2010高考數(shù)學復習教案：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、PAGE 用心 愛心 專心直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【考試大綱要求】1掌握直線與圓錐曲線公共點問題、相交弦問題以及它們的綜合應用解決這些問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對應的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個數(shù)問題.2會運用“設(shè)而不求”解決相交弦長問題及中點弦問題.3會利用圓錐曲線的焦半徑公式解決焦點弦的問題掌握求焦半徑以及利用焦半徑解題的方法.4會用弦長公式|AB|=|x2x1|求弦的長；5會利用“設(shè)點代點、設(shè)而不求”的方法求弦所在直線的方程（如中點弦、相交弦等）、弦的中點的軌跡等【高考命題走向】近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位

2、置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等預測2010年高考：1會出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題；2與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)【基礎(chǔ)知識歸納】1點與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系（如表1）2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究因為方程組解的個數(shù)與交點的個數(shù)是

3、一樣的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為：(1)相交；(2)相切；(3)相離.注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件曲線條件結(jié)論橢圓點在曲線上點在曲線外點在曲線內(nèi)雙曲線點在曲線上點在曲線外點在曲線內(nèi)拋物線點在曲線上點在曲線外點在曲線內(nèi) （ 表1）3直線與圓錐曲線相交的弦長公式設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,y1)，P2

4、(x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac.則弦長公式為：d=.焦點弦長：（點是圓錐曲線上的任意一點，是焦點，是到相應于焦點的準線的距離，是離心率）.【典型例題解析】題型1：向量與點的軌跡問題【例1】（06江蘇）已知兩點M（2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足0，則動點P（x，y）的軌跡方程為 （）A B C D【答案】B.【解析】設(shè)，,則,由，則，化簡整理得題型2 ：直線與圓錐曲線相結(jié)合問題【例2】（06遼寧）直線與曲線 且的公共點的個數(shù)為 （）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】D【解析】將代入，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點

5、有4個【例】（06四川）直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為 （ ）A56 B64 C48 D72【答案】C【解析】直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和， |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選.【例4】（07全國） 若直線與圓有公共點，則 （ ）A BC D【答案】D【解析】將聯(lián)立消y得,由題型3：圓錐曲線中的最值問題【例5】（06全國）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值.【解析】依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|= eq r(x2+

6、(y1)2) ,又因為Q在橢圓上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2=a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2=(1a2)(y eq f(1,1a2) )2 eq f(1,1a2)+1+a2 .因為|y|1,a1, 若a eq r(2), 則| eq f(1,1a2)|1.題型4：變量取值范圍問題【例6】（07年江蘇）已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。() 求雙曲線C2的方程；() 若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值范

7、圍.【解析】（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則再由故C2的方程為 （II）將代入得：，由l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得即 將代入，得.由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點 設(shè)則由而 于是即解此不等式得或 由、得或故k的取值范圍為題型5：定值問題【例7】（07山東）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標【解析】()由題意設(shè)橢圓的標準方程為， ()設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點， ，解得，且滿足.當時，直線過定點與已

8、知矛盾；當時，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標為題型6：向量與圓錐曲線相結(jié)合的問題【例8】（06全國）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點若點在雙曲線上，且，則 （ ）A BCD【答案】B【解析】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點若點在雙曲線上，且，則=【例9】（07遼寧）設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為 （ ）A B C D【答案】B【解析】因為，設(shè)，根據(jù)雙曲線定義得，所以，又為直角三角形，其面積為題型7： 存在性問題【例10】（08江西）橢圓的離心率，A、B是橢圓上關(guān)于軸均不對稱的兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于，點 F是橢圓的右焦點（）設(shè)AB的中點為，求的值；（）若，求橢

9、圓的方程；（）過的直線交（2）中的橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使得總被軸平分，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由【解析】（）由，橢圓方程是設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),AB的中點為C（x0，y0），則由得 點A、B是關(guān)于x、y軸均不對稱的兩點,即 （）過A、B分別作右準線的垂線，垂足分別為A1、B1.得即橢圓的方程為（）當軸時，顯然存在點E滿足條件; 當與x軸不垂直時，設(shè)CD:y=k(x-1)與橢圓方程聯(lián)立，并消去y得，設(shè)，則設(shè)存在，則對任意的k恒成立，即， 將式代入得.題型8：對稱性問題【例11】（07安徽）已知雙曲線上存在關(guān)于直線的對稱點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】設(shè)，

10、是雙曲線上關(guān)于直線的對稱點，所在直線方程為，（）代入，得， 即 ， 中點在直線上，代入得或或且.【重點方法提煉】1加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的復習：由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點.這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決這樣就加強了對數(shù)學各種能力的考查2關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達定理采用設(shè)而不求法利用引入一個參數(shù)表示動點的坐標x、y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識會化難為易，化繁為簡，收到意想不

11、到的解題效果3直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法4當直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍【高考實戰(zhàn)演習】一選擇題1（08湖南）若雙曲線（a0,b0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是 ( )A.(1,2) B.(2

12、,+) C.(1,5) D. (5,+)2（08 山東)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為 （ ）A. B. C. D. 3（07江西）連接拋物線的焦點與點所得的線段與拋物線交于點，設(shè)點為坐標原點，則三角形的面積為 （） 4（07四川）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于 （ ）A3 B.4 C D5（08四川）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為 ( )AB. CD6.（08天津）設(shè)橢圓（，）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為 （ ） A

13、B. C D7.（09全國）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則=（ ）a. b. 2 C. D. 3 8.（09全國）已知直線與拋物線C:相交A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點。若,則k=（ ）A B C D二填空題9（08湖南）已知橢圓（ab0）的右焦點為F,右準線為,離心率e=過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 . 10（08浙江）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則=_. 11. （09廣東）巳知橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為 12（09福建）過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線

14、交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則_ 13（09上海）已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_. 14（09江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為 . 三解答題15（09年海淀二模）已知拋物線C:，過定點，作直線交拋物線于（點在第一象限）. （）當點A是拋物線C的焦點，且弦長時，求直線的方程； （）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，直線交軸于點，且.求證：點B的坐標是并求點到直線的距離的取值范圍.16（09朝陽一模）已知的三邊長成等差數(shù)列，若點的坐標分別為（）求頂點的軌跡的

15、方程；（）若線段的延長線交軌跡于點，當 時，求線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標的取值范圍17（09海淀一模）已知橢圓（）的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形. （）求橢圓的方程； （）若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結(jié)，交橢圓于點.證明：為定值；（）在（）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點Q，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由. 18（08安徽）設(shè)橢圓過點，且著焦點為（）求橢圓的方程；（）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上19（08安徽）已知平面上一定點C（4，0

16、）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且（）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；（）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.20（09浙江）已知橢圓的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為（）求橢圓的方程； （）設(shè)點在拋物線R上，在點處的切線與交于點當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值一選擇題1.【答案】B【解析】由焦半徑公式可得：2.【答案】 A【解析】對于橢圓，由題目條件易得焦距是10，進而由雙曲線的定義可知，曲線是雙曲線，且=5，=4，又焦點在軸上，曲線的標準方程為，

17、選.3.【答案】B【解析】線段所在直線方程與拋物線交于則： .4.【答案】C【解析】設(shè)直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，由弦長公式可求出 5【答案】B【解析】如圖，作D垂直于準線，垂足為，有在tADK中， 故AKF=45，設(shè)則,解得，所以故選.6.【答案】B【解析】由拋物線焦點為F(2，0)知橢圓右焦點坐標為(2，0)，所以c=2.又故橢圓方程為7.【答案】A【解析】過點B作于M,并設(shè)右準線與x軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.8. 【答案】D 【解析】由直線方程知直線過定點即拋物線焦點（2，0），由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求k=

18、.二填空題9【答案】 【解析】由已知得10【答案】 8【解析】由橢圓的定義知道，又，所以11. 【答案】【解析】，則所求橢圓方程為.12【答案】2【解析】由題意可知過焦點的直線方程為，聯(lián)立有，又，解得13【答案】3【解析】依題意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3.14【答案】【解析】 直線的方程為；直線的方程為.二者聯(lián)立解得， 則在橢圓上，解得.三解答題15【解析】（）由拋物線C:得拋物線的焦點坐標為，設(shè)直線的方程為：，. 由得.所以，.因為，所以. 所以.即.所以直線的方程為：或. （）設(shè)，則. 由得.因為，所以，. （）設(shè)，則. 由題意知：，.即.顯然 （）由題意知：為等腰直角三角形，即，即. .，. .即的取值范圍是. 16【解析】（）因為成等差數(shù)列，點的坐標分別為 ，所以且由橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點長軸為4的橢圓（去掉長軸的端點），所以故頂點的軌跡方程為 （）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為由得，設(shè)兩點坐標分別為，則，所以線段中點的坐標為,故垂直平分線的方程為，令，得與軸交點的橫坐標為，由得，解得，又因為，所以當時，有，此時函數(shù)遞減，所以所以，故直線與軸交點的橫坐標的范圍是 17【解析】（）如圖，由題意得，.，.所求的橢圓方程為. （）由（）知，（，0），（2，0）. 由題意可設(shè)