7第二型線積分和面積分

1、第二型線積分和面積分場的概念對坐標的曲線積分對坐標的曲面積分1一、基本概念觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)2曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面3n4默比BCBDM0ADAC(b)圖( Mbius,A.F. 17901868, 德國 )典型單側(cè)曲面:帶5曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:在有向曲面上取一小塊曲面 S,S在xoy面上的投影 (S ) xy 為( )xy當cos 0 時 ( )當cos 0 時.當cos 0 時(S)xyxy0其中( )表示投影區(qū)域的面積.xy6二、概念的引入實例:流向曲面

2、一側(cè)的流量.流速場為常向量 v ,有向平面區(qū)域A,求(1)時間流過 A 的流體的質(zhì)量(假定密度為 1).v流量K vcosAG0KKKK0nAAvA n vA7(2)設(shè)穩(wěn)定的不可壓縮流體(假定密度為 1)的速度場由GGGGx ( y ,Q,y ) z,P)z ,i )(x,j(R,給出,是速度場中的一片有向曲面,函數(shù),y, z),Q(,zx ,y)z都在上連續(xù),求在時間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量 .yox8把曲面分成n小塊si (si 同時也代表1. 分割第i 小塊曲面的面積),v在s 上任取一點iSinz( , ,)ii( , , ),iiiiii則該點流速為 vi.法向量為ni.yox9v

3、(v , ,)GiiiiGGk ,( ,P,) i ( Q,j ) R,(,iiiiiiiii該點處曲G面的G法向量G,kGcosi cosn jcos0iiii通過si 流向指定側(cè)的流量的近似值為v).n v通過流向指定側(cè)的流量niiS2. 求和ii 110n P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i i1R(i ,i , i ) cos i Si P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si ) xz i1 R(i ,i , i )(Si ) xyn 0 取極限得到流量的精確值.3.取極限11三、概念及性質(zhì)定義設(shè)為光滑的有向曲面,

4、函數(shù)在上有界,把分成n塊小曲面Si (Si 同時又表示第i 塊小曲面的面積),Si 在xoy 面上的投影為(Si ) xy ,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一點,如果當各小塊曲面的直徑的最大值 0時,n , ,)(S )limR(存在,iiiixy 0i1則稱此極限為函數(shù)R( x, y, z)在有向曲面上對坐標x, y的曲面積分(也稱第二類曲面積分)12R記作x(y,z,)d,x即dyndlximdy Ri, x, (i, Si(Ry)z,i)x(y) 0i 1被積函數(shù)積分曲面類似可定義ndlyimdzPi, x, (i, Si(Py)z,i)y(z) 0i 1n (i, Si,i

5、)z(x)0i 113存在條件:x(,y當 , z),Q(向, 光x ,滑曲y) 在有z,面上連續(xù)時對坐標的曲面積分存在.組合形式:(dyd,zx (dzdx,)Qy,z,)(,R ,)x物理意義:(dyd,zx (dzdxz,)Qy,z,)(,R ,)14性質(zhì):Rdxdy1.2112RdxdyRdxdyxx(x()Pdydzx(Qdzdxx(Rdxdyx(2P.( y, z,y,z,)dydzQy,z,)y,z,)dzdxRy,z,)y,z,)dxdy15四、計算法設(shè)積分曲面是由方程z z( x, y)所給出的曲面上側(cè),在 xoy面上的投影區(qū)域為Dxy ,函數(shù)zz f ( x, y)oy(s

6、)xyz z( x, y)在D上具xyDxy有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)R( x, y, z)在上連續(xù).x16n , ,R( x, y, z)dxdy lim)(S )R(iiiixy 0i1取上側(cè), cos 0,又 i z(i ,i )n ( ) xy ,(Si ) xy , ,)(S )limR(iiiixy 0i1n , , z( ,)( limR()iiiiixy 0i1 R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdy即Dxy17若取下側(cè), cos 0,(Si ) xy ( ) xy , R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdyD

7、xy如果由x x( y, z)給出,則有 P( x, y, z)dydz P x( y, z), y, zdydzDyz如果由y y(z, x)給出,則有 Q( x, y, z)dzdx Q x, y(z, x), zdzdxDzx注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).18z計算 xyzdxdy例 1其中是球面2y y2 z 2 1外側(cè)x 2x1在x 0, y 0的部分.把分成1和2兩部分解1 :2 :z1 1 x y ;22z2 1 x2 y2 ,19 xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy xyDxy 2 xyDxy211 x2 y2 dxdy xy(Dxy1 x2 y2

8、dxdy1 x2 y2 )dxdy2 . 2 r 2 sin cos1 r 2 rdrd 15Dxy20五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)有向曲面是由方程z z( x, y)給出,在xoy面上的投影區(qū)域為Dxy , 函數(shù)z z( x, y)在DxyR( x, y, z)在上連續(xù).上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),nz zf ( x, y)對坐標的曲面積分為 R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdyDxyxdsyoDxy21曲面的法向量的方向余弦為 zxcos ,1 z2 z2xy zycos ,1 z2 z2xy 1cos .1z2xz2y22對面積的曲面積分為 R( x, y,

9、 z) cosdS R x, y, z( x, y)dxdyDxy所以 R( x, y, z)dxdy R( x, y, z) cosdS(注意取曲面的兩側(cè)均成立)兩類曲面積分之間的聯(lián)系 Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS23向量形式Gs G SdAdAn或AdSAdSnGGn,cos, A其,中 P,cRosQ為,法向cos有向曲面 上點( x,y ,z)量處的GGdydzdS, dzdx稱為有 向dxd曲y面GG元, An 為向量A在n.上的投影24計算 (z 2 x)dydz zdxdy ,其中是例 2旋轉(zhuǎn)拋物面z 1 ( x 2 y2 )

10、介于平面z 0及2z 2之間的部分的下側(cè). (z2 x)dydz (z2 x) cosds解 (z2 x) cos dxdy在曲面上,有cos25 1xcos cos,.1 x 2) y21 x 2 y2(zx2dydzzdxdy( x z2x)(z)dxdy12)x(y2y2dx4Dxyx 1x22(2y)dxdy2Dxycos2r122 rdr 8 ( 2r2 ).d20026六、小結(jié)1、物理意義2、計算時應(yīng)注意以下兩點曲面的側(cè)“一投,二代,三定號”27思考題設(shè) 為球面 x 2 y 2 z 2 1，若以其球面的外側(cè)為正側(cè)，試問 y 1 x 2 z 2之左側(cè)（即oy 軸與其法線成鈍角的一側(cè)）

11、是正側(cè)嗎？那么 y 是正側(cè)嗎？1 x 2z 2的左側(cè)28思考題解答此時 y 1 x21 x2z2z2的左側(cè)為負側(cè)，y 的左側(cè)為正側(cè).而29練習題一、填空題:1、 Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx=.2、第二類曲面積分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化成第一類曲面積分是，其中 , , 為有向曲面 上點( x , y , z)處的的方向角 .二、計算下列對坐標的曲面積分:1、 zdxdy xdydz ydzdx ,其中 是柱面x 2 y 2 1被平面z 0及z 3所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；30 xzdxdy0,yyzdzdx 中,其 是平面2、xydydzx0 z ,0 x ,y 1所z 圍成的空間區(qū)側(cè)；域的整個邊界曲面的外e zdxdy中,其 為錐面zx22y和3、z2y2xz 1 2.