初中數(shù)學(xué)競賽之邏輯推理問題

1、中學(xué)數(shù)學(xué)競賽之規(guī)律推理問題141 名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號碼是1,2, , 40, 41 這 41 個(gè)自然數(shù),問：（1）能否使這 41 名運(yùn)動(dòng)員站成一排,使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號碼之和是質(zhì)數(shù)？（2）能否讓這 41 名運(yùn)動(dòng)員站成一圈,使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號碼之和都是質(zhì)數(shù)？如能辦到,請舉一例；如不能辦到,請說明理由2某校派出同學(xué)204 人上山植樹15301 株,其中最少一人植樹50 株,最多一人植樹100株,證明至少有 5 人植樹的株數(shù)相同3有 50 名同學(xué)站在操場上玩嬉戲,他們彼此間的距離都各不相等每人手中有一把水槍,嬉戲規(guī)章是：每人都向離自己最近的人打一槍試證明：每一個(gè)人至多挨了 5 槍 （

2、提示：也就是要證明：假定有一個(gè)人至少挨 6 槍是不行能的）4把 1 到 3 這三個(gè)自然數(shù)填入 10 10 的方格內(nèi),每格內(nèi)填一個(gè)數(shù),求證：無論怎樣填法都能使在各行、各列、兩條對角線上的數(shù)字和中,必有兩個(gè)是相同的5一個(gè)口袋內(nèi)有100 個(gè)球,其中有紅球28 個(gè),綠球 20 個(gè),黃球 12 個(gè),藍(lán)球 20 個(gè),白球10 個(gè),黑球 10 個(gè)從袋中任意取球,假如要求一次取出的球中至少有 15 個(gè)球的顏色相同,那么至少要從袋中取出多少個(gè)球？6環(huán)行跑道的一周插了如干紅、黃兩種顏色的彩旗,已知一共變色了46 次（一個(gè)紅旗與一個(gè)黃旗相鄰或一個(gè)黃旗與一個(gè)紅旗相鄰,稱為一次變色）,現(xiàn)可將相鄰的旗子對調(diào),如果如干次對

3、調(diào)后,變色次數(shù)削減為 的變色次數(shù)恰好為 28 次26 次試說明：在對調(diào)過程中,必有一個(gè)時(shí)刻,彩旗7有 17 個(gè)科學(xué)家, 他們中的每一個(gè)都和其他的科學(xué)家通信,在他們的通信中僅僅爭論三個(gè)問題,每一對科學(xué)家相互通信時(shí),僅僅爭論同一個(gè)問題證明至少有三個(gè)科學(xué)家關(guān)于同一個(gè)題目相互通信8對于平面上給定的25 個(gè)點(diǎn),假如其中任何3 個(gè)點(diǎn)中都有某兩個(gè)點(diǎn)的距離小于1,那么在這些給定的點(diǎn)中,肯定可以找到13 個(gè)點(diǎn),這 13 個(gè)點(diǎn)都位于一個(gè)半徑為1 的圓內(nèi)9假如三個(gè)完全平方數(shù)之和能被9 整除,那么可以從這三個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)來,使得這兩個(gè)完全平立數(shù)之差也能被 9 整除10某夏令營組織 1987 名營員去游玩故宮、景山公園

4、、北海公園,規(guī)定每人必需去一處,至多去兩處游玩求證：至少有332 人游玩的地方完全相同11將 2022 張卡片分別標(biāo)記1,2,3, , 2022 的數(shù),數(shù)字面朝上放在桌上二位玩家輪流自桌上各取一張牌,直到桌上的牌取光為止先運(yùn)算每個(gè)人全部取的牌的數(shù)之總和,再比較這兩個(gè)總和的個(gè)位數(shù),較大者為勝方請問兩位玩家中哪一位有必勝之策略（無 論對手如何對應(yīng)）？假如有,這個(gè)必勝策略是什么？12從 1 到 100 這 100 個(gè)自然數(shù)中,任意取出 的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍51 個(gè)數(shù),其中肯定存在兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)中13證明：在 21 1,22 1,2 3 1, , 2 n 1 1 這 n 1 個(gè)數(shù)中,至少有一個(gè)數(shù)能

5、被n整除（其中 n 為大于 1 的奇數(shù)）14今有一角幣一張,兩角幣一張,伍角幣一張,一元幣四張,伍元幣兩張,用這些紙幣任意付款,可以付出不同數(shù)額的款共有多少種？15圓周上有 12 個(gè)點(diǎn),其中有一個(gè)是涂了紅色,仍有一個(gè)是涂了藍(lán)色,其余 10 個(gè)是沒有涂色,以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形中,其頂點(diǎn)包含了紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的多邊形稱為雙色多邊形,只包含紅點(diǎn) （藍(lán)點(diǎn)） 的稱為紅色 （藍(lán)色）多邊形, 不包含紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的稱為無色多邊形試問以這 12 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的全部凸多邊形（邊數(shù)從三角形到 數(shù)與無色多邊形的個(gè)數(shù)哪一種多？多多少？12 邊形）中,雙色多邊形的個(gè)16有 1997 盞亮著的電燈,各有一個(gè)拉線開關(guān)掌握著現(xiàn)將其次

6、序編號為 1,2,3, ,1997將編號為 2 的倍數(shù)的燈線拉一下,再將編號為 3 的倍數(shù)的燈線拉一下,最終將編號為 5 的倍數(shù)的燈線拉一下,拉完后仍有幾盞燈是亮的？17某班的全體同學(xué)進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測試,有4 名同學(xué)在這三個(gè)項(xiàng)目都沒有達(dá)到優(yōu)秀,其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀,這部分同學(xué)達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表求這個(gè)班的同學(xué)數(shù)18把數(shù)、理、化、語、英 5 本參考書,排成一行放在書架上（1）化學(xué)不放在第 1 位,共有多少種不同排法？（2）語文與數(shù)學(xué)必需相鄰,共有多少種不同排法？（3）物理與化學(xué)不得相鄰,共有多少種不同排法？（4）文科書與理科書交叉排放,共有多少種不同排法？19山

7、城電信大樓一架最多可以容納32 人的 33 層電梯出故障,只能在第2 層至第 33 層中的某一層停一次對于每個(gè)人來說,他往下走一層樓梯感到1 分不中意,往上走一層樓梯感到 3 分不中意現(xiàn)有32 個(gè)人在第一層,并且他們分別在第2 至第 33 層的每一層辦公請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,使電梯停在某一層,使得這32 個(gè)人的不中意總分達(dá)到最小,并求出這個(gè)最小值留意：有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓20如下列圖,有一個(gè)正方體形的鐵絲架,把它的側(cè)棱中點(diǎn)I 、J、K、L 也用鐵絲連上（1）現(xiàn)在一個(gè)螞蟻想沿著鐵絲從 A點(diǎn)爬到 G點(diǎn),問最近的路線一共有幾條？并用字母把這些路線表示出來（用所經(jīng)過的連接點(diǎn)字母表示,譬如螞蟻

8、從 A 點(diǎn)動(dòng)身,經(jīng)過 I 點(diǎn) L 點(diǎn),最終到達(dá) H點(diǎn),這樣的路線用 AILH 表示）（2）螞蟻是否可能從 A點(diǎn)動(dòng)身,沿著鐵絲經(jīng)過每一個(gè)連接點(diǎn),恰好一次最終到達(dá) G點(diǎn)？假如可能,請找出一條這樣的路線；假如不行能,說明為什么？參考答案1解：（ 1）能辦到留意到41 與 43 都是質(zhì)數(shù),據(jù)題意,要使相鄰兩數(shù)的和都是質(zhì)數(shù),顯然,它們不能都是奇數(shù),因此,在這排數(shù)中只能一奇一偶相間排列,不妨先將奇數(shù)排成 一排： 1,3,5,7,41,在每兩數(shù)間留有空檔,然后將全部的偶數(shù)依次反序插在各空檔 中,得 1,40, 3,38, 5,36, 7,34, 8,35, 6,37, 4,39,2,41,這樣任何相鄰兩 數(shù)

9、之和都是 41 或 43,滿意題目要求（2）不能辦到如把 1,2,3,40,41 排成一圈,要使相鄰兩數(shù)的和為質(zhì)數(shù),這些質(zhì)數(shù)都是奇數(shù), 故圓圈上任何相鄰兩數(shù)必為一奇一偶,41 個(gè)號碼,由此引出沖突,故不能辦到但現(xiàn)有 20 個(gè)偶數(shù), 21 個(gè)奇數(shù), 總共有（注站成一排和站成一圈雖只一字之差,但卻有著質(zhì)的不同,由于一圈形成了首尾相接 的情形）2證明：利用抽屜原理,按植樹的多少,從50 至 100 株可以構(gòu)造51 個(gè)抽屜,就問題轉(zhuǎn)化為至少有 5 人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里；假設(shè) 5 人或 5 人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里,那只有4 人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里,而參與植樹的人數(shù)為204 人,每個(gè)

10、抽屜最多有4 人,1530015301,故植樹的總株數(shù)最多有：4（50+51+52+ +100） 4得出沖突因此,至少有5 人植樹的株數(shù)相同A、如 B 射向 A,C也射向 A,就在ABC中,3解：假定有一個(gè)人至少挨了6 槍,設(shè)此人為BC邊最長（如圖）又由于三邊不等,就角 A應(yīng)當(dāng)大于 60 度如有 6 個(gè)人都射向 A,就從 A動(dòng)身的 6 個(gè)角都大于等于 60 度,從而周角就大于了 360 度,這是不行能的4證明：由于每個(gè)格內(nèi)數(shù)字為1,2,3,10,最大的為30,共有 21 種取值,就在各行、各列,兩格對角線數(shù)字和中,最小的為實(shí)際上, 10 行, 10 列,加 2 條對角線共22 個(gè)和所以由抽屜原

11、理,必有兩個(gè)和是相等的5解：最不利條件：前面取的球都沒有達(dá)到15 個(gè)球顏色相同的狀況也就是：黃球,白球,黑球全部都取完了（這些同顏色的都在 15 個(gè)球以下,全部取完也不會(huì)有 15 個(gè)球顏色相同）,一共是 12+10+1032 個(gè)球然后紅球,綠球,藍(lán)球各取 依舊沒有 15 個(gè)球顏色相同14 個(gè) 14 342 個(gè)然后再取任意一個(gè)球,就能達(dá)到至少有15 個(gè)球的顏色相同了,2 次,或削減2 次因此一共有32+42+175 個(gè)球6解：第一說明,將相鄰的旗子對調(diào)一次,變色次數(shù)或不變,或增加明顯,假如對調(diào)的兩旗同色,就不轉(zhuǎn)變變色數(shù),以下為了便利,用表示紅色旗,用表示黃色旗,可設(shè)對調(diào)前兩旗為 ,因?qū)φ{(diào)一次只可

12、能影響這兩旗相鄰旗子的變色數(shù),因此（考慮對稱性）,只需考慮如下 幾種對調(diào)前的情形： , , , （變色數(shù)依次為1,2,3,2）,將中間兩旗對調(diào)后變?yōu)?, , , （變色數(shù)依次為 3,2,1, 2）由此可見,變色數(shù)或不變,或增加 2 次,或削減 2 次由原先的變色數(shù) 46,經(jīng)過如干次增、減 2,現(xiàn)在成為 26,故必需經(jīng)過 46 與 26 之間的所有偶數(shù)所以在對調(diào)過程中,必有一個(gè)時(shí)刻,彩旗的變色次數(shù)恰好為 28 次7證明：從 17 個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn),比如點(diǎn) A 處作引 16 條線段,共三種顏色,由抽屜原理至少有 6 條線段同色,設(shè)為 AB、AC、AD、AE、AF、AG且均為紅色如 B、C、D、E、F、

13、G這六個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)連線為紅線,設(shè)這兩點(diǎn)為 B、C,就 ABC是一個(gè)三邊同為紅色的三角形如 B、C、D、E、F、G這六點(diǎn)中任兩點(diǎn)的連線不是紅色,就考慮5 條線段 BC、BD、BE、BF、BG的顏色只能是兩種,必有 3 條線段同色,設(shè)為 BC、BD、BE均為黃色,再爭論CDE的三邊的顏色, 要么同為藍(lán)色, 就 CDE是一個(gè)三邊同色的三角形,要么至少有一邊為黃色,設(shè)這邊為 CD,就 BCD是一個(gè)三邊同為黃色的三角形,即至少有三個(gè)科學(xué)家關(guān)于同一個(gè)題目相互通信8解：在給定的25 個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn),記為A,以 A 為圓心, 1 為半徑作圓,如A 蓋住宅有的點(diǎn),就結(jié)論成立；如不然,就至少有一點(diǎn) B不在圓內(nèi),再

14、以 B 為圓心, 1 為半徑做圓,就所給的 25 個(gè)點(diǎn)中的任意一點(diǎn)要么在A 內(nèi),要么在 B 內(nèi),否就,至少有一點(diǎn) C既不在 A 內(nèi),又不在 B 內(nèi),這樣,所得三點(diǎn) A、B、C的連線 AB、AC、BC的長都大于 1,即在 A、 B、C三點(diǎn)中無兩點(diǎn)距離小于 1,與題設(shè)沖突,因此A、B 就可以蓋住這 25 個(gè)點(diǎn)把 A、 B 作為兩個(gè)抽屜,把 25 個(gè)點(diǎn)放進(jìn)去,由于 2512 2+1,由抽屜原理可知,至少有一個(gè)圓內(nèi)有 12+1 13 個(gè)點(diǎn)都位于一個(gè)半徑為 1 的圓內(nèi)9解：下面我們先來爭論任意的完全平方數(shù)被 9 除的余數(shù)依據(jù)同余理論,我們知道,任何一個(gè)整數(shù)總可以表示成：9k 4 這九種情形中的一種9k,

15、9k 1,9k 2,9k 3 及現(xiàn)在將這九種情形分別平方,于是可得：（9k）29 9k 2+0；（ 9k 1）29（9k 2 2k）+1；（9k 2）29（9k2 4）+4；（9k 3）29（9k2 6k+1）+0 及（9k 4）2 9（9k 2 8k+1）+7可見,任何一個(gè)完全平方數(shù)被9 除的余數(shù)只可能是0,1,4, 7 這四種情形之一另一方面,由于所選的三個(gè)完全平方數(shù)之和能被9 整除,因此這三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和也一定能被 9 整除； 而從 0、1、4、7 這四個(gè)數(shù)中選出三個(gè),其和要能被9 整除, 只可能是 0 ,0, 0 、1 ,1,7 、1 ,4,4 或4 ,7,7 這四種情形中的一種而在上

16、面這四種可能的余數(shù)組合中,每一組都至多有兩種余數(shù),因此至少有兩個(gè)完全平 方數(shù)被所 9 除的余數(shù)相同,從而這兩個(gè)余數(shù)相同的完全平方數(shù)之差就肯定能被 9 整除10解：由于營員所去地方可分為（故宮）,（景山）,（北海）,（故宮,北海）,（故 宮,景山）,（北海,景山）,共 6 種,1987 名構(gòu)造為 6 個(gè)抽屜,而營員共有由抽屜原理可知,必有 人游玩的地方相同,所以至少有 332 人游玩的地方完全相同11解：由題目可知,勝敗的關(guān)鍵在于這個(gè)位數(shù)的大小,于是只考慮這個(gè)位數(shù),試著將范疇縮小,從 2022 縮小到 22,20222022+2,同理： 22 20+2,得到排列： 1 2 3 4 5 6 7 8

17、 9 10 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 21 22 由上面的排列不難看出上面的兩排數(shù)將其以橫的相加,所得總和的個(gè)位數(shù)會(huì)一樣,那么先取的人拿到 22,再依據(jù)對稱性拿,就可以必勝將其推廣：先取的人拿到2022,再依據(jù)對稱性拿,就可以必勝12證明：由于任何一個(gè)自然數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與 2 n 和乘積的形式,而且這種表示方法是惟一的因此,我們可以按下面的方法來構(gòu)造 50 個(gè)抽屜：1 ,1 2, 1 2 2,1 2 3,1 2 6；3 ,3 2, 3 2 2,3 2 3,3 2 4,3 2 5 ；5 ,5 2, 5 2 2,5 2 3,5 2 4； ；49 ,49 2

18、 ；51 ；53 ； ；99 于是從這50 個(gè)抽屜中任取51 個(gè)數(shù),依據(jù)抽屜原就,其中肯定存在至少兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)抽屜,即命題得證13證明：用數(shù)學(xué)歸納法來證明（1）當(dāng) n2 時(shí)成立（2）假設(shè),當(dāng) nk 時(shí),成立（3）證明：當(dāng) nk+1 時(shí)也成立（31）2n 1 個(gè)互不相同的整數(shù)中n 個(gè)整數(shù)的和, 有 C（n,2n 1）種互不相同的可能性（32）這 C（n,2n 1）種互不相同的可能性,落在0 ,（2n 1）.n 區(qū)間內(nèi)在這個(gè)區(qū)間內(nèi),不能被n 整除的整數(shù)個(gè)數(shù)是（2n 1）.（n 1）個(gè)（33）證明 C（n,2n 1）（ 2n 1） .（n 1）（34）原命題得證14解：不管怎么組合都不會(huì)重復(fù),共

19、有 3 5 2 2 2 1120 1119 種故可以付出不同數(shù)額的款共有 119 種15解：對于任何一個(gè)雙色 n（n5）邊形,明顯去掉紅、藍(lán)頂點(diǎn)后,得到一個(gè)無色 n 2邊形,不同的雙色n 邊形去掉紅藍(lán)頂點(diǎn)后,得到的是不同的無色n 2 邊形反過來,對任一無色多邊形,添上紅藍(lán)頂點(diǎn)后,總可以得到一個(gè)雙色多邊形,由此可知,無色多邊形（從三角形到十邊形）的個(gè)數(shù)與雙色多邊形（從五邊形到十二邊形）的個(gè)數(shù)相等因此,雙色多邊形的個(gè)數(shù)多,多出來的數(shù)目恰是雙色三角形和雙色四邊形的數(shù)目雙色三角形有 10 個(gè)雙色四邊形有 10 945 個(gè)這是由于每對應(yīng)一個(gè)雙色三角形,可以有九個(gè)雙色四邊形,而在 90 個(gè)雙色四邊形中,兩

20、兩相重,故只有 45 個(gè)雙色四邊形雙色多邊形比無色多邊形多 55 個(gè)16解：被拉了三次的燈,為 2、 3、5 的最小公倍數(shù),也就是66 被拉了兩次的燈,也就是求2 和 3、3 和 5、2 和 5 的最小公倍數(shù)的和,這里留意要扣除被重復(fù)拉的燈（也就是2、 3、5 三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)）：+ 366466 被拉了一次的燈,+ + 2 466 3 66932 那么最終亮著的燈的數(shù)量：1997 66 932999 17解：有 4 名同學(xué)在這三個(gè)項(xiàng)目都沒有達(dá)到優(yōu)秀,在每個(gè)單項(xiàng)上達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)分別是17,18,15,因而,總?cè)藬?shù)是 17+18+15+454,但其中有人獲得兩項(xiàng)優(yōu)秀,所以上面的計(jì)數(shù)產(chǎn)生了重復(fù),重復(fù)人數(shù)應(yīng)當(dāng)減去,即總?cè)藬?shù)變?yōu)椋?4 6 6 537,又考慮到獲得三項(xiàng)優(yōu)秀的人,他們一開頭被重復(fù)運(yùn)算了三次,但在后來又被重復(fù)減去了三次,所以最終仍要將他們加進(jìn)去即這個(gè)班同學(xué)數(shù)為：37+2 3918解：（ 1）4 4 3 2 196 種故化學(xué)不放在第 1 位,共有 96 種不同排法（2）2 4 3 2 148 種故語文與數(shù)學(xué)必需相鄰,共有 48 種不同排法（3）（ 5 4 2 4） 3 2 172 種故物理與化學(xué)不得相鄰,共有 72 種不同排法（4）3 2 1 2 112 種故文科書與理科書交叉排放,共有 12 種不同排法19解：將人群分成三組