成了公式變形；形式系統(tǒng)成為研究對象，數(shù)學成為更加抽象和形式化的系統(tǒng)。 元數(shù)學與形式公理化方法對于數(shù)學的更深入研究是必要的，但對于一般人來說，實質(zhì)公理化方法就已足夠。第五頁，共二十九頁。

3、公理化方法的作用 算術公理：1屬于非空集合N（1只是一個符號）；N的每個元素a有后繼數(shù)a;1不是任何元素的后繼數(shù)；若a=b，則a=b；設MN,若1M,又若當aM時，a M,則M=N原始概念只有1，后繼數(shù)集合，從集合論來的。第六頁，共二十九頁。公理化方法的作用 所有的算術概念、命題都建立在這樣一個簡單的基礎上。這體現(xiàn)了高度的概括性。物質(zhì)：物質(zhì)是獨立存在于人的意識之外的客觀存在。存在：不依賴人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀世界，即物質(zhì)。（現(xiàn)代漢語詞典，商務出版社，1983年第二版）。 這些是在某些人文社會學科中常見的邏輯毛病。第七頁，共二十九頁。公理化方法的作用 數(shù)學的推理是嚴格的、符合邏輯的。例如，我們要證

4、明圓內(nèi)接四邊形的兩對角和為180度。如果承認該命題，你就不會在企圖作一個非矩形的圓內(nèi)接平行四邊形，也不會試圖作一個非正方形的圓內(nèi)接菱形。第八頁，共二十九頁。公理化方法的作用第九頁，共二十九頁。公理化方法的作用第十頁，共二十九頁。公理化方法的作用實際上我們是依照如下的方式尋根：圓內(nèi)接四邊形兩對角互補；圓周角等于對應圓心角的一半；等腰三角形兩底角相等三角形一外角等于相鄰兩內(nèi)角之和；三角形三內(nèi)角和為180度；平行公理根第十一頁，共二十九頁。公理化方法的作用這種嚴謹與清晰的邏輯與尋根問底的精神只有哲學才能相比。 邏輯的起點無外乎兩個方面：概念的起點與命題的起點。概念新概念；命題新命題。數(shù)學已經(jīng)作出了表

5、率，這也是其他學科（包括人文社會學科）仿效的原由第十二頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用 我們常說數(shù)學是一門演繹科學，但它并不全是演繹。否則，我們將誤解了數(shù)學。 只所以說數(shù)學是演繹科學，那是指自歐氏幾何以來，為了使數(shù)學建立在公理化基礎上的工作是十分成功的。而公理化體系的核心就是演繹。那么公理體系來源于什么？原始的概念從何而來？這些就不是演繹所能夠解決的了！第十三頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用 實際上，如果我們的教學從嚴格的公理化方式進行，盡管它是邏輯嚴謹?shù)模侵行W生，甚至大學生都是無法接受的。因此，數(shù)學教育不可能建立在完全系統(tǒng)的公理方法基礎上，只能適當?shù)剡\用這些方法第十四頁，共二十九頁。數(shù)學直

6、覺的作用公理體系本身是不可能完備的。事實上，奧地利數(shù)學家哥德爾證明了“哥德爾不完備性定理”：即使是算術形式系統(tǒng)內(nèi)至少存在一個命題是系統(tǒng)本身不能確認其真?zhèn)蔚?。因此，把公理體系，從而把演繹的功能絕對化是錯誤的。第十五頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用 另一方面，按照心理學分類，純粹的演繹思想屬于收斂性思維，它能使人的思維更條理化、系統(tǒng)化，更健康，但是它也局限了人的思維的活潑性，因此，很難由演繹獲得開拓性成果和開創(chuàng)性發(fā)現(xiàn)。我國的教育現(xiàn)狀正存在過分強調(diào)收斂性思維（教學權威主義），而忽略發(fā)散性思維，這一點另人堪憂！第十六頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用正確的方式應該是全面地應用演繹、歸納、類比、直觀、直感、直

7、覺等思維方式進行教育活動，使收斂性思維和發(fā)散性思維得到合理的傳授。第十七頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：歸納、類比前面已經(jīng)談到歸納的作用。實際上，不完全歸納是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的開始，完全歸納是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的確認！ 人類從小就具有不完全歸納的能力。（認人，語言。數(shù)數(shù)），但接觸演繹則要晚得多，一般在初二學習幾何時才開始。這是少年的一個危險期，必須嚴肅對待。第十八頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：歸納、類比我們再來談談類比。類比雖然無法登上論證推理的大雅之堂，但卻是非常重要的發(fā)現(xiàn)式和創(chuàng)造式思維方式。它不是論證推理，屬于似真推理，雖然不能確證真理，但是可以逼近真理！第十九頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：歸納、類

8、比第二十頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：歸納、類比第二十一頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：歸納、類比第二十二頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：直觀、直感 有的問題從歸納、類比開始，但有的問題是從直覺、聯(lián)想開始的，還有的是從觀察開始的。 比如“四色問題”就是由一個年輕的英國人通過觀察感覺到似乎任何復雜的地區(qū)只需要四種顏色就可以加以區(qū)別。第二十三頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：直觀、直感 “四色問題”的難點在于無論多少區(qū)域也只需四色。1922（70年后）限定區(qū)域不超過251938：32區(qū)域 1940：35區(qū)域1968：40區(qū)域1976：解決（計算機，1200小時）（18521976）第二十四頁，共二

9、十九頁。數(shù)學直覺的作用：直觀、直感 凸多面體的邊、角、棱的關系也是通過觀察后總結(jié)出來的第二十五頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：直觀、直感第二十六頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：直觀、直感多面體面數(shù)F頂點數(shù)V棱數(shù)E1.三棱錐4462.四棱錐5583.五棱錐66104.三棱柱5695.四棱柱68126.五棱柱710157.八面體8612第二十七頁，共二十九頁。數(shù)學直覺的作用：直觀、直感 容易猜測公式F+V-E=2這是拓撲學中基本的Euler公式.第二十八頁，共二十九頁。內(nèi)容總結(jié)公理化方法的作用。3、其余的概念全由原始概念出發(fā)定義，其余命題全由公理予以推理論證。我國教育理論也開始探討教育科學的邏輯起點。形式系統(tǒng)成為研究對象，數(shù)學成為更加抽象和形式化的系統(tǒng)。1屬于非空集合N（1只是一個符號）。N的每個元素a有后繼數(shù)a。若a=b，則a=b。設MN,若1M,又若當aM時，a M,則M=N。所有的