《近世代數(shù)（II）》課程教學(xué)大綱

1、近世代數(shù)（II）課程教學(xué)大綱一、課程概況所屬專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課單位：數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院課程類型：院系選修課程課程代碼：07491370開課學(xué)期：7學(xué)分：3學(xué)時(shí)：51核心課程：否擬使用教材：J.M.Howie. Fields and Galois Theory. Springer Science & Business Media.2006.國內(nèi)(外)現(xiàn)有教材：1 劉長安,王春森. 伽羅華理論基礎(chǔ). 電子工業(yè)出版社. 1989.2 章璞. 伽羅瓦理論-天才的激情. 高等教育出版社. 2013.3 N.Jacobson. Lectures in Abstract Algebra: III. T

2、heory of Fields and Galois Theory. Springer Science & Business Media, 2012. 學(xué)習(xí)參考資料1 N. Jacobson. Basic algebra I. Courier Corporation. 2012.2 HYPERLINK /s/ref=dp_byline_sr_ebooks_1?ie=UTF8&field-author=%E5%86%AF%E6%89%BF%E5%A4%A9&search-alias=digital-text&text=%E5%86%AF%E6%89%BF%E5%A4%A9&sort=releva

3、ncerank t _new 馮承天. 從一元一次方程到伽羅瓦理論. 華東師范大學(xué)出版社. 2012.二、課程描述近世代數(shù)(II)是近世代數(shù)課程的后續(xù)部分，主要是為了闡述創(chuàng)立近世代數(shù)所解決的具體問題-五次及以上代數(shù)方程可用根號(hào)解的充要條件。本課程主要在第I部分基礎(chǔ)上，補(bǔ)充學(xué)習(xí)有限擴(kuò)域和代數(shù)擴(kuò)域的相關(guān)理論，以及伽羅瓦理論的基本定理，給出代數(shù)方程可用根號(hào)解的充要條件以及正多邊形尺規(guī)作圖的充要條件。學(xué)生通過近世代數(shù)(II)的學(xué)習(xí)，可以對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的一些經(jīng)典問題有清晰深刻的認(rèn)識(shí)，可以為代數(shù)學(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)研究奠定良好基礎(chǔ)。三、課程目標(biāo)掌握群論的基礎(chǔ)知識(shí)，包括可解群，可遷群等；掌握有限擴(kuò)域和代數(shù)擴(kuò)域的

4、概念和性質(zhì)；掌握伽羅瓦理論的基本定理；理解伽羅瓦理論的應(yīng)用，包括代數(shù)方程可用根號(hào)解的充要條件，尺規(guī)作圖等。四、教學(xué)要求理解正規(guī)群列，合成群列，可解群和可遷群的概念和性質(zhì)；有限域和代數(shù)擴(kuò)域的概念和性質(zhì)；理解正規(guī)擴(kuò)域和伽羅瓦群；能夠運(yùn)用伽羅瓦大定理判斷方程可解性條件和尺規(guī)作圖問題。五、考核方式及要求為實(shí)現(xiàn)課程教學(xué)目標(biāo)，本門課程考核方式及要求為：平時(shí)表現(xiàn)35%（包括平時(shí)課堂考勤，課堂回答問題，解決的思考題等）；小論文15%；期末閉卷考核60%。六、課程內(nèi)容第一講 預(yù)備知識(shí)（授課時(shí)間：第七學(xué)期第一周至第二周）教學(xué)目標(biāo)：掌握正規(guī)群列和合成群列，掌握可解群和可遷群。教學(xué)重點(diǎn)：正規(guī)群列和合成群列，可解群和可

5、遷群。教學(xué)難點(diǎn)：可解群和可遷群。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)6學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）群的基本概念與置換群； （2）同態(tài)和同構(gòu)定理；（3）正規(guī)群列和合成群列；（4）可解群；（5）可遷群。學(xué)習(xí)方法：小組討論課后作業(yè)：完成課堂布置的思考練習(xí)題。第二講 擴(kuò)域（授課時(shí)間：第七學(xué)期第三周至第六周）教學(xué)目標(biāo)：掌握有限擴(kuò)域和代數(shù)擴(kuò)域的概念以及基本性質(zhì)，掌握多項(xiàng)式的分裂域，掌握有限域的基本性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：有限擴(kuò)域和代數(shù)擴(kuò)域，有限域。教學(xué)難點(diǎn)：有限域。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)12學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于8學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）域的基本概念； （2）有限擴(kuò)域和代數(shù)擴(kuò)

6、域；（3）多項(xiàng)式的分裂域；（4）有限可分?jǐn)U域的單純性；（5）有限域。學(xué)習(xí)方法：小組討論課后作業(yè)：完成課堂布置的思考練習(xí)題。第三講 伽羅瓦理論初步（授課時(shí)間：第七學(xué)期第七周至第十二周）教學(xué)目標(biāo)：掌握正規(guī)擴(kuò)域和伽羅瓦群，掌握伽羅瓦理論的基本定理。教學(xué)重點(diǎn)：正規(guī)擴(kuò)域，伽羅瓦群，伽羅瓦大定理。教學(xué)難點(diǎn)：伽羅瓦大定理。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)18學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于12學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）正規(guī)擴(kuò)域； （2）伽羅瓦群；（3）方程的伽羅瓦群；（4）伽羅瓦理論的基本定理。學(xué)習(xí)方法：小組討論課后作業(yè)：完成課堂布置的思考練習(xí)題。第四講 伽羅瓦理論的應(yīng)用（授課時(shí)間：第七學(xué)期第十三周至第十七周）教學(xué)目標(biāo)：掌握方程可用根號(hào)解的充要條件，了解分圓多項(xiàng)式和正多邊形可尺規(guī)作圖的充要條件。教學(xué)重點(diǎn)：方程可用根號(hào)解的充要條件。教學(xué)難點(diǎn)：分圓多項(xiàng)式。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)15學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于10學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）單位根和循環(huán)擴(kuò)域； （2）方程可用