兩個(gè)重要數(shù)學(xué)關(guān)系在極值問(wèn)題中的應(yīng)用

1、兩個(gè)重要數(shù)學(xué)關(guān)系在極值問(wèn)題中的應(yīng)用在中學(xué)物理習(xí)題中，經(jīng)常會(huì)遇到求一些物理量的最大值或最小值問(wèn)題，一般的方法是利用二次函數(shù)的配方法或利用三角函數(shù)等方法來(lái)求解，而有些問(wèn)題不一定是二次函數(shù)或三角函數(shù)的形式，因此用常規(guī)方法難于解答，但如果我們能夠運(yùn)用一些特殊的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)處理，這些極值問(wèn)題往往便迎刃而解了。下面舉例說(shuō)明之。1根據(jù)兩項(xiàng)之積為常數(shù)，當(dāng)兩項(xiàng)相等時(shí)，和有最小值求解函數(shù)，因?yàn)槌?shù)，所以當(dāng)，即時(shí)，y有最小值，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，可以快速求解極值問(wèn)題。例1設(shè)有一架直升飛機(jī)以加速度a從地面由靜止開(kāi)始勻加速豎直向上起飛，已知飛機(jī)在上升過(guò)程中每秒的耗油量V0paq（p、q均為常數(shù)）。若要直升飛機(jī)勻加速上升到某一定

2、高度處，且耗油量最小，則其加速度大小應(yīng)為（）網(wǎng)Ap/qBq/p C D解析：設(shè)飛機(jī)上升高度h所用的時(shí)間為t，則有：，所以：，則飛機(jī)的耗油量為：，因式中=常數(shù)，所以當(dāng)，即時(shí)，V有最小值。故正確選項(xiàng)為B。例2如圖-1所示，擺線的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，擺球的質(zhì)量為m，帶電量為+q，懸掛在O點(diǎn)，擺線與豎直方向的最大偏角為，（90）,擺球來(lái)回做周期為T的圓弧運(yùn)動(dòng)。如果加一個(gè)垂直于擺動(dòng)平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，為使磁場(chǎng)對(duì)擺動(dòng)無(wú)影響，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件。解析：洛侖茲力沿繩指向懸點(diǎn)且較大時(shí)（即B較大）時(shí)，可使擺球脫離軌道。設(shè)在某一位置與豎直方向的夾角為，由牛頓第二定律得：當(dāng)繩上的張力為零時(shí)

3、有：由機(jī)械能守恒定律得：由式將cos代入式得：上式兩項(xiàng)中積為定值，和有最小值，由表達(dá)式中兩項(xiàng)相等，得時(shí)，和最小。由式知，當(dāng)與豎直方向的夾角為時(shí)的速度，由兩速度相等得出：當(dāng)時(shí)，即90arccos時(shí)，當(dāng)=arcos（）時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有使力為零的最小值：，則滿足B即可。當(dāng)時(shí)，1，式兩項(xiàng)最接近，cos=1，=0 時(shí)，有極值。代入式得：所以B應(yīng)滿足的條件為：B例3如圖-2所示電路中，E=15V，r=10，R=90，R0是可變電阻，在R0由零增加到最大值400的過(guò)程中，求：可變電阻R0上消耗的熱功率最大的條件和最大熱功率。解析：根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得電路中的電流強(qiáng)度為：，電阻R0消耗的電功率：，因分母

4、中兩項(xiàng)這積為常數(shù)，當(dāng)兩項(xiàng)相等時(shí)，分母有最小值，即當(dāng)，R0=r+R=100時(shí)，P0有最大值，2根據(jù)兩項(xiàng)之和為常數(shù)，當(dāng)兩項(xiàng)相等時(shí)，積有最大值求解函數(shù)y=（axb）（cax），因（axb）+（cax）=cb=常數(shù)，故當(dāng)（axb）=（cax），即時(shí)，y有最大值，。對(duì)于三項(xiàng)之和為常數(shù)，有同樣的規(guī)律。例4如圖所示電路中，E、r為定值，電阻R2R，當(dāng)滑片P從a向b移動(dòng)的過(guò)程中，電壓表V1、V2示數(shù)的變化情況是（）AV1示數(shù)增大，V2示數(shù)增大BV1示數(shù)增大，V2示數(shù)減小CV1先增大后減小，V2先增大后減小DV1先增大后減小，V2一直增大解析：設(shè)滑動(dòng)變阻器aP間電阻為Rx，則Pb間電阻為RRx，Pb部分與R2串

5、聯(lián)后再與Rx并聯(lián)，并聯(lián)部分的電阻為：，因Rx+（R2+RRx）=R2+R=常數(shù)，故當(dāng)Rx=R2+RRx，即時(shí)，R并有最大值，所以R并先增大后減小，電路中總電流先減小后增大，因V1表的示數(shù)U1=EI（R1+r），故伏特表V1的示數(shù)先增大后減小。由閉合電路的歐姆定律知電路中的總電流為：通過(guò)電阻R2的電流為：當(dāng)Rx增大時(shí)，分母一直減小，所以I2一直增大，而伏特表V2的示數(shù)U2=I2R2，所以V2的示數(shù)一直增大。故正確選項(xiàng)為D。例5在電視節(jié)目中，我們常能看到一種精彩的水上運(yùn)動(dòng)滑水板。如圖-4所示，運(yùn)動(dòng)員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行。設(shè)滑板上光滑的，運(yùn)動(dòng)員與滑板的質(zhì)量m70kg，

6、滑板總面積S012m2，水的密度=10103kg/m3。理論研究表明：當(dāng)滑板與水平面的夾角為（板前端抬起的角度）時(shí)，水對(duì)板的作用力大小FNSv2sin2，方向垂直板面，式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積。求：為使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度。解析：選運(yùn)動(dòng)員和滑板為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行受力分析如圖-5所示，由平衡條件得：FNcosmg=0又由題中所給理論模型：FNSv2sin2解得：，由式中可知，快艇的最小速度只由決定。令ysin2cos，則有：y2sin2sin2（2cos2）/2因sin2+sin2+2cos22（為常數(shù)），所以當(dāng)三項(xiàng)相等時(shí)，積為最大，即sin22cos2，時(shí)，y有最大值，所以快艇的最小速度為