圓錐曲線的距離問題

1、錐曲線中的距離問題考題剖析距離的范圍問題x 2 v 21例1、已知橢圓云+ b- = l(a b 0)的左、右焦點分別是FF2,其離心率e = 2 ,點P為橢圓上的一個動點，APFF2面積的最大值為4J3 .求橢圓的方程；若人、B、C、D是橢圓上不重合的四個點，AC與BD相交于點牛AC-BD=0,求墮|+ |的取值范圍.距離的定值問題x 2 v 21x y _， b 0)的離心率e =，右焦點到直線一+ = 1的距離d =， 0為坐標a 2 b 22a b7原點.求橢圓C的方程；過點0作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A、B兩點，證明點0到直線AB的距離為定值，并求 弦AB長度的最小值.例

2、1、解：（I）由題意得，當(dāng)點P是橢圓的上、下頂點時，尸，烏的面積取最大值1分 TOC o 1-5 h z 此時 S = - FF |OP = bc. bc = 4J3 2分阡221 2口e = 1,b = 23, a = 43分2x 2 y 2 D12 +1-1守=k2+1，貝ij AC + BD =ac + bd =1216896 叫、TT 嚀14)12 + N/1211分10分二一 r6 綜上，AC + BD的取值范圍是y,1412分c 1. -例2、由題意得e=二虧，二a=2c，二b=加2c2 =成-1分x y由題意得橢圓的右焦點(c,。)到直線一+子=1即bx + ay - ab =

3、0的距離為a b,|bc ab|V3c2 2名c21_1d = =廠=c ，. . c 1a 2 + b 2 =kx + m A(x , y ),B(x , y ), TOC o 1-5 h z 1122y = kx + m直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立得 x2y2,+ = 143消去,得(3 + 4k2)x2 + 8kmx + 4m2 -12 = 0,8km4m2 -12八x + x =, x x = . .6 分123 + 4k 21 23 + 4k 2OA OB , . x x + y y = 01 21 2由 y + y = k(x + x ) + 2m , y y = k2x x

4、+ km(x + x ) + m2,12121 21 212(k2 + 1)x x + km(x + x ) + m2 = 0 整理得 7m2 = 12(k2 +1) ,. |m| = * ：12(k2 + )1212712 2OA - OB，當(dāng)且僅當(dāng) OA = OB 時取二”號.AB 2.OA - OB ，又由等面積法知d - AB = OA - OB ,2d - AB 2d =圮1即弦AB的長度的最小值是竺1.12分277（三）距離比問題例3、已知橢圓C1:三+ y = 1（。b 0）的兩個焦點F1, F2,動點P在橢圓上，且使得ZF1PF廣90的點P恰有兩個，動點P到焦點F的距離的最大值

5、為2+2。 1（I）求橢圓C1的方程；（II）如圖，以橢圓C1的長軸為直徑作圓C2，過直線x = -22上的動點T作圓C2的兩條切線，設(shè)切點分別為A,B，若直線AB與橢圓C交于不同的兩點C,D，求AB的取值范圍。1CD（四）距離的最值問題例4、已知動圓過定點A（0，2），且在x軸上截得的弦MN的長為4.（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；（2）過點A （0，2）作一條直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點，過E，F(xiàn)分別作曲線C的切線，兩切線交于P點， 當(dāng)I PE | PF I最小時，求直線EF的方程.=2：r 2 d 2 = 4-16.從而|CD| =1 +生I y - y | =竺圭) 8七 2 (12 +

6、16)所以AB 8)，CD& 2 + 8( 12 + 8)例3、解：(I)由使得ZF1PF2 = 90的點P恰有兩個可得b = c,a = J2c ；動點p到焦點F1的距離的最大值為2 + J2, 可得a + c = 2 + ：2，即a = 2,c = 2，所以橢圓C 1的方程是X- + : = 1(II)圓C的方程為X2 + y2 = 4，設(shè)直線x = 2(2上動點T的坐標為(-2七21)設(shè)A(x ,y )，B(x ,y )， TOC o 1-5 h z 21122則直線AT的方程為xx + y y = 4，直線BT的方程為xx + y y = 4，又T (-2/2,1)在直線AT和BT上，

7、即 1122 2七，氣+氣 4，故直線ab的方程為-22x + 1y = 4-2j2 x + 1y = 4一，4由原點O到直線AB的距離d = = 得，|AB| =8 +12-2 V2x + 1y = 4x 2V2，消去 x 得(12 +16) y2 - 8 y1 -16 = 0，設(shè) C (x , y ), D(x , y )。 TOC o 1-5 h z += 1334 44 T,8t則 y + y =, y3412 + 16 3 412 + 16ABCD所以ABCD=+12y - 256y3，設(shè) f (y) = 1 +12y - 256y3，m3 + 12m2 - 25612 2561小

8、1、m31 + -，又設(shè)一=y (0 v y %)，m m3m8所以由 f(y) = 12-768y2 = 0得：y = 1，8所以 f (y) = 1 +12 y - 256 y2 在0,8上單調(diào)遞增即ABCD例4、20.（。設(shè)圓心為Cg）,線段MN的中點為則|ME| = 普上 1分依題意得 |CA|CMF=IME|* + |EC1，,3 分夢+e2）皆=普 TOC o 1-5 h z 二 必=4/為動圓圓心的藐跡方程5分 不妨設(shè):（血咨），直”等）30），44孚-2 TS由A,E*F三點共線得土一=土一， A 為他=一&分xz 也由 站奴得:. 礦=.出二PE方程為y學(xué)*（*1）.即尸哥宣

9、一亭蠟-同理FF的方程為尸號工一+必S分解得P點的坐標為（號邑,零即（號葬,一2）.9分u*x&則Ipei=JT,廣乒_擊|=貝皿匕 床茵，州|=耳, I令_我|=地小孚妲中,.1。分- jPEj，|PF| _的時上式取等弓.此時EF斜率為。，所求直線EF方程為y=2T以分（五）距離恒等式X2 , V2 一例5、已知圓C: x2+y2=3的半徑等于橢圓E: +廠=1 （ab0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi)，且到 a 2b 2直線l:y=x-y6的距離為；3 W ,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A（xi，yi）,（x2，y2）.（I ）求橢圓 E 的方程;（11

10、）求證：|AF|-|BF| = |BM|-|AM|.距離恒成立問題一尤2 V 2 一_ _一 尤2 y 2 一例6、如圖，已知橢圓C1 8+-4 = 1的焦點分別為F1,烏，雙曲線c2 44 = 1,設(shè)p為雙曲線上異于頂點 的任意一點，直線PF和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.設(shè)直線PF、PF的斜率分別為k、k，求：k -k的值；121212是否存在常數(shù)人，使得|A8| +|CD| =人|人8|CD|恒成立？若存在，求人的值；若不存在，請說明理由.例5、解：(1)設(shè)點F (c,0 )(c 0) ，則F到直線l的距離為,宗=用修，即|c 響頊-1 ,因為F在圓C內(nèi)，所以C,吾，故C =

11、1 ;因為圓c的半徑等于橢圓舊的短半軸長所以b2 = 3,一、一 .X2 V 2橢圓方程為習(xí)+ = 1 .-可(II)因為圓心O到直線l的距離為1 =提，所以直線l與圓C相切，M是切點，故2AOM 為直角三角形，所以 |AM| = OA-pM=yjxi + yi -3 ,又號+ W = 1，可得AM| =12 Xi，lA|=氣：(，1)2 + y2，又+=1，可得lAN =2x , i1432 1所以 |AE| + |AM| = 2,同理可得I BF I + I BM 1= 2,所以 |AF| + |AM| = I BF I + I BM I，即 |AF|-|BF| = |BM|-|AM|.例

12、 6、(I)設(shè) A(x , y ), B(x , y ), P(x , y )，則 k = * , k = *1 12 20 o 1 x + 2 2 x - 2因為點p在雙曲線x 2 - y2 = 4上，所以礦y2 =4.因此 k k = yy=y=1，即 k k = 1.1 2 xo + 2 xo - 2 x2 - 41 2(II)由于PF1的方程為y = k、x + 2)，將其代入橢圓方程得(2k; + 1)x 2 + 8k; x + 8k; 8 = 0由違達定理得x1+%8k28k2 - 81, x x = 12k； + 1 1 2 2k； + 1所以I AB I=寸1 + k2 偵(x

13、 + x )2 -4xx，-I 8k 28k 2 8=t 1 + k2 I (1)2 4 x 1 = 421 弋2k;-12k; +1k 2 +112k 2 +111 = 1 (2k; +1 + 2k; +1k2 +1, 1同理可得I CD I= 4；2 .貝+2k; +1I AB I I CD I 4/2 k2 +1又 kk = 11 2A+1一-111 (2k2 +1 + k2) v2 (2k2 +1 + k2 + 2、3&=，_!+18k 21所以 += = ( 1-I AB I I CD I 牝2 k; +1-1)=k 2 + 181故 I AB I + I CD I= 382 I A

14、B I -1 CD I因此，存在X = ，使I AB I + I CD I= X I AB I -1 CD I 恒成立。8課后強化變式1、已知橢圓C滿足：過橢圓C的右焦點F3云0）且經(jīng)過短軸端點的直線的傾斜角為-.4（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)O為坐標原點，若點A在直線y = 2上，點B在橢圓C上，且OA OB，求線段AB長度的最小值.變式2、設(shè)拋物線Ci：y2=4x的準線與x軸交于點R，焦點為馬；以FF2為焦點，離心率為2的橢圓記作C2（I）求橢圓c2的標準方程；（I）直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F，與拋物線C交于A，A兩點，與橢圓C交于B，B兩點。當(dāng)以BB為直徑的 221122121 2圓

15、經(jīng)過F1時，求|AA2|.變式1、(1)解：(1)設(shè)橢圓的短軸端點為(0,-b)(若為上端點則傾斜角為鈍角)，則過右焦點與短軸端點的直線的斜率 k = 0) = tan? = 1b = 2_槌-14又 c =、；2/.a = 2 TOC o 1-5 h z .。的方程:三+ 22 = 14分42(2)設(shè)點A,B的坐標分別為(t,2),( x ,y )，其中x豐0o ooOA OB, :. OpB = 0,即就是 tx0 + 2 20 = 0，6 分 解得t =-巖.一 又X2 + 2咋=40.|AB| = (x -1 )2 +(y - 2)2 = (x + 24)2 +(y - 2)2 =此

16、+ + 4(0 x 4(0 x0 4) 0且當(dāng)x2 = 4時等號成立，所以AB長度的最小值為2頊212分0 x 2 y 2360?.方程。）恒有兩個不等實根.對任意一個確定的點P,它總肖眺寸應(yīng)W個件成，點”12分變式4、前，峭析；口）因為四法形MEEF為捎&為4而!f平有四邊幣，廝以點E到點F.N 的距離之和最之控，又故由桶圓的定買知.曲城C,為的國*= L度總續(xù)C.的方程為十丁。1-I心分）出I無1=知，僉點石的軌跡為以坐標崢、口為醫(yī)心有為半徑的網(wǎng)bM方程為JJ +寸=4，-m-r t 3 分）代）當(dāng)LLjt鞘時，將T = -l技人T十射=4得y= 土點,所以|尚耳| 息酒由牌西,如所以肖稅，不垂此于H轅 W分）設(shè)直？JU的方程為Ml G的瑙心。仍到H線8的跑陶4=異由圓的JL何性威耕