奧數(shù)電梯問題經(jīng)典

1、電梯問題在日常生活中，我們?nèi)ド虉?chǎng)的時(shí)候，一般都會(huì)有電梯乘坐，近年來，在行測(cè)數(shù) 算中常出現(xiàn)關(guān)于電梯的問題，在小學(xué)奧數(shù)中，電梯問題也作為一個(gè)專題來討論研 究，我們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)努力探究其奧秘。有人說電梯問題就是“牛吃草”的變形，也有人說就是船在順?biāo)嫠械膯栴}， 其實(shí)在我看來應(yīng)該與一般行程中的相遇與追及問題類似，只是比一般的行程問題 理解起來有點(diǎn)難而已。大體上可以分2類：.人沿著扶梯運(yùn)動(dòng)的方向行走，當(dāng)然也可以不動(dòng)，不管動(dòng)與不動(dòng)，此時(shí)扶梯都是幫助人在行走，共同走過了扶梯的總級(jí)數(shù)：（V人+V梯）*時(shí)間=扶梯級(jí)數(shù).人與扶梯運(yùn)動(dòng)方向相反，此時(shí)人必須要走， 而且速度要大于電梯的速度才能走 到電梯的另一端。這種

2、情況人走過的級(jí)數(shù)大于電梯的總級(jí)數(shù)，電梯幫倒忙，抵 消掉一部分人走的級(jí)數(shù)，（V人一V梯）*時(shí)間=扶梯總級(jí)數(shù)解決此類問題，既可以列方程，也可以通過比例法來求解，我個(gè)人覺得比例法比 較好，建議大家優(yōu)先選擇比例法，當(dāng)然在一些復(fù)雜的題目中，也許列方程較比例 法簡單。下面我們通過一些例題來一起討論此類題目的解法。例1.自動(dòng)扶梯以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時(shí)從自動(dòng)扶梯向上走， 男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了 27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了 18級(jí) 到達(dá)頂部，問扶梯露在外面的部分有多少級(jí)？分析：男女與電梯均同向，屬于相遇類問題，設(shè)女孩速度為X,電梯速度為V,那么男孩速度為2X,根據(jù)電梯級(jí)數(shù)不變

3、得：27+27/ （2X） *V=18+18V/X解得V=2X ,即V電梯二V男孩所以電梯級(jí)數(shù)=27+27=54 或18*2+18=54另外一種方法：找出時(shí)間比，聯(lián)立級(jí)數(shù)的等式男女速度比=2: 1最荊 男女路程比=27: 18=3: 2那么時(shí)間比=1.5: 2設(shè)梯速度=V那么有 27+1.5V=18+2V解得V=18故 S=27+1.5*18=54還可以利用合速度比等于時(shí)間的反比(因?yàn)槎脊餐哌^了電梯級(jí)數(shù)，而此級(jí)數(shù)是恒定的)男女速度比=2: 1男女路程比=3: 2時(shí)間比=1.5: 2=3: 4和速度比等于時(shí)間的反比=4: 3(2+2): (1+2)=4:3所以電梯速度為2份，與男孩速度一致，S

4、=27*2=54例2.自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，已知男孩的速度是女孩的兩倍，結(jié)果男 孩用了 24秒到達(dá)樓下，女孩用了 16秒到達(dá)樓上.問：男孩乘電梯上樓需要用多 少時(shí)間？(男孩不動(dòng))解析：1.男女速度比=2: 1設(shè)電梯速度為V(2-V) *24=(1+V)*16解得V=4/5那么 S=6*24/5所求時(shí)間 T=(6*24/5)/(4/5)=36秒3.男女時(shí)間比=24: 16=3: 2合速度比=2: 3(2-V 電)：(1+V 電)=2: 3解得V電=0.8課件T=(V+V1)*S/(V+V+V1)/(V1-V)所以 60=V1.T 1最新課件S=16* （ 1+0.8）所求時(shí)間 T=1

5、6*1.8/0.8=36 秒例 3. 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著， 兩位性急的孩子要從扶梯上樓已知男孩每分鐘走20 級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15 級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了 5 分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6 分鐘到達(dá)樓上問：該扶梯共有多少級(jí)？解析：就不列方程了，直接用比例法了，時(shí)間比 =5 ： 6合速度比 =6： 5男女速度比 =20： 15=4： 3（ 4+2） ： （ 3+2） =6： 5V 電梯 =2份， 4份為 20， 2 份就為 10， V 電=10電梯級(jí)數(shù) = （20+10） *5=150 或（ 15+10） *6=150例 4. 兩個(gè)孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。 20 秒內(nèi)男孩走27 級(jí)

6、， 女孩走了 24 級(jí)，按此速度男孩2 分鐘到達(dá)另一端， 而女孩需要3 分鐘才能到達(dá)。則該扶梯靜止時(shí)共有多少級(jí)？解析：先轉(zhuǎn)化速度：V 男 =27*3=81 級(jí)/分V 女 =24*3=72 級(jí)/分時(shí)間比=2 ： 3合速度比 =3： 2速度比=81： 72設(shè)電梯速度V（81-V） ： （72-V） =3： 2解得 V=54所以電梯級(jí)數(shù)=（ 81-54） *2=54 級(jí)例 5. 商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了 40 級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了 80級(jí)到達(dá)樓下。如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的 2 倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可

7、看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)？解析：男女速度比=2： 1男女路程比=80： 40=2： 1那么男女所用時(shí)間比 =1： 1合速度比 =1： 1設(shè)電梯速度V有（ 40+V） *1= （ 80-V） *1解得 V=20所以扶梯級(jí)數(shù)=40+20=60 級(jí)以上問題均比較簡單，我覺得很好理解的。下面我們來看一道比較麻煩點(diǎn)的電梯題目：例 6.甲在商場(chǎng)中乘自動(dòng)扶梯從一層到二層，并在順扶梯運(yùn)行方向向上走，同時(shí)乙站在速度相等的并排扶梯從二層到一層（乙不動(dòng)，由電梯運(yùn)載） ，當(dāng)甲乙處于同一高度時(shí)，甲反身向下走，結(jié)果他走了 60 級(jí)到達(dá)一層，如果他到了頂端再從上行扶梯返回，則要往下走80 級(jí)。那么，自動(dòng)扶梯禁止時(shí)露在外面的有

8、多少級(jí)？分析.這個(gè)題目既不知道時(shí)間，也比知道速度，看來我們只有通過例方程了，根據(jù)兩個(gè)已知的數(shù)據(jù)60 與 80 聯(lián)立方程，設(shè)電梯速度二V,甲速度二V1,電梯級(jí)數(shù)=$,那么由題意可知乙速度=電梯速度二丫由于甲乙同時(shí)出發(fā)，兩梯速度一致，當(dāng)他們處于同一高度時(shí)候，所用的時(shí)間也一樣此時(shí)的高度H= （V+V1 ） *S/（V+V+V1）此時(shí)甲開始轉(zhuǎn)身往下走，走下底端用時(shí)為 T ，80=V1*S/(V1-V) 2由1/2得(V+V1)/(V+V+V1 尸 3/4得到V1=2V帶入2可得80=2S所以電梯級(jí)數(shù)=40級(jí)到這里我們可以看到，其實(shí)電梯類題目是比較簡單的，所謂萬變不離其中，只要 抓住了路程，速度與時(shí)間三

9、者的關(guān)系，此類題目均可一網(wǎng)打盡，優(yōu)選比例法解答， 實(shí)在不行再用方程法?！纠?國2005一類-47)商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯 走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒鐘向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止 時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)？()A. 80 級(jí)B. 100 級(jí)C. 120 級(jí)D.140 級(jí)答案B解析設(shè)電梯每秒鐘上升x級(jí)，電梯共有N級(jí)，根據(jù)順?biāo)写瑔栴}：N=40*(x+2)得到N=100N=50*(x+1.5)【例】(國2005二類-47)商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛 的扶梯上上

10、下走動(dòng)，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了40級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了 80級(jí)到達(dá)樓下。如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的 2倍。 則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí) ？()A.40 級(jí)B.50 級(jí)C.60 級(jí)D.70 級(jí)答案C解析因?yàn)槟泻挝粫r(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的2倍，所以男孩走80級(jí)的時(shí)間和女孩走40級(jí)的時(shí)間相等，由此可知他們兩個(gè)乘電梯的時(shí)間相同，則電梯運(yùn)行 距離也相等，所以有：最新男孩：電梯實(shí)際長度=80-電梯運(yùn)行距離女孩：電梯實(shí)際長度=40+電梯運(yùn)行距離 得：電梯實(shí)際長度=60例4自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知 男孩每分鐘走20

11、級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了 5分鐘到達(dá)樓 上，女孩用了 6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？分析：與例3比較，“總的草量”變成了 “扶梯的梯級(jí)總數(shù)”，“草”變成了 “梯 級(jí)”，“?！弊兂闪?“速度”，也可以看成牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了 20X5= 100 （級(jí)），女孩6分鐘走了 15X6 = 90 （級(jí)）,女孩比男孩少走了 10090=10 （級(jí)）,多用了 6 5=1 （分）,說明電梯1分鐘走10級(jí)。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度 之和，所以扶梯共有（20+10）

12、X 5=150 （級(jí)）。解：自動(dòng)扶梯每分鐘走（20X5-15X6） + （6-5） =10 （級(jí)），自動(dòng)扶梯共有（20+ 10） X 5= 150 （級(jí)）。答：扶梯共有150級(jí)。:課件商場(chǎng)電梯問題商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的 扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒鐘向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩 用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有（）。A. 80 級(jí)B . 100 級(jí) C . 120 級(jí) D . 140 級(jí)關(guān)于電梯問題實(shí)際上也是一種行程問題，而不是我們所理解的 牛吃草”問題：但跟行程問題卻又很大的不同！下面就來說說

13、其不同之處！我們先分析2種模型：（1）:人的方向跟電梯方向同向 當(dāng)人在扶梯的底端開始往上走，而扶梯也是 自動(dòng)往上走 （人的速度+扶梯的速度） 刈寸間=扶梯級(jí)數(shù)，這就好比行程問題里 面的相遇問題。（2）:人的方向跟電梯方向反向，人本來是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。（人的速度-扶梯的速度） 刈寸問=扶梯級(jí)數(shù)。這就好比行程問題里面的追擊問題。我們?cè)賮矸治隼}：首先確定是同向。確定為相遇問題對(duì)于男生：（2 + V電梯）M0對(duì)于女生：（1.5 + V電梯）50建立等式關(guān)系：（2 + V電梯）必0=（1.5 + V電梯）X50解得V電梯=0.5則電梯級(jí)數(shù)=2.50= 100或者2X50=100解法二

14、： 其實(shí)只要知道電梯的長度是固定的就行了 設(shè)電梯的速度為x,則(2+x)*40=(3/2+x)*50 x=0.5 再帶回算出電梯的長度為 100級(jí)男孩女孩解法三：速度合成男孩速度=2,女孩=3/2=1.5s/(x+2)=40 (1)s/(x+1.5)=50 (2)(2)/(1) 得(x+2)/(x+1.5)=1.25x+2=1.25x+1.875x=0.5s=(0.5+2)*40=100奧數(shù)中電梯問題的解題方法電梯問題其實(shí)是復(fù)雜行程問題中的一類。有兩點(diǎn)需要注意，一是總行程=電梯可見部分級(jí)數(shù) 加梯運(yùn)行級(jí)數(shù)”，二是在同一個(gè)人上下往返的情況下，符合流水行程的速度關(guān)系，（注意，其總行程仍然是電梯可見部分級(jí)數(shù)地梯運(yùn)行級(jí)數(shù)）例如:商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻