《常微分方程》課程教學(xué)大綱

1、常微分方程一、課程概況所屬專業(yè):統(tǒng)計(jì)學(xué)開課單位：數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院課程類型:專業(yè)方向課程課程代碼:07493040開課學(xué)期:4學(xué)分：2學(xué)時(shí)：34核心課程:否擬使用教材： 王高雄 、周之銘等. 常微分方程(第四版). 北京：高等教育出版社，2006.國內(nèi)(外)現(xiàn)有教材：韓茂安，周盛凡，邢業(yè)鵬，丁偉. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2009.龐特里亞金. 常微分方程. 林五種，倪明康譯. 北京：高等教育出版社，2006.東北師范大學(xué)微分方程教研室. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.丁同仁, 李承治. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.蔡遂林. 常微分方程. 武漢：武

2、漢大學(xué)出版社, 2003.學(xué)習(xí)參考資料1. 專著教材類1 周尚仁, 權(quán)宏順. 常微分方程習(xí)題集（第二版）, 北京：人民教育出版社，1982. 2 菲利波夫(蘇聯(lián)). 常微分方程習(xí)題集. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981.二、課程描述常微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)和綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)、系統(tǒng)科學(xué)與工程專業(yè)、控制理論與應(yīng)用等專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程。它是數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)和解析幾何的應(yīng)用和發(fā)展，又是后繼課程偏微分方程、生物數(shù)學(xué)概論的理論基礎(chǔ)，在人才培養(yǎng)方案課程體系中為專業(yè)方向課程（核心）。本課程教學(xué)的主要內(nèi)容包括：微分方程的基本概念、一階微分方程的初等解法、微分方程解的存在、唯一性定理、線性微分方

3、程解的理論、線性微分方程的求解方法、穩(wěn)定性理論初步等方面知識(shí)。通過本課程的學(xué)習(xí)不僅使學(xué)生了解到微分方程和其它數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系及其在其它自然科學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用，使學(xué)生進(jìn)一步了解到數(shù)學(xué)的重要性和廣泛的應(yīng)用背景，提高應(yīng)用能力，而且為后繼的數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)各課程準(zhǔn)備解決問題的方法和工具，更是通向物理，力學(xué)，經(jīng)濟(jì)等學(xué)科和工程技術(shù)的橋梁。三、課程目標(biāo)1. 正確理解常微分方程的基本概念，掌握基本理論和基本方法，獲得比較熟練的基本運(yùn)算技能;2. 掌握建立常微分方程模型的基本過程和方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力;3. 為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的其它課程，如生物數(shù)學(xué)概論、偏微分方程，以及物理學(xué)等有關(guān)課程打下基礎(chǔ);4. 達(dá)

4、到碩士生入學(xué)考試對(duì)常微分課程的要求, 有助于學(xué)生勝任中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為實(shí)施素質(zhì)教育提供建模思想方面的訓(xùn)練和準(zhǔn)備。四、教學(xué)要求掌握微分方程的概念以及一階微分方程的初等解法。 對(duì)微分方程解的存在性和唯一性定理證明的思想有較深刻的認(rèn)識(shí)。熟練掌握線性微分方程和線性微分系統(tǒng)的理論和各種解法，特別是非齊次線性方程的解法，掌握常數(shù)變易法與其它方法的區(qū)別。理解李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義和判定定理，能夠應(yīng)用判定定理研究具體系統(tǒng)解的穩(wěn)定性。系統(tǒng)掌握微分方程的基本概念：微分方程的初值問題的解、函數(shù)線性相關(guān)和線性無關(guān)、Wronsky行列式、常數(shù)變易法、基解矩陣等。掌握微分方程有關(guān)解的存在性的證明方法；獲得較熟練的計(jì)算

5、技能和初步的應(yīng)用能力。本課程理論課時(shí)為51。五、考核方式及要求（一）、過程性考核（含評(píng)分依據(jù)40%）1、課堂考勤（15%）較高的出勤率是學(xué)生學(xué)好專業(yè)核心課程常微分方程的一個(gè)重要保證。擬隨機(jī)考勤3次，全到者15分，兩次到的12分，一次到的5分，一次沒有到的0分。2、平時(shí)作業(yè)（10%）幾乎每次課后都會(huì)布置作業(yè)，選取其中8次，進(jìn)行考核！次數(shù)7次以上6次5次4次3次2次1次分?jǐn)?shù)109876503、期中測(cè)試（10%）以閉卷形式進(jìn)行隨堂測(cè)試。4、學(xué)習(xí)表現(xiàn)（5%）結(jié)合平時(shí)課內(nèi)提問，討論等形式以及課下整體表現(xiàn)給出學(xué)習(xí)表現(xiàn)分。(二）、期末考核 (60%)閉卷形式進(jìn)行期末考試。六、課程內(nèi)容第一章：基 本 概 念（

6、授課時(shí)間：第四學(xué)期第一周）教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)識(shí)常微分方程數(shù)學(xué)模型，為以后理論學(xué)習(xí)提供實(shí)例。理解微分方程及其解的定義，掌握微分方程的一些基本概念。通過本章例題的學(xué)習(xí)，初步了解本門學(xué)科的某些實(shí)際背景。教學(xué)重點(diǎn)：微分方程基本概念，如微分方程的階數(shù)、線性與非線性，通解與特解，初始條件與初值問題等。教學(xué)難點(diǎn)：通解定義的理解。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)3學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于2學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：“預(yù)習(xí)指導(dǎo)型”教學(xué)法、“問題研究型”教學(xué)法主要內(nèi)容：1. 常微分方程模型，包括物理學(xué)中的LC電路模型、數(shù)學(xué)擺模型、生物學(xué)中的Malthus人口模型、SIS傳染病模型等。2. 微分方程的解、通解與特解、初始條件與初值問題、方向場(chǎng)

7、與積分曲線、微分方程的實(shí)際問題舉例理解微分方程及其解的定義。3. 微分方程及其解的幾何解釋。從理論上說，它把作為解析對(duì)象的微分方程及其解與作為幾何對(duì)象的方向場(chǎng)及積分曲線溝通起來，從而在微分方程這門學(xué)科中建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系；從實(shí)用上說，我們可以通過做出方向場(chǎng)來畫出積分曲線的大概圖形。學(xué)習(xí)方法：課前預(yù)習(xí)、主動(dòng)參與課堂教學(xué)、課后復(fù)習(xí)小結(jié)課后作業(yè)：完成教材第26-28頁練習(xí)題1-8。 第二章：一階微分方程的初等解法（授課時(shí)間：第四學(xué)期第二，三，四，五周）教學(xué)目標(biāo)：掌握幾類一階常微分方程通解的求法，包括變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、恰當(dāng)方程與積分因子、一階隱方程、Riccati

8、方程及其解法等。了解變量代換在常微分方程求解中的地位與意義。教學(xué)重點(diǎn)：基本初等積分方法變量分離方程解法、常數(shù)變易法、全微分方程解法、參數(shù)法等。教學(xué)難點(diǎn)：判斷方程類型采用正確解法，積分因子的求法，方程求解過程中變量代換的靈活應(yīng)用。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)12學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于8學(xué)時(shí)教學(xué)方法：“問題研究型”教學(xué)法、“預(yù)習(xí)指導(dǎo)型”教學(xué)法、“啟發(fā)設(shè)疑式”教學(xué)法主要內(nèi)容：（1）可分離變量方程 的通解求法；（2）可化為變量分離方程的解法：齊次方程 的變量變換及其解法；形如方程 和 的變量變換及其解法；（3）線性方程的解法，即常數(shù)變易法，線性方程的通解公式。（4）Cauchy問題特解的求法和特解表達(dá)式及其

9、應(yīng)用。（5）利用變量變換將Bernoulli方程 化為線性方程的方法，及求其通解。（6）恰當(dāng)方程的判別方法和恰當(dāng)方程的通解求法。分項(xiàng)組合的方法求恰當(dāng)方程的通解。積分因子的概念和非恰當(dāng)方程的積分因子解法。存在僅與x和y有關(guān)的積分因子的條件及求法。其它積分因子的求法。（7）一階隱方程的參數(shù)表示及通解的求法；（8）了解求解Riccati方程通解的歷史，從而知道微分方程初等解法的局限性。學(xué)習(xí)方法：課前預(yù)習(xí)、主動(dòng)參與課堂教學(xué)、課后復(fù)習(xí)小結(jié)課后作業(yè)：完成教材第42-44頁練習(xí)題2.1. 1、 (1) (3) (5) (7) (9)， 2、 (2) (4) (6)，3. 完成教材第48-50頁練習(xí)題2.2.

10、 1、 (1) (3) (5) (7) (9) (11) (13)， 5、 7. 完成教材第69頁練習(xí)題2.4. 1. 完成教材第72-74頁練習(xí)題2.5. 1、3、5.第三章：一階微分方程解的存在性定理（授課時(shí)間：第四學(xué)期第六，七，八周）教學(xué)目標(biāo)：理解皮卡逐步逼近法和一階微分方程解的存在唯一性定理。掌握一階微分方程解的延拓定理的證明方法，熟記飽和解的概念，對(duì)特定的區(qū)域G了解在其上定義的一階微分方程飽和解存在區(qū)間的可能情況。了解一階微分方程解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性。教學(xué)重點(diǎn)：一階微分方程解的存在唯一性定理，解的延拓定理。教學(xué)難點(diǎn)：解的存在唯一性定理的證明。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)9學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)

11、間不少于6學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：“預(yù)習(xí)指導(dǎo)型”教學(xué)法、“問題研究型”教學(xué)法、 “啟發(fā)設(shè)疑式”教學(xué)法主要內(nèi)容：（1）一階微分方程解的存在唯一性定理的條件和結(jié)論；（2）皮卡逐步逼近法和一階微分方程解的存在唯一性定理的證明。（3）Lipschitz條件和局部Lipschitz條件的概念。（4）一階微分方程解的延拓定理的證明方法，飽和解的概念，對(duì)特定的區(qū)域G了解在其上定義的一階微分方程飽和解存在區(qū)間的可能情況。（5）一階微分方程解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性。一階微分方程解對(duì)初值的可微公式：，。學(xué)習(xí)方法：課前預(yù)習(xí)、主動(dòng)參與課堂教學(xué)、課后復(fù)習(xí)小結(jié)課后作業(yè)：完成教材第88-89頁練習(xí)題3.1 2、4、6、9、10.

12、完成教材第102-103頁練習(xí)題3.3 2、3、4. 第四章：高階微分方程（授課時(shí)間：第四學(xué)期第九，十，十一，十二周）教學(xué)目標(biāo)：掌握函數(shù)線性相關(guān)、線性無關(guān)；Wronsky行列式等概念；掌握齊次和非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理；掌握常系數(shù)齊次線性微分方程解法；能夠利用比較系數(shù)法和Laplace變換法求非齊次常系數(shù)線性微分方程的通解；掌握歐拉方程及其通解的求法，以及二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法。教學(xué)重點(diǎn)：n階線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理，常系數(shù)齊次線性微分方程解法。教學(xué)難點(diǎn)：線性非齊次微分方程特解的求法。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)12學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于8學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：“預(yù)習(xí)指導(dǎo)型”教學(xué)法、“問題研究型”

13、教學(xué)法、 “啟發(fā)設(shè)疑式”教學(xué)法、“實(shí)際嘗試型”教學(xué)法主要內(nèi)容：（1）函數(shù)線性相關(guān)、線性無關(guān)；Wronsky行列式和基本解組等概念。（2）齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理。（3）非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理，利用常數(shù)變易法求其通解。（4）常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程的解法。（5）利用比較系數(shù)法和Laplce變換法求常系數(shù)非齊次線性方程的通解。（6）利用未知函數(shù)變換的方法求解可降階的一些方程。（7）二階變系數(shù)線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法。（8）第二宇宙速度的計(jì)算和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)理論及其應(yīng)用。學(xué)習(xí)方法：課前預(yù)習(xí)、小組討論、主動(dòng)參與課堂教學(xué)、課后復(fù)習(xí)小結(jié)課后作業(yè)：完成教材第131-132頁練習(xí)題4.1 3、5

14、、6、7. 完成教材第164-166頁練習(xí)題4.2 2、(1) (3) (6) (9) (12), 3、(2) (4), 5、7. 完成教材第182-183頁練習(xí)題4.3 1、3、5.第五章：線性微分方程組（授課時(shí)間：第四學(xué)期第十三，十四，十五周）教學(xué)目標(biāo)：掌握矩陣函數(shù)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念；了解線性微分方程組的初值問題解的存在唯一性定理；掌握線性微分方程組通解結(jié)構(gòu)定理；掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法，以及基解矩陣的計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)：線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)，常系數(shù)線性微分方程組解法。教學(xué)難點(diǎn)：常系數(shù)線性微分方程組出現(xiàn)重特征值的情形。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)9學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6學(xué)時(shí)教學(xué)方法：“

15、預(yù)習(xí)指導(dǎo)型”教學(xué)法、“問題研究型”教學(xué)法、 “啟發(fā)設(shè)疑式”教學(xué)法、“實(shí)際嘗試型”教學(xué)法主要內(nèi)容：（1）矩陣函數(shù)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念；（2）線性微分方程組初值問題解存在唯一性定理及其證明；（3）求解非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法；（4）常系數(shù)線性微分方程組的解法；（5）基解矩陣的計(jì)算與應(yīng)用；（6）利用Laplace變換法求解非齊次常系數(shù)線性微分方程組。學(xué)習(xí)方法：課前預(yù)習(xí)、小組討論、主動(dòng)參與課堂教學(xué)、課后復(fù)習(xí)小結(jié)課后作業(yè)：完成教材第201-202頁練習(xí)題5.1 2、3. 完成教材第216-219頁練習(xí)題5.2 2、3、4、6、8、11、13. 完成教材第244-246頁練習(xí)題5.3 2、4、5、

16、6、8.第六章：非線性微分方程穩(wěn)定性初步（授課時(shí)間：第四學(xué)期第十六，十七周）教學(xué)目標(biāo)：理解常微分方程解的穩(wěn)定和漸進(jìn)穩(wěn)定性的定義；掌握按線性近似決定穩(wěn)定性定理；理解定正、定負(fù)、常正、常負(fù)函數(shù)的定義；了解簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造方法，及解的穩(wěn)定性判定定理。教學(xué)重點(diǎn)：按線性近似決定穩(wěn)定性定理；李雅普諾夫第二方法：解的穩(wěn)定性判定定理。教學(xué)難點(diǎn)：穩(wěn)定性有關(guān)定理的證明。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)6學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4學(xué)時(shí)教學(xué)方法：“預(yù)習(xí)指導(dǎo)型”教學(xué)法、“問題研究型”教學(xué)法、 “啟發(fā)設(shè)疑式”教學(xué)法、“實(shí)際嘗試型”教學(xué)法主要內(nèi)容：（1）微分方程解的穩(wěn)定性定義，按線性近似決定微分方程零解穩(wěn)定性定理； （2）李雅普諾夫函數(shù)定