高中數(shù)學(xué)必修二 6 平面向量的共線定理、量積（精講）(含答案)

1、6.2.2 平面向量的共線定理、數(shù)量積(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點(diǎn)一 共線定理【例1-1】(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))判斷下列各小題中的向量,是否共線(其中是兩個(gè)非零不共線向量)(1)；(2)；(3)【答案】(1) 與共線；(2) 與共線；(3) 與不共線【解析】(1)，與共線(2)，與共線(3)設(shè)，則，與是兩個(gè)非零不共線向量，這樣的不存在，與不共線【例1-2】(2021上海高一課時(shí)練習(xí))設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量.(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，且三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2).(3).【解析】證明：(1)，所以.又因?yàn)闉楣颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)

2、共線.(2)設(shè)，則解得或所以實(shí)數(shù)的值為.(3)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線.從而存在實(shí)數(shù)使，即，得解得所以.【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在中，分別是，的中點(diǎn)，(1)用，表示，；(2)求證：，三點(diǎn)共線【答案】(1)答案見解析；(2) 證明見解析【解析】(1)如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，得到平行四邊形，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，；(2)由(1)知，所以，所以，共線，又，有公共點(diǎn)，所以，三點(diǎn)共線2(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，已知兩邊的中點(diǎn)分別為M，N，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使.求證：P，A，Q三點(diǎn)共線. 【答案】證明見解析.【解析】如圖，設(shè)，

3、則，由此可得，所以，故，故，且它們有公共點(diǎn)A，所以P，A，Q三點(diǎn)共線.3(2021安徽黃山高一期末)設(shè)為的重心，為的重心，過作直線分別交線段，(不與端點(diǎn)重合)于，.若，.(1)求證為定值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)連結(jié)并延長(zhǎng)交于，則是的中點(diǎn)，設(shè)，則，所以，又，由于，三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)，使，(2)，即，所以，當(dāng)即時(shí)，有最大值，當(dāng)或即或時(shí)，有下確界5(取不到5)，于是的取值范圍是.考點(diǎn)二 共線定理的應(yīng)用【例2】(2021上海市奉賢中學(xué)高一期中)設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的面積與的面積的比值為( )ABCD【答案】D【解析】延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，連接，因?yàn)?，所?/p>

4、，所以為的重心，所以設(shè)，則，,所以,所以，故選：D【一隅三反】1(2021山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末)已知的三個(gè)頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則與的面積比為( )ABCD【答案】B【解析】解：因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)榈倪吪c的邊上的高相等，所以，故選：B2(2021江西新余高一期末(理)若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊靠近的三等分點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為( )ABCD【答案】C【解析】是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至使，連接，則四邊形是平行四邊形，向量和向量平行且模相等，由于，所以，又，所以，在平行四邊形中，則與的面積比為，故選：C.3(2021甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)高一

5、期末)已知是的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足，則與的面積之比為( )ABCD【答案】C【解析】如圖，由得，即，即，故，故與以為底，其高的比為，故故選：C考點(diǎn)三 向量的數(shù)量積【例3】(1)(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若與是相反向量，且=3，則等于( )A9B0C-3D-9(2)(2021江西九江一中高一月考)已知向量、滿足， 與的夾角為，則()ABCD【答案】(1)D(2)C【解析】(1)由已知得故選：D(2)因?yàn)椋?與的夾角為，所以，故選：C【一隅三反】1(2021江西宜春九中高一月考)中，為斜邊的中點(diǎn)，則( )A1B1C2D2【答案】B【解析】由題意是等邊三角形，所以故選：B2(2021安徽合肥藝

6、術(shù)中學(xué) 高一月考)如圖，是邊長(zhǎng)為4的正方形，若，且為的中點(diǎn)，則( )A3B4C5D6【答案】C【解析】,故選：C3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))正三角形邊長(zhǎng)為，設(shè)，則_.【答案】【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，故答案為：.4(2021安徽淮北一中高一月考)已知是的斜邊上的高，在延長(zhǎng)線上，若的長(zhǎng)為2，則_.【答案】4【解析】由題意，是的斜邊上的高，所以，可得，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所?故答案為：4.考點(diǎn)四 向量的夾角【例4】(2021上海高一課時(shí)練習(xí))設(shè)和是兩個(gè)單位向量，其夾角是，求向量與的夾角.【答案】【解析】且與的夾角是，設(shè)與的夾角為，則又，故與的夾角為.【一隅三反】1(2021吉林延邊

7、二中高一月考)已知，.(1)求與的夾角；(2)若，且，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?(2)因?yàn)?，則，所以，化簡(jiǎn)得：，解得：.2(2021浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國(guó)語學(xué)校高一月考)已知，求：(1)與的夾角；(2)與的夾角的余弦值【答案】(1)；(2).【解析】(1)，設(shè)與的夾角為，則又，；(2)，又，設(shè)與的夾角為，則即與的夾角的余弦值為3(2021江蘇南通高一期末)如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，求：(1)；(2)【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為，由向量的線性運(yùn)算法則，可得，所以.(2)由(1)知，可得，即，即，所以.考點(diǎn)五 向量的模長(zhǎng)【例5】(

8、1)(2021湖北大冶市第一中學(xué)高一月考)若向量與的夾角為60，則( )A2B4C6D12(2)(2021上海高一課時(shí)練習(xí))已知向量，的夾角為，則等于( )A7B6C5D4(3)(2021河北正定中學(xué)高一月考)已知平面向量，則的最大值( )ABCD【答案】(1)C(2)A(3)A【解析】(1)因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60，所以，即，所以，解得或(舍)，故選：C(2)，所以，故選：A.(3)，所以，是向量和的夾角，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：A【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))設(shè)為單位向量，且1，則|+2|( )ABC3D7【答案】B【解析】為單位向量，且1可得，可得，.故選：B2(2021全國(guó)高一課

9、時(shí)練習(xí))已知平面向量，則的最大值為( )A1B2C3D5【答案】C【解析】，=，又-2，2，的最大值為3.故選：C3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知，則( )ABC13D21【答案】A【解析】依題意，.所以.故選：A考點(diǎn)六 向量的投影【例6】(2021北京中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)已知為單位向量，則在方向上的投影的數(shù)量為( )AB2CD【答案】C【解析】由題意，在方向上的投影的數(shù)量為：故選：C【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知向量，滿足，且，則在方向上的投影為( )A3B-3C-D【答案】B【解析】由,得,于是,因此在方向上的投影為.故選：B2(2021廣東高州高一期末)已知向

10、量，是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為( )ABCD【答案】C【解析】設(shè)與所成角為，則，故在上的投影向量為故選：C.3(2021廣東東莞市光明中學(xué)高一月考)已知為一單位向量，與之間的夾角是120，而在方向上的投影向量為，則_【答案】4【解析】因?yàn)榕c之間的夾角是120，而在方向上的投影向量為，所以，所以，所以4.故答案為：4.4(2021河北張家口市第一中學(xué)高一月考)已知，且是與方向相反的單位向量，則在上的投影向量為_.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以在上的投影向量為，故答案為?考點(diǎn)七 向量的綜合運(yùn)用【例7】(2021上海高一課時(shí)練習(xí))設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列命題為真命題的是( )A若

11、，則B若，則C若，則存在實(shí)數(shù)，使得D若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C【解析】對(duì)于A，若，則，得，不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A解析可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，得，則，則與反向，因此存在實(shí)數(shù)，使得，故C正確；對(duì)于D，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：C【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為( )A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】依題意，,，所以，所以三角形是等腰三角形.故選：A2(2021廣東東莞市光明中學(xué)高一月考)下列命題中，不正確的是( )ABCD與共線【答案】D【解析】對(duì)于A，利用數(shù)量積公式知，即，故A正確；對(duì)于B，滿足向量的數(shù)乘結(jié)合律，故B正確；對(duì)于C，滿足向量的分配律，故C正確；對(duì)于D，與共線，則與同向或反向，當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：D3(2021四川自貢高一期末(理)已知是所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡一定通過的( )A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】C