2.2基本不等式（1）-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1、2.2 基本不等式（1）我們知道乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用，那么是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時，有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個問題.重要不等式是什么？如何得出的？利用完全平方公式得出了重要不等式.特別地，如果a0，b0，我們用 ， 分別代替上式中的a，b，可得： （1）一般地， 重要不等式 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.通常稱不等式（1）為基本不等式.其中， 叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù), 叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).基本不等式表明：兩個正數(shù)的數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).能否利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？要證 只要證 要證，只要證 要證 ，只要證 要

2、證 ，只要證 顯然，成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時， 中的等號成立. 在圖2.2-1中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b. 過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD. 你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？探究圖2.2-1如圖2.2-1，可證ACDDCB，因而CD= .由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時，上述不等式的等號成立.例1 已知 的最小值.分析：求 的最小值，就是要求一個 觀察 發(fā)現(xiàn) 聯(lián)系基本不等式，可以利用正數(shù) 的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系得到解：因?yàn)閤0，所以當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，因此所求的最小值為2.例2

3、 已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以（1）當(dāng)積xy等于定值P時， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，上式等號成立. 于是當(dāng)x=y時，和x+y有最小值（2）當(dāng)和x+y等于定值S時， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，上式等號成立. 于是當(dāng)x=y時，積xy有最大值結(jié)論（積定和最小，和定積最大）基本不等式求最值時成立的三個條件：一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等能取得等號.總結(jié)：幾個重要不等式證明：總結(jié)：幾個重要不等式練習(xí)證明：證明：證明：練習(xí)解：3. 當(dāng)x取什么值時， 取得最小值？最小值是多少？解：5. 已知直角三角形的面積等于50c，當(dāng)兩條直角邊的長度各為多少時，兩條直角邊的和最小？最小值是多少？解：設(shè)兩條直角邊的長分別為x，y，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時，等號成立，即當(dāng)