3.1 函數(shù)的概念及其表示

1、3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念先分析以下問題.問題1某“復(fù)興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關(guān)系可以表示為S=350t.這里，t和S是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，S都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以S是t的函數(shù).思考根據(jù)問題1的條件，我們不能判斷列車以350km/h運行半小時后的情況，所以上述說法不正確.顯然,其原因是沒有關(guān)注到t的變化范圍.下面用更精確的語言表示問題1中S與t的對應(yīng)關(guān)系.列車行進的路程S與運行時間t的對應(yīng)關(guān)系是S=350t.其中，t的變化范圍是數(shù)集A=t10WtW0.

2、5，S的變化范圍是數(shù)集B=S10WSW175對于數(shù)11集A中的任一時刻t,按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的路程S和它對應(yīng).11顯然，工資w是一周工作天數(shù)d的函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系是w=350d其中，d的變化范圍是數(shù)集A=123,4,5,6，w的變化范圍是數(shù)集B=350,700,1050,1400,221750,2100，對于數(shù)集A中的任何一個工作天數(shù)d，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的工22資w與它對應(yīng).從圖3.1-1中的曲線可知，t的變化范圍是數(shù)集A3=t10WtW24，AQI的值I都在數(shù)集B=110I150中.對于數(shù)集A中的任一時刻t，按照圖3.1-1中曲線所給定的對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B

3、333中都有唯一確定的AQI的值I與之對應(yīng).因此，這里的I是t的函數(shù).問題4國際上常用恩格爾系數(shù)r食物指出金額總支出金額丿反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.表3.1-1是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高.表3.1-1我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57這里，y的取值范圍是數(shù)集A二2006,2007,2008,2009,2

4、010,2011,2012,2013,2014,2015；4根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義可知，r的取值范圍是數(shù)集B二r10rW1.對于數(shù)集A中的任意一個年份y,44根據(jù)表3.1-1所給定的對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應(yīng).所以，r是y的函4數(shù).歸納上述問題的共同特征有：都包含兩個非空數(shù)集，用A，B表示；都有一個對應(yīng)關(guān)系；盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng).事實上，除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對應(yīng)關(guān)系的方法.為了表示方便，我們引進符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系.一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，

5、如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f:ATB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y=f(x),xwA.函數(shù)符號y=f(x)是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xeA叫做函數(shù)的值域(range).顯然，值域是集合B的子集在問題1與問題2中，值域就是B和B；在問題3中，值域是數(shù)集B123的真子集；在問題4中，值域C二03669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.

6、3353,0.3387.0.2989,40.2935,0.2857,是數(shù)集B二r|00時，B=yyM-4a1zyx-Z-jnIyyW4-一.對應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個數(shù)x，對應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)ax2+bx+c（a豐0）.思考例1函數(shù)的解析式是舍棄問題的實際背景抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律.例如，正比例函數(shù)y=kx（k豐0）可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長與半徑的關(guān)系等試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x（i0-x）來描述.解：把y=x（10-x）看成二次函數(shù)，那么它

7、的定義域是R，值域是B=yIyW5對應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個數(shù)兀，對應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)x（10-x）.如果對x的取值范圍作出限制，例如xex10 x10，那么可以構(gòu)建如下情境：長方形的周長為20,設(shè)一邊長為x,面積為y，那么y=x（10-x）.其中，x的取值范圍是A=x10 x10，y的取值范圍是B=y10yW25對應(yīng)關(guān)系f把每一個長方形的邊長x,對應(yīng)到唯一確定的面積x（10-x）.探究構(gòu)建其他可用解析式y(tǒng)=x（10-x）描述其中變量關(guān)系的問題情境.練習(xí)（第63頁）1.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m,且炮彈據(jù)地面的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系

8、為h=130t-5t2求所表示的函數(shù)的定義域與值域，并用函數(shù)定義描述（第1題）22016年11月2日8時至次日8時(次日的時間前加0表示)北京的溫度走勢如圖所示1)求對應(yīng)關(guān)系為圖中曲線的函數(shù)的定義域與值域2)根據(jù)圖象，求這一天12時所對應(yīng)的溫度2115代了1TJi.An*9*亠3-3-日時廿時14時17時20時23時02時05時08時第2題)3集合A,B與對應(yīng)關(guān)系f如下圖所示：4構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=丘來描述.研究函數(shù)時常用用到區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且ab.我們規(guī)定：滿足不等式aWxWb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b；滿足不等式axb的實數(shù)x的集合叫

9、做開區(qū)間，表示為(a,b)；滿足不等式aWxb或axWb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為a,b),(a,b這里的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.這些區(qū)間的幾何表示如表3.1-2所示在數(shù)軸表示時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(a，b|一g土實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(叫+Q，“g”讀作“無窮大”“g”讀作“負無窮大”，“+8”讀作“正無窮大”如表3.1-3,我們可以把滿足xMa,xa,xWb,x0，所以f(a),f(a-1)有意義.f(a)=a+3+-1-a+2f(a-1)=a-1+3+：a+2+a+1由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對

10、應(yīng)關(guān)系和值域.因為值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).兩個函數(shù)如果僅有對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，那么它們不是同一個函數(shù).例如，前面的問題1和問題2中，盡管兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系都是y350 x，但它們的定義域不相同，因此它們不是同一個函數(shù);同時，它們的定義域都不是R，而是R的真子集，因此它們與正比例函數(shù)y350 x(xeR)也不是同一個函數(shù).此外，函數(shù)u12,te(a,+如,xy2,ye(一叫+如與yx2,xe(a,+w)，雖然表示它們的字母不同，但因為它們的對應(yīng)關(guān)系和定義域相同，所以

11、它們是同一個函數(shù).(1)y(Jx)2；(2)u3V3；(3)yx2；n2(4)m.n解：(1)y(斗x)2x(xexIxM0)，它與函數(shù)yx(xeR)雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但是定義域不相同，所以這個函數(shù)與函數(shù)yx(xeR)不是同一個函數(shù).u3v3v(veR)，它與函數(shù)yx(xeR)不僅對應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域也相同，所以這個函數(shù)與yx(xeR)是同一個函數(shù).y-：x2|x|-，它與函數(shù)yx(xeR)的定義域都是實數(shù)集R,但是當(dāng)x0時，x,x刁0它的對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)yx(xeR)不相同.所以這個函數(shù)與yx(xeR)不是同一個函數(shù).(4)mn(nenIn豐0)，它與函數(shù)yx(xeR)的對應(yīng)關(guān)系相同但定義

12、域不相同.所以n這個函數(shù)與函數(shù)yx(xeR)不是同一個函數(shù).思考練習(xí)(第67頁)1.求下列函數(shù)的定義域：1)f(x)f(x)1x+：x+31.已知函數(shù)f(x)=3x3+2x,求f,f(2),f+f(2)的值；求f(a),f(a),f(a)+f(a)的值.3.判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一個函數(shù)，并說明理由：表示炮彈飛行高度h與時間t關(guān)系的函數(shù)h=130t5t2和二次函數(shù)y二130 x-5x2；f(x)二1和g(x)二x0.3.1.2函數(shù)的表示法我們在初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法解析法，就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如3.1.1的問題1、2列表法，就是列出

13、表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如3.1.1的問題4圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如3.1.1的問題3這三種方法是常用的函數(shù)表示法例4某種筆記本的單價是5元，買x(xe1,2,3,4,5)個筆記本需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集1,2,3,4,5用解析法可將函數(shù)y二f(x)表示為y二5x,xe1,2,3,4,5.用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y=f(x)表示為圖3.1-2.二20*15-*10=*501234Tx圖3.1-2思考73圖3,1-323aIx,xV0像例5

14、中y=這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).生活中，有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問Ix,x三0例5畫出函數(shù)y=|x|的圖象.解：由絕對值的概念，我們有y=x,xV0 x,xMO所以，函數(shù)y=x的圖象如圖3.1-3所示.題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等.例6給定函數(shù)f(x)二x+1，g(x)二(x+1)2，xeR，1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；(2)VxeR,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者，記為M(x)二maxf(x),g(x).例如，當(dāng)x=2時，M二maxf(2),g=max3,9二9.請分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x).22圖3234圖3.1-55解：(1

15、)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象(圖3.1-4).(2)由圖3.1-4中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)M(x)的定義，可得函數(shù)M(x)的圖象(圖3.1-5).由(x+1)2=x+1，得x(x+1)=0.解得x=1，或x=0.(X+l)2,X1,結(jié)合圖3.1-5，得出函數(shù)M(x)的解析式為M(x)=x+1,10.練習(xí)(第69頁)1.如圖，把直截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的一邊長為x(單位：cm),面積為y(單位：cm2)，把y表示成x的函數(shù).畫出函數(shù)y=|x2|的圖象.給定函數(shù)f(x)二一x+1,g(x)二(x1)2,xeR,畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；

16、VxeR，用m(x)表示f(x),g(x)中的較小者，記為m(x)二minf(x),g(x)，請分別用圖象法和解析法表示函數(shù)m(x).對于一個具體的問題，如果涉及函數(shù)，那么應(yīng)當(dāng)學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎締栴}中的函數(shù)關(guān)系.例7表3.1-4是某校高一(1)班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表表3.1-4姓名測試序號第1次第2次第3次第4次第5次第6次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級平均分88.278.385.480.375.782.6請你對這三位同學(xué)在高一學(xué)年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析解：從表3.1-4可以知道每位同學(xué)在每次測試中

17、的成績，但不太容易分析每位同學(xué)的成績變化情況如果將每位同學(xué)額“成績”與“測試序號”之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖象(均為6個離散的點)表示出來，如圖3.1-6，那么就能直觀地看到每位同學(xué)成績變化的情況，這對我們的分析很有幫助從圖3.1-6可以看到，王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終高于班級平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀章程同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績低于班級平均視屏，但表示他成績變化的圖象呈上升趨勢，表明他的數(shù)學(xué)成績在穩(wěn)步提高1仙90加-70601jJ*1!HLH1II.OI2j4567J圖3.1-6為了更容易看出一個同學(xué)的學(xué)習(xí)情況，我們

18、將表示每位同學(xué)成績的函數(shù)圖象（離散的點）用虛線連接例8依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)，個人取得的所得應(yīng)依照中華人民共和國所得稅法向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）2019年1月1日起，個稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為個稅稅額=應(yīng)納稅所得額X稅率一速算扣除數(shù).應(yīng)納稅所得額的計算公式為應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額一基本減除費用一專項扣除一專項附加扣除一依法確定的其他扣除.其中，“基本減除費用”（免征額）為每年60000元稅率與速算扣除數(shù)見表3.1-5“綜合所得”包括工資、薪金，勞務(wù)報酬，稿酬，特許權(quán)使用費；“專項扣除”包括居民個人按照國家規(guī)定的范圍和標(biāo)準(zhǔn)繳納的基本養(yǎng)老保險、基

19、本醫(yī)療保險、失業(yè)保險等社會保險費和住房公積金等；“專項附加扣除”包括子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本減除費用、專項扣除、專項附加扣除之外，由國務(wù)院決定加以扣除方式減少納稅的優(yōu)惠政策規(guī)定的費用表3.1-5級數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率（）速算扣除數(shù)10，36000302(36000，1440001025203(144000，30000020169204(300000，42000025319205(420000，66000030529206(660000，96000035859207(960，+8)45181920（1）設(shè)全年應(yīng)納

20、稅所得額為t，應(yīng)繳納個稅稅額為y，求y=f（t），并畫出圖象;分析：根據(jù)個稅產(chǎn)生辦法，可按下列步驟計算應(yīng)繳納個稅稅額：第一步，根據(jù)計算應(yīng)納稅所得額t；第二步，由t的值并根據(jù)表3.1-5得出相應(yīng)的稅率與速算扣除數(shù)；第三步，根據(jù)計算出個稅稅額y的值.由于不同應(yīng)納稅所得額t對應(yīng)不同的稅率與速算扣除數(shù)，所以y是t的分段函數(shù).解：（1）根據(jù)表3.1-5,可得函數(shù)y=f（t）的解析式為0.03t,0WtW36000,0.1t-2520,36000tW144000,0.2t-16920,144000tW300000,y=0.25t-31920,300000tW420000,0.3t-52920,420000

21、tW660000,0.35t-85920,660000960000.函數(shù)圖象如圖3.1-7所示（2）根據(jù)，小王全年應(yīng)納稅所得額為t二189600-6000-189600(8%+2%+1%+9%)-528000-4560二0.8xl89600-117360二34320.將t的值代入，得y二0.03x34320二1029.6所以，小王應(yīng)繳納的綜合所得個稅稅額為1029.6元練習(xí)（第71頁）1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；2）我騎著車離開家后一路勻速行駛，只是在途中遇到了一次交通堵塞，耽擱了一些時間3）我從家出發(fā)后，心情輕松，一路緩緩加速行進時間(B)(

22、C)(D)l第l題)離開家的距離離開家的距離離開家的距離離開家的距離肘間2某市“招收即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：(1)5km以內(nèi)(含5km),票價2元;(2)5km以上，每增加5km,票價增加1元(不足5km的按5km計算).如果某條線路的總里程為20km,請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.習(xí)題3.1(第72頁)復(fù)習(xí)鞏固1求下列函數(shù)的定義域：1)f(x)=3x14(2)f(x)x2；3)f(x)=f(x)xg(x)1；xf(x)二x2,g(x)二(Jx)4；f(x)=x2,g(x)=3x6.3畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域、值域；(1)y=3x；(3)y=4x+5；8(2)y=；xy=x26x+7.4.已知函數(shù)f(x)=3x25x+2，求f(：2),f(a),f(a+3),f(a)+f的值.、x+25.已知函數(shù)f(x)=x6當(dāng)