積分變換第講傅里葉Fourier級數(shù)展開

1、積分變換第1講1積分變換2傅里葉(Fourier)級數(shù)展開3在工程計算中, 無論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中T稱作周期, 而1/T代表單位時間振動的次數(shù), 單位時間通常取秒, 即每秒重復(fù)多少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).t4最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)sinwt和coswt的線性組合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt5人們發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合

2、來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近6研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 1. 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2. 只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù). 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上7第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點8不滿足狄氏條件的例子:而在工程上所應(yīng)用的函數(shù), 尤其是物理量的變化函數(shù), 全部滿足狄氏條件. 實際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴格上講不存在的, 但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近

3、似一些函數(shù), 使得思維簡單一些.9在區(qū)間-T/2,T/2上滿足狄氏條件的函數(shù)的全體也構(gòu)成一個集合, 這個集合在通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運算上也構(gòu)成一個線性空間V, 此空間的向量就是函數(shù), 線性空間的一切理論在此空間上仍然成立. 更進一步地也可以在此線性空間V上定義內(nèi)積運算, 這樣就可以建立元素(即函數(shù))的長度(范數(shù)), 及函數(shù)間角度, 及正交的概念. 兩個函數(shù)f和g的內(nèi)積定義為:10一個函數(shù)f(t)的長度為11而在區(qū)間-T/2,T/2上的三角函數(shù)系1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ., cos nwt, sin nwt, .是兩兩正交的, 其中w=2p/T, 這

4、是因為cos nwt和sin nwt都可以看作是復(fù)指數(shù)函數(shù)ejnwt的線性組合. 當nm時,12這是因為13由此不難驗證14而1, coswt, sinwt, ., cos nwt, sin nwt, .的函數(shù)的長度計算如下:15因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t), 可表示為三角函數(shù)形式的傅利葉級數(shù)如下:16為求an, 須計算fT(t), cosnwt, 即17同理, 為求bn, 計算fT(t), sin nwt, 即18最后可得:19而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:20如令wn=nw (n=0,1,2,.)21給定fT(t), cn的計算如下:22例 定義方波函數(shù)為如圖所示

5、:1-1otf(t)123現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則1-13T=4f4(t)t24則25Sa函數(shù)介紹26Sa函數(shù)的圖形:Sa(x)x27前面計算出w28現(xiàn)在將周期擴大一倍, 令T=8, 以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)1-17T=8f8(t)t29則30則在T=8時,w31如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計算出w32一般地, 對于周期T33當周期T越來越大時, 各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小, 而它們的強度在各個頻率的輪廓則總是sinc函數(shù)的形狀, 因此, 如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù), 則它也可以看

6、作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成, 將那個頻率上的輪廓即Sa函數(shù)的形狀看作是f(t)在各個頻率成份上的分布, 稱作f(t)的傅里葉變換.34對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當T時轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上, 則T越大, fT(t)與f(t)相等的范圍也越大, 這就說明當T時, 周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t), 即有35Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)36如圖O w1 w2 w3 wn-1wnw37此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡稱傅氏積分公式,38【傅氏積分定理】若f(t)在(-, +)上滿足條件: 1, f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 2, f(t)在無限區(qū)間(-, +)上絕對可積, 則有39(1.4)式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式40又考慮到積分41總結(jié)：1.在區(qū)間-T/2,T/2上的三角函數(shù)系1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, .,cos nwt, sin nwt, .構(gòu)成一個完備正交系, 其中w=2p/T。2.滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上：1) 連續(xù)或