【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九篇 第6講 拋物線 理 湘教版

1、PAGE PAGE 6第6講 拋物線A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2011遼寧)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ()A.eq f(3,4) B1 C.eq f(5,4) D.eq f(7,4)解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，知|AF|BF|x1eq f(p,2)x2eq f(p,2)3，peq f(1,2)，x1x2eq f(5,2)，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq f(x1x2,2)eq f(5,4).答案C2(2013東北三校聯(lián)考)若拋物線y22

2、px(p0)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱軸的距離分別為10和6，則p的值為 ()A2 B18 C2或18 D4或16解析設(shè)P(x0，y0)，則eq blcrc (avs4alco1(x0f(p,2)10，,|y0|6，,yoal(2,0)2px0，)362peq blc(rc)(avs4alco1(10f(p,2)，即p220p360，解得p2或18.答案C3(2011全國(guó))已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線y2x4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cosAFB()A.eq f(4,5) B.eq f(3,5) Ceq f(3,5) Deq f(4,5)解析由eq blcrc (avs4alco1(y

3、24x,y2x4，)得x25x40，x1或x4.不妨設(shè)A(4,4)，B(1，2)，則|eq o(FA,sup6()|5，|eq o(FB,sup6()|2，eq o(FA,sup6()eq o(FB,sup6()(3,4)(0，2)8，cosAFBeq f(o(FA,sup6()o(FB,sup6(),|o(FA,sup6()|o(FB,sup6()|)eq f(8,52)eq f(4,5).故選D.答案D4(2012山東)已知雙曲線C1：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2

4、的方程為()Ax2eq f(8r(3),3)y Bx2eq f(16r(3),3)yCx28y Dx216y解析eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的離心率為2，eq f(c,a)2，即eq f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)4，eq f(b,a)eq r(3).x22py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)，eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的漸近線方程為yeq f(b,a)x，即yeq r(3)x.由題意，得eq f(f(p,2),r(1r(3)2)2，p8.故C2：x216y，選D.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5

5、(2013巫溪模擬)設(shè)斜率為1的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為8，則a的值為_解析依題意，有Feq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，0)，直線l為yxeq f(a,4)，所以Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,4)，OAF的面積為eq f(1,2)eq f(a,4)eq f(a,4)8.解得a16，依題意，只能取a16.答案166(2012陜西)如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_米解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py.由題意A(2，

6、2)代入x22py，得p1，故x22y.設(shè)B(x，3)，代入x22y中，得xeq r(6)，故水面寬為2eq r(6)米答案2eq r(6)三、解答題(共25分)7(12分)已知拋物線C：y22px(p0)過點(diǎn)A(1，2)(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于eq f(r(5),5)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解(1)將(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的拋物線C的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y2xt

7、，由eq blcrc (avs4alco1(y2xt，,y24x)得y22y2t0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以48t0，解得teq f(1,2).另一方面，由直線OA與l的距離deq f(r(5),5)，可得eq f(|t|,r(5)eq f(1,r(5)，解得t1.因?yàn)?eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)，1eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)，所以符合題意的直線l存在，其方程為2xy10.8(13分)(2012溫州十校聯(lián)考)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(3),3)，以原點(diǎn)為圓心、橢圓

8、短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線yx2相切(1)求a與b；(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l1過F2且與x軸垂直，動(dòng)直線l2與y軸垂直，l2交l1于點(diǎn)P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型解(1)由eeq f(c,a) eq r(1f(b2,a2)eq f(r(3),3)，得eq f(b,a)eq f(r(6),3).又由原點(diǎn)到直線yx2的距離等于橢圓短半軸的長(zhǎng)，得beq r(2)，則aeq r(3).(2)法一由ceq r(a2b2)1，得F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設(shè)M(x，y)，則P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，即y24

9、x，所以所求的M的軌跡方程為y24x，該曲線為拋物線法二因?yàn)辄c(diǎn)M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離此軌跡是以F1(1,0)為焦點(diǎn)，l1：x1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y24x.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若eq o(FA,sup6()eq o(FB,sup6()eq o(FC,sup6()0，則|eq o(FA,sup6()|eq o(FB,sup6()|eq o(FC,sup6()| ()A9 B6 C4 D3解析設(shè)A(x1，y1)，B(

10、x2，y2)，C(x3，y3)，由于拋物線y24x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，由eq o(FA,sup6()eq o(FB,sup6()eq o(FC,sup6()0，可得x1x2x33，又由拋物線的定義可得|eq o(FA,sup6()|eq o(FB,sup6()|eq o(FC,sup6()|x1x2x336.答案B2(2013洛陽統(tǒng)考)已知P是拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A.eq r(3) B.eq r(5) C2 D.eq r(5)1解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距

11、離為|PF|1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d|PF|的最小值為eq f(|23|,r(2212)eq r(5)，所以d|PF|1的最小值為eq r(5)1.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)3(2012北京)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方若直線l的傾斜角為60，則OAF的面積為_解析直線l的方程為yeq r(3)(x1)，即xeq f(r(3),3)y1，代入拋物線方程得y2eq f(4r(3),3)y40，解得yAeq f(f(4r(3),

12、3) r(f(16,3)16),2)2eq r(3)(yB0，舍去)，故OAF的面積為eq f(1,2)12eq r(3)eq r(3).答案eq r(3)4(2012重慶)過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|eq f(25,12)，|AF|BF|，則|AF|_.解析設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線為ykeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，聯(lián)立得，eq blcrc (avs4alco1(y22x，,ykblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，)整理得，k2x2(k22)xeq f(1,4)k20，x1x2eq f(k22,k2)，x1x2eq f

13、(1,4).|AB|x1x21eq f(k22,k2)1eq f(25,12)，得，k224，代入k2x2(k22)xeq f(1,4)k20得，12x213x30，解之得x1eq f(1,3)，x2eq f(3,4)，又|AF|0，y1y24，則|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)2(x1x2y1y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)24eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)2)216，eq blcrc(a

14、vs4alco1(f(1,3)，f(1,2)，eq f(1,)eq blcrc(avs4alco1(f(5,2)，f(10,3)，當(dāng)eq f(1,)eq f(10,3)，即eq f(1,3)時(shí)，|PQ|2有最大值eq f(112,9)，|PQ|的最大值為eq f(4r(7),3).探究提高圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值6(13分)(2012新課標(biāo)全國(guó))設(shè)拋物線C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)

15、線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)(1)若BFD90，ABD的面積為4 eq r(2)，求p的值及圓F的方程；(2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值解(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形，|BD|2p，圓F的半徑|FA|eq r(2)p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA| eq r(2)p.因?yàn)锳BD的面積為4 eq r(2)，所以eq f(1,2)|BD|d4 eq r(2)，即eq f(1,2)2p eq r(2)p4 eq r(2)，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2(y1)28.(2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|eq f(1,2)|AB|.所以ABD30，m的斜率為eq f(r(3),3)或eq f(