線性代數(shù)(專升本)綜合測試習(xí)題

1、單選題1. 若行列式，則.(5分)(A):(B):(C):(D):參考答案：B2. 對任意同階方陣，下列說法正確的是.(5分)(A):(B):(C):(D):參考答案：C3. 設(shè)可逆，則的解是.(5分)(A):(B):(C):(D): 不存在參考答案：B4. 若向量組線性相關(guān)，則它的部分向量組是.(5分)(A): 線性相關(guān)(B): 線性無關(guān)(C): 或者線性相關(guān)，或者線性無關(guān)(D): 既不線性相關(guān)，也不線性無關(guān)參考答案：C5. 若階方陣不可逆，則必有.(5分)(A):(B): 0為的一個特征值(C): 秩(D):參考答案：B填空題6.，且，則(1).(5分)(1).參考答案:-47.階方陣的個

2、特征值互不相同是與對角矩陣相似的(2)條件(5分)(1).參考答案:充分問答題8. 計算行列式：.(10分)參考答案： 先提出各列的公因子，再利用展開法則得到原式.解題思路：9. 解矩陣方程，求，其中.(10分)參考答案：解答,解題思路：10. 設(shè)階方陣滿足關(guān)系式，證明可逆，并寫出的表達式.(10分)參考答案：因為，通過移項與提取公因子得從而由可逆定義知可逆，并且.解題思路：11. 論線性方程組的解的結(jié)構(gòu)與計算無論是在科學(xué)研究領(lǐng)域，還是在工程技術(shù)應(yīng)用中，大量的問題可以歸結(jié)為線性方程組的求解，因此研究線性方程組的求解問題是線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容.（1）請描述齊次線性方程組AX=0的解的結(jié)構(gòu)定理(

3、即什么條件下只有唯一的零解？什么條件下有無窮多組非零解，此時的非零解由什么組成？)（2）請描述非齊次線性方程組AX=b的解的結(jié)構(gòu)定理( 即利用系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩的關(guān)系，給出在:什么條件下無解？什么條件下有唯一解？什么條件下有無窮多組解，此時的解由哪兩部分組成？)（3）請利用齊次線性方程組與非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理討論：若齊次線性方程組AX=0有無窮多組解，則非齊次線性方程組AX=b是否也必有無窮多組解？(15分)參考答案：（1）設(shè)有元齊次線性方程組AX0 ，則它的解的結(jié)構(gòu)定理是：當(dāng)秩R(A)時，方程組只有唯一的零解;當(dāng)秩R(A)時，方程組有無窮多組非零解.此時所有的解構(gòu)成解空間，解空

4、間中存在著個線性無關(guān)的解向量，構(gòu)成基礎(chǔ)解系，方程組中的每一個解均可表為基礎(chǔ)解系的一個線性組合.（2）對于元非齊次線性方程組AX而言：當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(A)增廣矩陣的秩R(A)時，方程組有解；當(dāng)R(A)R(A)時，方程組無解.且R(A)R(A)時有惟一解，R(A)R(A)時有無窮多解；此時AX的通解由齊次通解與非齊次特解相加構(gòu)成.（3）答案是不一定必有無窮多組解.由解的結(jié)構(gòu)定理可知，AX0有無窮多解，則其秩必有R(A)，但僅此并不能保證AX有無窮多組解，因為不能保證R(A)R(A)，所以非齊次線性方程AX也可能無解.解題思路：由線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，描述及應(yīng)用12. 論特征值與特征向量(1)

5、 設(shè)A為n階方陣，是A的特征值，x是A的關(guān)于的特征向量，則A、x必須滿足什么條件？應(yīng)如何求得？(2) n階方陣A必有n個特征值:，則這n個特征值必須滿足哪兩條性質(zhì)？(3) 兩個n階方陣A與B相似的定義是什么？它們的特征值之間有什么關(guān)系？方陣A與一個對角矩陣相似通常需要滿足哪些條件(條件不止1個，任意寫出1條即可）？(20分)參考答案：解答要點(1)特征值與特征值向量必須滿足關(guān)系式；并且是通過解特征多項式求出所有的特征值，通過解線性方程組求出所有的特征向量；(2)階方陣必有個特征值，這個特征值必須滿足兩條性質(zhì): ，。(3) 兩個n階方陣A與B相似的定義是：如果存在n階可逆矩陣P，使得（P逆）AP=B，則稱A與B相似。相似矩陣有相同的特征值。相似對角化的條件不止一條，例如：矩陣A的n個特征向量線性