電路與模擬電子技術(shù)20142-5非正弦分析

1、電路分析與電子技術(shù)基礎(chǔ)非正弦分析（8.1 8.2）非正弦分析實(shí)際應(yīng)用中，以非正弦信號(hào)為主。非正弦周期信號(hào)級(jí)數(shù)分解有效值、平均值功率穩(wěn)態(tài)計(jì)算非正弦周期信號(hào)存在的現(xiàn)實(shí)：激勵(lì)（信號(hào)）源是非正弦的，或非理想的正弦；電路中存在非線性元件。特點(diǎn)：非正弦、周期性變化?？梢岳眉?jí)數(shù)分解為一系列不同頻率的正弦分量。（直流信號(hào)和各次諧波信號(hào)的疊加）級(jí)數(shù)分解級(jí)數(shù)滿足狄條件的周期函數(shù)均可分解為級(jí)數(shù)。狄條件：在一個(gè)周期內(nèi)，具有有限個(gè)極值點(diǎn)、有限個(gè)間斷點(diǎn)和絕對(duì)可積。利用級(jí)數(shù)，可以將非正弦周期信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦分量（或者說：直流信號(hào)和各次諧波信號(hào)的疊加）。利用級(jí)數(shù)，可求得非正弦周期信號(hào)的頻譜。非周期信號(hào)，可以利

2、用積分變換作類似分析 .（假設(shè)非周期信號(hào)的周期為無窮大，將時(shí)間域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻率域中）級(jí)數(shù)（三角函數(shù)形式）定義一周期信號(hào)： f (t) f (t kT ) ，其中 T 為周期，k 為任意整數(shù)。對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)（三角函數(shù)形式）為：f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1 2其中，稱為基波角頻率， a 、a 、b 稱為系數(shù)。10T2nnT22TTT 0af (t) dtf (t) dt或0T2T222TTT 0af (dtf (dt或nT2T222TTT 0bf (dt或f (dtnT2級(jí)數(shù)（三角函數(shù)形式）利用級(jí)數(shù)，可以將非正弦周期信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦分量（或者說：

3、直流信號(hào)和各次諧波信號(hào)的疊加）。f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1級(jí)數(shù)的另種表示方式：f (t) A0 An cos(n1t n )n1 a0cos( t )其中，A稱為直流分量； A稱為基波分量；01112n 2 以后的分量分別稱為二次、三次 . （高次）諧波分量；bn和 tg 1a 2b2A分別是第 n 次諧波的幅值和初相角。nnnnan級(jí)數(shù)（三角函數(shù)形式）利用級(jí)數(shù)，可以將非正弦周期信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦分量（或者說：直流信號(hào)和各次諧波信號(hào)的疊加）。f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1級(jí)數(shù)的另種表示方式：f (t

4、) A0 An cos(n1t n )n1f (t) A0 An sin(n1t n )n1an tg 1其中， nbn諧波分析：將周期信號(hào)分解為直流、基波和高次諧波。級(jí)數(shù)（諧波分析）f(t)針對(duì)偶函數(shù)（偶對(duì)稱，縱軸對(duì)稱）： f (t) f (t)級(jí)數(shù)中的 bn = 0 。T0t42T 0af (dtf(t)n針對(duì)奇函數(shù)（奇對(duì)稱，原點(diǎn)對(duì)稱）：f (t) f (t)級(jí)數(shù)中的 a0 = 0 ，an = 0 。T0t42T 0bf (dtnf(t)針對(duì)橫軸半波對(duì)稱（鏡像對(duì)稱）：f (t) f (t T )2級(jí)數(shù)中只含奇次諧波，即 A2k = 0 。0tu(t)【例5.1】右圖所示（對(duì)稱U）信號(hào)波形。

5、波形表達(dá)式：T2T4t U t t T4 t T2u(t) T4T4U U求：此信號(hào)的T級(jí)數(shù)展開式。T4T4T22T2 T2TTTau(t) dt (U dt (U ) dt 0U ) dt解：0T2244T22Tau(dtnT2T4T4T22 TTTT( t) dt U cos n t dt (U cos n t) dtU cos n111244T20T2u(t)Ua0 0tT4TT2 42TTTa(U cos n t) dt U cos n t dt ( t) dtU cos nTn11T1T244T2 U2T4( sin)Tn124 2 U4 sin(n)1Tn1 4U sin(n) 2

6、n因此，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)：an= 0 ； 4U當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)：aT（1,5,9.為正，3,7,11.為負(fù)）nn2T2bdt 0 （也可由偶函數(shù)推得）u(nT2 cos ax dx 1 sin axa 21TT20T2u(t)U 4Ua 0， a，b 0t0n（n 為奇數(shù)時(shí)）展開式為：nn所求信號(hào)的u(t) 4U cos t 1 cos 3 t 1 cos 5 t 1 cos 7 t 1111357展開為無窮級(jí)數(shù)，在工程實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)：展開后的收斂性、電路頻率特性以及精度要求等，確定項(xiàng)數(shù)?；?基波+3次諧波基波+3次諧波+5次諧波基波+3次諧波+5次諧波+7次諧波u(t)u(t)0t0t

7、T20T2級(jí)數(shù)（頻譜）基于周期信號(hào)的級(jí)數(shù)（三角函數(shù)形式），定義：f (t) A0 An cos(n1t n )n1振幅頻譜：諧波（從 0 開始計(jì)）幅值 An 與角頻率 關(guān)系；相位頻譜：諧波（從 0 開始計(jì)）初相角n 與角頻率 關(guān)系。頻譜圖：包括振幅頻譜圖（幅頻特性圖）、相位頻譜圖（相頻特性圖）?？v坐標(biāo)分別是諧波幅值、初相角；橫坐標(biāo)是角頻率?！纠?.2】已知信號(hào)：f (t) 5 6 cos( t ) 2 cos(3 t )1122求：信號(hào)的頻譜圖。解：振幅頻譜圖和相位頻譜圖分別如下所示。n6An5231202121023111u(t)【例5.3】求：【例5.1】所示信號(hào)的頻譜圖。Ut解：所求信號(hào)

8、的展開式為：u(t) 4U cos t 1 cos 3 t 1 cos 5 t 1 cos 7 t 1111357 4U cos t 1 cos(3 t ) 1 cos 5 t 1 cos(7 t ) 1111357所以，振幅頻譜圖和相位頻譜圖分別如下所示。n4UAn4U4U4U3570011 31 51 7131 51 71T20T2級(jí)數(shù)（復(fù)指數(shù)形式）周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的f (t) a0級(jí)數(shù)（三角函數(shù)形式）為：n1(acos n t b sin n t)n1n12e jn1t e jn1tcos n1t 2利用公式：e jn t e jn tsin n t 11：f (t) 12 j Fn e j

9、n1t經(jīng)過計(jì)算，n復(fù)指數(shù)形式：將周期信號(hào)表示成一系列以 jn1t（周期信號(hào)的頻域表達(dá)式）為指數(shù)的函數(shù)形式；級(jí)數(shù)（復(fù)指數(shù)形式） Fn e jn1tn級(jí)數(shù)（指數(shù)形式）為：f (t) 周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的 an jbnAn頻譜函數(shù)：Fe jn可以表述各諧波分量的所有信息。n22模：等于對(duì)應(yīng)諧波分量幅值的一半；幅角（n 為正時(shí)）：等于對(duì)應(yīng)諧波分量的初相角。振幅頻譜： Fn 的幅值與角頻率 關(guān)系（偶函數(shù)）；相位頻譜： Fn 的幅角n 與角頻率 關(guān)系（奇函數(shù)）。雙邊頻譜 單邊頻譜（雙邊振幅頻譜負(fù)部以縱軸為對(duì)稱對(duì)折，對(duì)應(yīng)振幅相加后得單邊振幅頻譜）級(jí)數(shù)（復(fù)指數(shù)形式） an jbn1頻譜函數(shù)的計(jì)算：FTT 0j si

10、n n t) dtf (n12T 1T1Tf (t)e jn1tdt0T2jn t或f (t)edt1T21TT 0Ff (t)dt0T21T或f (t) dtT2u(t)【例5.4】求：【例5.1】所示信號(hào)的U復(fù)指數(shù)形級(jí)數(shù)展開式及其頻譜圖。tT21T1T2U解：Fnjn tdt u(t)esin(n) 21Tn2T2Fu(t) dt 00T2因此，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)：Fn 0； 2U當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)：F（1,5,9.為正，3,7,11.為負(fù)）nn Fn e jn1tn級(jí)數(shù)展開式：f (t) T20T2頻譜函數(shù)的計(jì)算過程？ eaxdx 1 eaxae jx e jx 2 cos xe jx e

11、jx j2 sin x 21T頻譜函數(shù)的計(jì)算過程？以1t 為積分變量 eaxdx 1 eaxae jx e jx 2 cos xe jx e jx j2 sin x 2UFF 00nn頻譜（雙邊）圖|Fn|tg 1Fn2U2U702U32U32U52U52U2U7771510317311551111（對(duì)應(yīng)原單邊頻譜圖）n4UAn4U4U4U3570011 31 51 7131 51 71頻譜（雙邊）圖|Fn|tg 1Fn2U2U702U32U32U52U52U2U7771510317311551111Fn當(dāng)為實(shí)數(shù)，且各諧波分量的相位為 0 或 時(shí)，可將頻譜圖合并。Fn7131317101 15

12、151u(t)【例5.5】右圖所示（周期脈沖）信號(hào)波形。U波形表達(dá)式：T2T2T2 t 20220t22T2u(t) t U t 20求：此信號(hào)的頻譜函數(shù)，并作頻譜圖。T21T1TUT1解：F2u(t)e jn tUe jn te jn tdt dt 2111nTjn1222n1T2sin U1T1 U2Tu(t) dt TU dt F02n1TT222u(t)UT4令： nT2T2sinU4U4則：F0 Fn 4 n4 220tn1sin由此可作出頻譜圖。 U U F2n1F|F |0nnTT2121 8141tg 1Fn41041811210121 814181121u(t)UT8令： n

13、T2T2sinU8U8則：F0 8Fnn8 220tn1sin U U F2n1F|F |0nnTT281810tg 1Fn81令： T m？810u(t)u(t)UU T2T2T2t 20t2sin nsin n 2U U2 U 2|Fn|UFF2nF 0n sin(n 2 )F0n0nn220 21611014181121tg 1Fn0T20T2級(jí)數(shù)（頻譜特征）離散性：頻譜圖由一系列的離散譜線組成的，所有譜線都出現(xiàn)在基波頻率1的整數(shù)倍頻率上（即：譜線間隔為1 ）。包絡(luò)性和收斂性（針對(duì)振幅頻譜）：包絡(luò)性：譜線高度受 sinc 函數(shù)制約；收斂性：頻率增加時(shí)，譜線高度總體趨勢(shì)逐漸減小，最后收斂于

14、零。頻譜函數(shù)代表的是一個(gè)時(shí)域信號(hào)，信號(hào)分析常對(duì)頻譜函數(shù)進(jìn)行。級(jí)數(shù)（頻譜特征）零振幅頻率：當(dāng) 2k (k 1， 2），即 k T 時(shí)，振幅為零。1有效頻譜寬度（信號(hào)的占有頻率）： 0 2T （或）是信號(hào)能量的主要分布區(qū)；1這是研究信號(hào)與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容。在保持脈沖寬度不變的情況下，若增大脈沖周期 T ，則基波頻率1變小，譜線變密，同時(shí)振幅減小，收斂速度降低；若無限增大脈沖周期 T ，則譜線間隔趨于零，振幅趨于零；（此時(shí)，離散頻譜過渡為連續(xù)頻譜，周期信號(hào)過渡為非周期信號(hào)）在保持脈沖周期 T 不變的情況下，若減少脈沖寬度，則振幅減小，收斂速度降低，但有效頻譜寬度及相鄰零振幅頻率間隔增大。級(jí)數(shù)（

15、功率譜）周期信號(hào)的平均功率（在 1電阻上的消耗），即：T1T2f 2 (t) dtP T2根據(jù)周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)表達(dá)方式，有：P | Fn|2n說明：周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中各分量（包括直流和各次諧波）平均功率之和。功率譜：| Fn |2 與角頻率 關(guān)系（離散頻譜）。u(t)【例5.6】求：【例5.5】所示信號(hào)在有效頻譜寬度內(nèi)，U諧波分量平均功率占信號(hào)總平均功率的百分比。T2T2 220t T解：定義，則信號(hào)的平均功率為：n1msinT22 U U T22FP 1 UT U22Ff(t) dt t0nn1TTTm22有效頻譜寬度為 m1 ，諧波分量平均功率為：2m1m1m1nUU|(n

16、12222P| () 2()mminc)smxnn(m1)n1以 m 分別為 3、5、7 為例，111222U， U， U信號(hào)功率分別為：357諧波功率分別為：0.3011U 2 ，0.1806U 2 ，0.1290U 2功率比為 90% 。有效值有效值：從能量等效的概念出發(fā)，衡量周期流信號(hào)大小的量。1TTf (t)2 dt周期信號(hào)的有效值：F 0非正弦周期信號(hào)：f (t) A0 An sin(n1t n )n1n02有效值：F An非正弦周期函數(shù)的有效值：直流分量與各次諧波分量有效值平方和的均。平均值1TT 0周期信號(hào)的平均值：ff (t)dtAV非正弦周期信號(hào)：f (t) A0 An si

17、n(n1t n )n1 0正弦周期信號(hào)的平均值：fAV非正弦周期信號(hào)的平均值：fAV A01TT|（整流）平均值：ff (t) | dtAVR0 2 Am正弦周期信號(hào)的（整流）平均值：fAVRu(t) U 0 U n sin(n1t un )n1功率瞬時(shí)功率：p(t) u(t) i(t)i(t) I0 n1 in )1Tn1T 0P p(t)dt UIIcos P 平均功率：UP00nnn0nn1非正弦周期信號(hào)的平均功率：直流分量與各次諧波分量平均功率之和。不同次諧波不能產(chǎn)生功率。穩(wěn)態(tài)計(jì)算非正弦周期信號(hào)激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)電路，無法直接采用直流或正弦電路的分析方法?；舅悸罚海?）將非正弦周期信號(hào)分解為

18、項(xiàng)收斂性，確定高次諧波的項(xiàng)數(shù)；級(jí)數(shù)表達(dá)式，根據(jù)所需精度及各分別計(jì)算在直流和各次諧波分量激勵(lì)作用下的電路響應(yīng)；直流作用：直流電路分析法（電感短路，電容開路）；諧波作用：正弦交流電路分析法（電感/感抗 . 電容/容抗 . ）應(yīng)用疊加定理將相應(yīng)響應(yīng)進(jìn)行疊加。疊加原則：按頻率疊加；疊加對(duì)象：有效值、瞬時(shí)值（不能是相量）。【例5.7】右下圖所示電路。已知：u(t) 180 sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1求：電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)。Vu(t)解：激勵(lì)源中僅包含 1、3、5 次諧波。針對(duì) 1 次諧波單獨(dú)分析，有：A

19、UI1 7.45 39.4 A16 j2 jR j L j CYwZBTU0tuIu(t) 180sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1#IT.AThAi?AG/70Vu(t)dQ*&1#$ 35 klm*9IA U 3I 2.120 A3R j 1L j6 j3 2 j C31U 5I 0.73 16.8 A5R j5 L j右下圖所示電路。已知：u(t) 180 sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1求：電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)。V

20、u(t)I1 I3I5 7.45 39.4 A 2.120 A 0.73 16.8 AA2 sin( 1t 39.4 ) 2.122 sin(51t 16.8 )A疊加：i(t) 7.452 sin31t 0.73I 2 I 2 I 2 7.78AI 所以：U P 135U 2 U 2 U 2 128.97V135 Ucos Ucos Ucos5 363.16WR1R3L4i1i2*【例5.8】右圖所示電路。已知：R1 R2 10，R 20 ， L L AA*W21M*L1*L2uS1(t)RCVL3uS2(t)21L 20， 2.5 ， M 10L CuS1 (t) 10 602 sin 1

21、t V ，uS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V求：電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)。解：電路中有兩個(gè)激勵(lì)源，包含直流、1、3 次諧波。R1R3I10I20單獨(dú)分析直流（電路圖如右所示）：US10I 0.5A10R R1 0A2uS10R2I 20U IR 5V0101R1R3L4i1i2*AA*W21右圖所示電路。已知：M*L1*L2uS1(t)RVuS2(t)R R 10122R 20 L L 1L 20 L 2.5 M 10 CuS1 (t) 10 602 sin 1t VuS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V1單獨(dú)分析 1 次諧波時(shí)：j

22、L / 13j C1即，L C 發(fā)生并聯(lián)諧振（如上）。3US11600有：I2 45 A 1.511R R j20 j20L1 0A211I21U1 I11 (R1 j1L1 ) 1.52 45 (10 j20) 47.418.4 VR1R3L4i1i2*AA*W21右圖所示電路。已知：M*L1*L2CVL3uS2(t)R R 10R122R 201 L L L 20 L 2.5 M 10 CuS1 (t) 10 602 sin 1t VuS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V1單獨(dú)分析 3 次諧波時(shí)：j3 L j3 L / 01413j3 C1即，L 與 L C 發(fā)生

23、串聯(lián)諧振（如上）。43根據(jù)回路電流方程：IIj3 1M 0M US23解得：I 0.27 44 A 0.57 62.4 A I13 R2 2.7136 V13I23U 3R1R3L4i1i2*AA*W21M*L1*L2uS1(t)RCVL3uS2(t)2i1(t) 0.5 3sin(1t 45 ) 0 27i2 (t) 0 572 sin(3. 1t 62.4 ) A2 sin(3. 1t 44 ) AnoIu(t) 5 47.42 sin(1t 18.4 ) 2.72 sin(31t 136 )V I 2 I 2 I 2 2.2 A9:;II1101113I 2 I 2 I 2I 2 U 0.57 A 47.7 V202123U 2 U 2 U 2013?AIP P