三角形四心向量形式的充要條件（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)必備考試技能高分領(lǐng)先方案

1、第PAGE 頁(yè)碼14頁(yè)/總NUMPAGES 總頁(yè)數(shù)14頁(yè)Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題09 三角形”四心“向量形式的充要條件一、結(jié)論1、三角形“四心”：重心，垂心，內(nèi)心，外心（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。2、設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則（1）為的外心.（2）為的重

2、心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.3、奔馳定理奔馳定理：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，,的面積分別記作,則.說(shuō)明：本定理圖形酷似奔馳的車標(biāo)而得名.奔馳定理在三角形四心中的具體形式：是的重心.是的內(nèi)心.是的外心.是的垂心.奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.二、典型例題1（2022四川西昌高二期末（理）在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】B【解析】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是ABC的內(nèi)心.故選：B【反思】設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則為的內(nèi)心.利用結(jié)論可直

3、接得到為的內(nèi)心.2（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】C【解析】作BDOC，CDOB，連接OD，OD與BC相交于點(diǎn)G，則BG=CG(平行四邊形對(duì)角線互相平分)，又，可得=-，=-，A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在ABC的中線上.點(diǎn)O為三角形ABC的重心.故選：C.【反思】設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則為的重心.利用結(jié)論可直接得到為的重心.3（多選）（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在所在平面內(nèi)有三點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A滿足，則點(diǎn)是的外心B滿足，則點(diǎn)是的重心C滿

4、足，則點(diǎn)是的垂心D滿足，且，則為等邊三角形【答案】ABCD【解析】解：對(duì)于，因?yàn)?，所以點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，故正確；對(duì)于B，如圖所示，為的中點(diǎn)，由得：，所以，所以是的重心，故B正確；對(duì)于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以點(diǎn)是的垂心，故C正確；對(duì)于D，由得：角的平分線垂直于，所以；由得：，所以，所以為等邊三角形，故D正確故選：ABCD【反思】設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.4.已知是的重心，且滿足，則= .【答案】【分析】要牢記前面的系數(shù)之比為1:1:1，求得三內(nèi)角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】是的重心

5、，由正弦定理，由余弦定理， .【反思】利用奔馳定理在三角形四心中的具體形式：是的重心，可得到，通過(guò)進(jìn)一步利用三角形的正余弦定理，求出角.三、針對(duì)訓(xùn)練 舉一反三一、單選題1（2021寧夏銀川一中高三階段練習(xí)（理）中，abc分別是BCACAB的長(zhǎng)度，若，則O是的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】B【詳解】 在的角平分線上，同理在的角平分線上，點(diǎn)為三角形的角平分線的交點(diǎn)故點(diǎn)是三角形的內(nèi)心.故選：B.2（2021山東棗莊高一期中）已知點(diǎn)G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則G點(diǎn)是三角形ABC的（ ）A垂心B內(nèi)心C外心D重心【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，以GAGB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接G

6、D，交AB于點(diǎn)O，如圖所示：則，所以，點(diǎn)O是AB邊的中點(diǎn)，所以CG所在的直線CO是AB邊上的中線，同理可證AG所在的直線是BC邊上的中線，BG所在的直線是AC邊上的中線，所以G點(diǎn)是三角形ABC的重心.故選：D.3（2021福建廈門(mén)市湖濱中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）若是平面上的定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，且滿足（），則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】C【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，所以在的邊AB上的中線所在直線上，則在的中線所在直線上，所以點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的重心，故選：C4（2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足+(0，+)，則點(diǎn)P的軌跡一定

7、通過(guò)ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】C【詳解】設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則有)，因此由已知得+，即=，于是=，則，因此P點(diǎn)在直線AD上，又AD是ABC的BC邊上的中線，因此點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)三角形ABC的重心故選：C5（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)是平面上一定點(diǎn)，ABC是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，設(shè)都是單位向量，則由向量的加法法則可得四邊形AETF是菱形，所以，平分，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的內(nèi)心，故選：B6（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在中，且，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（ ）A重心

8、B內(nèi)心C外心D垂心【答案】A【詳解】過(guò)C作，交AB于H，取AB中點(diǎn)D，連接CD，如圖所示：根據(jù)三角函數(shù)定義可得，因?yàn)?，所以，即，即點(diǎn)P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點(diǎn)為該三角形的重心，所以點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心.故選：A二、多選題7（2021廣東廣州高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A若，則O是外心B若，則P是垂心C若，則N是重心D若，則I是內(nèi)心【答案】ABC【詳解】根據(jù)外心的定義，易知A正確；對(duì)B，同理可得：，所以P是垂心，故B正確；對(duì)C，記AB、BC、CA的中點(diǎn)為D、E、F，由題意，則，同理可得：，則N是重心，故C正確；對(duì)D，由題意，則I是垂心，

9、故D錯(cuò)誤.故選：ABC.8（2021重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）對(duì)于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABCD若三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使【答案】AD【詳解】解：對(duì)于A：給定的，其外心為，所以，故A正確；對(duì)于B：由于點(diǎn)為給定的的重心，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：點(diǎn)為給定的的垂心，所以，因?yàn)橹匦臑镚，則有，所以，若，則點(diǎn)H為重心，與題意矛盾，因?yàn)楣蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D：由于點(diǎn)在的平分線上，所以為單位向量，所以在的平分線上，所以存在實(shí)數(shù)使，故D正確故選：AD9（2021廣東東莞市光明中學(xué)高一階段練習(xí)）點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有（ ）A若，則點(diǎn)O是的重心B若，則點(diǎn)

10、O是的內(nèi)心C若，則點(diǎn)O是的外心D若，則點(diǎn)O是的垂心【答案】ABCD【詳解】對(duì)A，設(shè)為中點(diǎn)，由于，所以為邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)D），所以點(diǎn)O是的重心，故A正確；對(duì)B，向量分別表示在邊AC和AB上的單位向量和 ，記它們的差為向量 ，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，點(diǎn)O在的平分線上，同理由可得點(diǎn)O在的平分線上，所以點(diǎn)O是的內(nèi)心，故B正確；對(duì)C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是另一條對(duì)角線，則由可得該平行四邊形為菱形，即，同理由可得 ，所以點(diǎn)O是的外心，故C正確；對(duì)D，由得，則，所以，同理可得，所以點(diǎn)O是的垂心，故D正確.故選：ABCD.三、填空題10（2020四川遂寧中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的_(填序號(hào)）內(nèi)心 垂心 重心 外心【答案】設(shè)BC的中點(diǎn)為D，即，兩端同時(shí)點(diǎn)乘，= =0，所以，所以點(diǎn)P在B