17.1 勾股定理(第1課時)-公開課-優(yōu)質(zhì)課(人教版教學(xué)設(shè)計精品)

1、 17.1勾股定理(第1課時)一、內(nèi)容及內(nèi)容解析1內(nèi)容勾股定理的探究、證明及簡單應(yīng)用.2內(nèi)容解析勾股定理：直角三角形兩直角邊長分別為a,b斜邊長為c,那么a2+b2=c2.勾股定理是中學(xué)數(shù)學(xué)重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系由此，在直角三角形中已知任意兩邊長,就可以求出第三邊長勾股定理常用來求解線段長度或距離問題勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā),到網(wǎng)格中直角三角形,再到一般的直角三角形,體現(xiàn)了從特殊到一般的探究過程和研究方法證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補法求以斜邊為邊長的正方形的面積,并以此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明勾股定理的思路我國對于勾股定理的研究與其他國家相比是比較早的,在

2、國際上得到肯定要通過我國古代研究勾股定理的成就的介紹,培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感通過對勾股定理的探索和發(fā)現(xiàn),有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心基于以上分析,可以確定本課的教學(xué)重點是：探索并證明勾股定理二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1目標(biāo)經(jīng)歷勾股定理的探究過程.了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景,通過對于我國古代研究勾股定理的成就的介紹,培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感能用勾股定理解決一些簡單問題2目標(biāo)解析目標(biāo)(1)要求學(xué)生先觀察以直角三角形的三邊為邊長的正方形面積之間的關(guān)系,通過歸納和合理的數(shù)學(xué)表示發(fā)現(xiàn)勾股定理的結(jié)論理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定理的思路,能通過割補法構(gòu)造圖形證明勾股定理了解勾股定理相關(guān)的史料,知道我國古代在

3、研究勾股定理上的杰出成就目標(biāo)(2)要求學(xué)生能運用勾股定理進行簡單的計算,重點是已知直角三角形的兩邊長能求第三條邊的長度.三、教學(xué)問題診斷分析勾股定理是關(guān)于直角三角形三邊之間關(guān)系的一個特殊的結(jié)論，在正方形網(wǎng)格中比較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關(guān)系，進一步得出三邊之間的關(guān)系；但要從等腰直角三角形過渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學(xué)生有較大困難學(xué)生第一次嘗試用構(gòu)造圖形方法來證明定理存在較大的困難，解決問題的關(guān)鍵是要想到用合理的割補方法求以斜邊為邊的正方形的面積因此，在教學(xué)中需要先引導(dǎo)學(xué)生觀察網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，然后思考去網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，再把這種

4、關(guān)系表示成邊長之間的關(guān)系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理本節(jié)課的教學(xué)難點是：勾股定理的探究和證明四、教學(xué)支持條件分析借助幾何畫板軟件，動態(tài)地演示三角形從網(wǎng)格中的等腰直角三角形，到網(wǎng)格中的一般直角三角形，再到去網(wǎng)格背景的直角三角形的變化過程，啟發(fā)學(xué)生考慮用用割補法求正方形面積五、教學(xué)過程設(shè)計1創(chuàng)設(shè)問題情境引言前面我們共同學(xué)習(xí)了三角形以及等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形，它有許多特殊的性質(zhì)研究特例是數(shù)學(xué)研究的一個方向，直角三角形是有一個角為直角的特殊三角形，它有哪些特殊的性質(zhì)呢？讓我們一起研究吧！含義.設(shè)計意圖：本節(jié)課是本章的起始課，重視引言教學(xué)，從國際數(shù)學(xué)家

5、大會的會徽說起，設(shè)置懸念，引入課題2探究勾股定理問題2看似平淡無奇的現(xiàn)象有時卻蘊含著深刻的數(shù)學(xué)道理，相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面（如圖17.1-2）反映了直角三角形三圖17.1-2邊的某種數(shù)量關(guān)系.三個正方形A,B,C的面積有什么關(guān)系?師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生把觀察重點放在三個正方形的面積關(guān)系上設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在觀察時進行合理的注意選擇.追問1：由這三個正方形A,B,C的邊長構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長之間有怎樣的特殊關(guān)系?師生活動：學(xué)生獨立觀察圖形,分析、思考其中隱藏的規(guī)律,通過直接數(shù)等腰直角三角形的個數(shù)，或者用割補的方法將小正方形A，B中的等

6、腰直角三角形補成一個大正方形，得到結(jié)論：正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積.這時，教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.設(shè)計意圖：從最特殊的直角三角形入手，通過觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，并進行初步的一般化.問題3在網(wǎng)格中的一般的直角三角形（如圖17.1-3，每個小方格的面積均為1），以它的三邊為邊長的三個正方形A，B，C是否也有類似的面積關(guān)系？師生活動：分別求出A，B，C的面積并尋找它們之間的關(guān)系.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把從等腰直角三角形中發(fā)現(xiàn)的三邊關(guān)系進行初步的一般化追問：正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有

7、怎樣的特殊關(guān)系？師生活動：學(xué)生獨立思考后小組討論，難點是求以斜邊為邊長的正方形面積，可由師生共同總結(jié)得出可以通過割、補兩種方法求出其面積，如圖17.1-4，圖17.1-5所示教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上歸納方法割補法.可以求得C的面積為13，教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方角邊長設(shè)定為整數(shù)，進一步體會面積割補法，為探究無網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ)，提供方法問題4通過前面的探究活動，猜一猜，直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生得到猜想：如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b斜邊長為c,那么a2+b2=c2.設(shè)計意

8、圖：在網(wǎng)格背景下，通過觀察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三邊關(guān)系,為形成猜想提供了典型特例,于是猜想形成變得水到渠成.問題5以上這些直角三角形的邊長都是具體的數(shù)值.一般情況下,如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b斜邊長為c,如圖17.1-6所示，剛剛提出的猜想仍然正確嗎？師生活動：學(xué)生通過獨立思考，用a,b表示c的面積.如圖17.1-7,用“割”的方法可得c2=abX4+(ab)2；如圖17.1-8用“補”的方法可得c2=(b+a)2abX4.經(jīng)過22整理都可以得到a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.設(shè)計意圖：從網(wǎng)格驗證到脫離網(wǎng)格,通過計算推導(dǎo)出一般結(jié)論.問

9、題6歷史上所有的文明古國對勾股定理都有研究.下面我們看看歷史上我國的數(shù)學(xué)圖17.1-9家對勾股定理的研究,并通過小組合作完成課本拼圖法證明勾股定理.師生活動：教師展示圖17.1-9,并介紹：這個圖案是公元3世紀我國漢代的趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”.趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形(朱實)可以如圖圍成一個大正方形,中間的部分是一個小正方形(黃實).我們剛才用割的方法來證明就是使用的就是這個圖形.教師介紹勾股定理相關(guān)史料,勾股定理的證明方法據(jù)說有400多種,有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)研究.設(shè)計意圖：通過拼圖活動,調(diào)動學(xué)生思維的積極性,為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動的機會發(fā)展學(xué)生形象

10、思維；使學(xué)生對定理的理解更加深刻,體會數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想.通過對趙爽弦圖的介紹,了解我國古代數(shù)學(xué)家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明作出的貢獻,增強民族自豪感,通過了解勾股定理的證明方法,增強學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心.3初步應(yīng)用，鞏固新知練習(xí)1求圖17.1-10至圖17.1-12中字母所代表的正方形的面積圖17.1-10圖17.1-11圖17.1-12設(shè)計意圖：學(xué)生應(yīng)掌握三個正方形的面積關(guān)系，以及能將正方形的面積關(guān)系與直角三角形三邊之間的關(guān)系進行聯(lián)系練習(xí)2如圖11.7-13，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的邊長分別是12,16,9,12，求最大正方形E的面積設(shè)計意圖：本

11、題是課本第24頁練習(xí)第2題,進一步體會以直角圖17.1-13三角形三邊為邊長的正方形的面積關(guān)系通過幾何畫板演示多層分形結(jié)構(gòu),感受數(shù)學(xué)美練習(xí)3求出下列直角三角形中未知邊的長度設(shè)計意圖：在直角三角形中,已知其中兩邊,求第三邊,應(yīng)用勾股定理求解也可建立方程解決問題,滲透方程思想.7.厘米46厘米58厘米練習(xí)4如圖17.1-14,小明媽媽買了一部29英寸（74cm）的電視機，小明量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕的長和寬分別只有58cm,46cm,他覺得一定是售貨員搞錯了你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？圖17.1-14設(shè)計意圖：通過實際生活的應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)來源于生活服務(wù)于生活4課堂小結(jié)教師與學(xué)生一起

12、回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：(1)勾股定理的內(nèi)容是什么？它什么作用？(2)在探究勾股定理的過程中，我們經(jīng)歷了怎樣的探究過程？設(shè)計意圖：讓學(xué)生從不同角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)的過程中感受到中國數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)美，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高5布置作業(yè)(1)整理課堂中所提到的勾股定理的證明方法；(2)通過上網(wǎng)等方式查找勾股定理的有關(guān)史料、趣事及其他證明方法六、目標(biāo)檢測設(shè)計1下列說法正確的是()若a,b,c是ABC的三邊，則a2+b2=c2若a,b,c是RtAABC的三邊，則a2+b2=c2若a,b,c是RtABC的三邊，ZA=90,則a2+b2=c2若a,b,c是RtABC的三邊，ZC=90。，則a2+b2=c2設(shè)計意圖：考查學(xué)生能否清晰的辨別勾股定理的表述方式.若一個直角三角形的三邊為