信號與系統(tǒng)電子版signal第五章1講

1、第五章離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析 基本離散時間信號 離散時間系統(tǒng)的傳輸算子 離散時間系統(tǒng)的零輸入響應 離散時間系統(tǒng)的單位響應 離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應5-1 基本離散時間信號及離散時間系統(tǒng) 單位階躍序列 單位脈沖（Unit Sample)注意: u(0)=1對任意序列x(k)有:x(k)(k)=x(0)(k) x(k)(k-m)=x(m)(k-m) m是整數一、基本離散時間0 k(k)1 0 1 2 3 4 5 6 k1u(k)0 1 2 3 k1f(k)例5.1-1 請分別用沖激序列和階躍序列寫出f(k)的表達式單位沖激序列和單位階躍序列的關系：任意序列x(k)和單位沖激序列的關系：0 1

2、 2 3 4 5 kR(k)=ku (k) 斜變序列 指數序列f(k)=aku(k)a 10 a a -1a -10 1 2 3 k 正弦序列 虛指數序列一、 離散時間系統(tǒng)的分類y(k)f(k)離散時間系統(tǒng)離散系統(tǒng)：激勵與響應均為離散時間信號的 系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。5-2 離散時間系統(tǒng)的描述二、 離散時間系統(tǒng)的模型與連續(xù)時間系統(tǒng)的分類相似，對離散系統(tǒng)的分類也可分為：線性的和非線性的、時變的和非時變的、因果的和非因果的。 例5.2-1 費班納西數列(Fibonacci) 13世紀意大利數學家Fibonacci提出一個有趣的數學題目：假定每對兔子每個月可以生育一對小兔，新生的小兔要隔月才具有生育能力

3、，若第一個月只有一對新生小兔，求第個k月兔子對的數目是多少？分析：y(k)表示第個k月兔子對的數目, 且已知y(0)=0 y(1)=1 第k個月時，應有y(k-2)對兔子具有生育能力， 因此這部分兔子對數增加為2y(k-2)， 此外還有y(k-1)-y(k-2)對兔子未能生育 所以 y(k)=2y(k-2)+y(k-1)-y(k-2) y(k)=y(k-1)+y(k-2)0,1,1,2,3,5,8例5.2-2 銀行存款利息的問題 某人每月月初定期在銀行存入一定數量的存款，設第k個月時存入款項為f(k)，銀行每月以利率支付利息，利息按復利計算，試計算第k個月時的本金y(k)(假定第個月存款已存)

4、。分析: 設第k個月時本金時y(k)，應包括三部分:(1)第k-1個月時的本金y(k-1)(2)本金y(k-1)在一個月內利息y(k-1)(3)第k個月存入的存款f(k)所以 y(k)= y(k-1) + y(k-1) +f(k)即 y(k)-(1+ )y(k-1)= f(k) 例5.2-3 電阻梯形網絡解：對網絡中第k+1個結點的結點電壓方程自變量k為電阻網絡中結點順序的編號。u(N)ERRaRRRaRRRaR+-u(0)u(1)u(k)u(k+1)u(k+2)u(N-1)差分方程的一般形式：1. 向后形式的差分方程(右移序的差分方程)2. 向前形式的差分方程(左移序的差分方程)差分方程的階

5、數： 輸出序列中自變量的最高序號和最低序號的差數。 時域經典法 求解差分方程 離散卷積法 利用齊次解得零輸入解，再利用卷積和求零狀態(tài)解。 變換域法（Z變換法）常系數差分方程的解法 迭代法例5.2-4 已知某線性系統(tǒng)的差分方程為: y(k)-ay(k-1)=f(k) 輸入f(k)=(k) 初始值y(-1)=0求k0時 y(k)=? 解: y(k)=ay(k-1)+f(k)k=0 y(0)=ay(-1)+f(0)=0+(0) =1 k=1 y(1)=ay(0)+f(1)=a+0 =a k=2 y(2)=ay(1)+f(2)=aa+0 =a2 定義: 算子E 表示把序列向前推進一個時間間隔的移位運算

6、。 Ef(k)=f(k+1) E2f(k)=f(k+2) Enf(k)=f(k+n) 算子方程: (En+an-1En-1+ an-2En-2 + +a2E2+a1E+a0)y(k) =(bmEm+bm-1En-1+bm-2Em-2 + +b2E2+b1E+b0)f(k)離散時間系統(tǒng)的傳輸算子5.3 離散時間系統(tǒng)的傳輸算子和系統(tǒng)的模擬D(E)N(E)所以 D(E)y(k)=N(E)f(k)令:所以 y(k)=H(E)f(k)傳輸算子H(E)作用輸入序列f(k)，把它轉換為輸出序列y(k)傳輸算子(En+an-1En-1+ an-2En-2 + +a2E2+a1E+a0)y(k) =(bmEm+

7、bm-1En-1+bm-2Em-2 + +b2E2+b1E+b0)f(k)H(E)y(k)f(k)例5.3-1：已知一個離散系統(tǒng)的傳輸算子 請寫出該系統(tǒng)的差分方程。 解：設輸入序列是 f(k)，輸出序列是y(k)，根據傳輸算子的定義有： 或例5.3-2 已知一個離散系統(tǒng)的傳輸算子 請寫出該系統(tǒng)的差分方程。 解：設輸入序列是 f(k)，輸出序列是y(k)，根據傳輸算子的定義有： 或y(k)=f(k-1)f(k)1/E單位延時器例5.3-3 設描述某離散時間系統(tǒng)的差分方程是 求系統(tǒng)的傳輸算子H(E) 單位延時器：是一個具有記憶功能的元件，其作用是將輸入信號延時一個時間單位后再輸出。y(k)=f(k

8、-1)f(k) 1/E加法器和數乘器與連續(xù)時間系統(tǒng)的相同 離散時間系統(tǒng)的模擬一階系統(tǒng): y(k+1)+ ay(k)= f(k) -af(k)y(k+1)-ay(k)1/Ey(k)例5.3-4 設描述某離散時間系統(tǒng)的差分方程是 求系統(tǒng)的傳輸算子H(E),并畫出該系統(tǒng)的模擬框圖和信號流圖。 5-4 離散系統(tǒng)的零輸入響應全響應也可以分為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和。 y(k)=yx(k)+yf(k)(En+an-1En-1+ an-2En-2 + +a2E2+a1E+a0)y(k) =(bmEm+bm-1En-1+bm-2Em-2 + +b2E2+b1E+b0)f(k)對E多項式因式分解: (E-1)

9、(E-2)(E-3) (E-n)y(k)=0 (1) (E-i)y(k)=0 i=1,2,3,n 的解滿足方程(1)因此(1)式的解為: y(k)=c11k+ c22k+ c33k+ + cnnk其中: c1 、 c2 、 cn有初始條件決定。 零輸入響應 (En+an-1En-1+ an-2En-2 + +a2E2+a1E+a0)y(k)=0的解。初始條件例1 已知某線性系統(tǒng)的差分方程為: y(k)-ay(k-1)=f(k) 輸入f(k)=(k)，試確定初始條件。解: y(k)=ay(k-1)+f(k)k=-2 y(-2)=ay(-3)+f(-2)= ay(-3)k=-1 y(-1)=ay(

10、-2)+f(-1)= ay(-2) k=0 y(0)=ay(-1)+f(0) k=1 y(1)=ay(0)+f(1) k=2 y(2)=ay(1)+f(2) 對于右移序列的差分方程: y(k)+a1y(k-1)+ aNy(k-N)=f(k) 零輸入響應的初始條件為:y(-1),y(-2),y(-N)例2 已知某線性系統(tǒng)的差分方程為: y(k+1)-by(k)=f(k) 輸入f(k)=(k)，試確定初始條件。解: y(k+1)=by(k)+f(k)k=-2 y(-1)=by(-2)+f(-2)= by(-2)k=-1 y(0)=by(-1)+f(-1)= by(-1) k=0 y(1)=ay(0

11、)+f(0) k=1 y(2)=ay(1)+f(1) k=2 y(3)=ay(2)+f(2) 對于左移序列的差分方程:y(k+N)+aN-1y(k+N-1)+ a0y(k)=f(k)零輸入響應的初始條件為:y(0),y(1),y(N-1)例3 已知某線性系統(tǒng)的差分方程為: y(k+2)-ay(k+1)-by(k) = f(k+1)+cf(k) 輸入f(k)=(k)，試確定初始條件。解: y(k+2)=ay(k+1)+by(k)+f(k+1)+cf(k)k=-2 y(0)=ay(-1)+by(-2)+ f(-1)+cf(-2)= ay(-1)+by(-2)k=-1 y(1)= ay(0)+by(

12、-1)+ f(0)+cf(-1)= ay(0)+by(-1)+ f(0)k=0 y(2)= ay(1)+by(0)+ f(1)+cf(0)= ay(1)+by(-1)+ f(1)+cf(0)差分方程式如:y(k+L)+ a0y(k)=bSf(k+S)+ b0f(k)則零輸入響應的初始條件y(k)中的序號應滿足: kL-S例5.2-1 若描述某離散時間系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k) 初始值y (-1) =-1，y (-2)=1.5試求系統(tǒng)的零輸入響應yx(k)。解: 令f(k)=0，k變?yōu)閗+2 方程變?yōu)? y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0 算子

13、形式 (E2+3E+2)y(k)=0 (E+2)(E+1)y(k) =0 所以 yx(k)=C1(-2)k+C2(-1)k解得:C1=-2 C2=2所以yx(k)=-2(-2)k+2(-1)k k0yx(-1)=C1 (-2)-1 + C2 (-1)-1 =-1yx(-2)=C1(-2)-2+C2(-1)-2=1.5yx(k)=C1(-2)k+C2(-1)k確定 C1、C2代入初始條件 yx(-1)=y(-1)=-1 ;yx(-2)= y(-2)= 1.5 有:對E多項式因式分解:(E-1)m(E-m+1) (E-n)y(k)=0解的形式為:y(k)=1k(c1+ c2k+cmkm-1)+ c

14、m+1m+1k+ + cnnk其中: c1 、 c2 、 cn有初始條件決定。 零輸入響應 (En+an-1En-1+ an-2En-2 + +a2E2+a1E+a0)y(k)=0的解。 對于重根的情況例5.2-2 若描述某離散時間系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+6y(k-1)+12y(k-2)+8y(k-3)=f(k)試寫出系統(tǒng)的零輸入響應yx(k)的形式。解:令f(k)=0，k變?yōu)閗+3方程變?yōu)? y(k+3)+6y(k+2)+12y(k+1)+8y(k)=0 算子形式 (E3+6E2+12E+8)y(k)=0 (E+2)3y(k) =0 所以 yx(k)=(C1+C2k+C3k2)(-2)k

15、D(E)N(E)(En+an-1En-1+ an-2En-2 + +a2E2+a1E+a0)y(k) =(bmEm+bm-1En-1+bm-2Em-2 + +b2E2+b1E+b0)f(k) 傳輸算子H(E)與零輸入響應的關系零輸入響應是的解 D(E)y(k)=0所以傳輸算子的分母D(E)=0的根，即H(E)的極點決定零輸入響應的形式。例5.2-3 已知某離散系統(tǒng)的傳輸算子為: 試求系統(tǒng)的零輸入響應yx(k)。初始條件yx(0) =2，yx(1)=4解: H(E)的極點為 1=0.5 2=0.2 所以零輸入響應yx(k)=C1(0.5)k+C2(0.2)k 確定 C1、C2 代入初始條件 yx

16、(0)=2 ;yx(1)=4 有:所以yx(k)=12(0.5)k-10(0.2)k k0yx(0)=C1+ C2=2yx(1)=0.5C1+0.2C2=4解得:C1=12 C2=-10例5.2-4 已知某系統(tǒng)的差分方程式為 y(k+3)+6y(k+2)+12y(k+1)+8y(k)=u(k) 初始值為y(1)=1；y(2)=2；y(3)=-23, 求系統(tǒng)的零輸入響應。解：(1)先求出初始條件 k=-3 y(0)=-6y(-1)-12y(-2)-8y(-3)+u(-3) k=-2 y(1)=-6y(0)-12y(-1)-8y(-2)+u(-2)k=-1 y(2)=-6y(1)-12y(0)-8

17、y(-1)+u(-1)k=0 y(3)=-6y(2)-12y(1)-8y(0)+u(0)說明:y(2)、y(1)、y(0)與外加激勵無關。僅由初始條件引起的。說明: y(3)與外加激勵有關，是激勵與初始條件共同決定的，不能用它來確定零輸入響應即零輸入響應的邊界條件應為y(0) ,y(1) ,y(2)將初始值y(1)=1;y(2)=2;y(3)=-23,代入得y(0)=0。算子形式 (E3+6E2+12E+8)y(k)=0 (E+2)3y(k) =0 所以 yx(k)=(C1+C2k+C3k2)(-2)k確定C1、C2、C3代入初始條件 y(0)=0;y(1)=1;y(2)=2有:解得: C1=0 C2=-4/5 C3=3/4yx(0)=C1=0yx(1)=C1(-2)+C2(-2)+C3(