數(shù)值分析習題集1

1、數(shù)值分析習題集（合適課程數(shù)值方法A和數(shù)值方法B）長沙理工大學第一章緒論設(shè)x0,x的相對偏差為,求lnx的偏差.設(shè)x的相對偏差為2,求xn的相對偏差.3.以下各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入獲取的近似數(shù),即偏差限不超出最后一位的半個單位,試指出它們是幾位有效數(shù)字:x1*1.1021,x2*0.031,x3*385.6,x4*56.430,x5*71.0.4.利用公式(3.3)求以下各近似值的偏差限:(i)x1*x2*x4*,(ii)x1*x2*x3*,(iii)x2*/x4*,此中x1*,x2*,x3*,x4*均為第3題所給的數(shù).5.計算球體積要使相對偏差限為1,問胸襟半徑R時同意的相對偏差限是多少?6.設(shè)

2、Y028,按遞推公式1YnYn1100783(n=1,2,)計算到Y(jié)100.若取78327.982(五位有效數(shù)字),試問計算Y100將有多大偏差?7.求方程x256x10的兩個根,使它最少擁有四位有效數(shù)字(78327.982).18.當N充分大時,如何求N1x2dx?9.正方形的邊長大體為100,應(yīng)如何丈量才能使其面積偏差不超出21?S1gt210.設(shè)2假設(shè)g是正確的,而對t的丈量有0.1秒的偏差,證明當t增添時S的絕對偏差增添,而相對偏差卻減小.11.序列yn滿足遞推關(guān)系yn10yn11(n=1,2,),若y021.41(三位有效數(shù)字),計算到y(tǒng)10時偏差有多大?這個計算過程穩(wěn)固嗎?12.計

3、算f(21)6,取21.4,利用以下等式計算,哪一個獲取的結(jié)果最好?(16,(322)3,12)3,99702.21)(3213.f(x)ln(xx21),求f(30)的值.若開平方用六位函數(shù)表,問求對數(shù)時偏差有多大?若1/53word.改用另一等價公式ln(xx21)ln(xx21)計算,求對數(shù)時偏差有多大?x11010 x21010;14.試用消元法解方程組x1x22.假設(shè)只用三位數(shù)計算,問結(jié)果能否靠譜?s1absinc,0c2,且丈量a,b,c的偏差分別為15.已知三角形面積2此中c為弧度,a,b,c.證明面積的偏差s滿足sabc.sabc第二章插值法1.依據(jù)(2.2)定義的范德蒙行列式

4、,令1x0 x2xn00Vn(x)Vn(x0,x1,xn1,x)1xn1xn21xnn11xx2xn證明Vn(x)是n次多項式,它的根是x0,xn1,且Vn(x)Vn1(x0,x1,xn1)(xx0)(xxn1).2.當x=1,-1,2時,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多項式.3.給出f(x)=lnx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計算ln0.54的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444.給出cosx,0 x90的函數(shù)表,步長h=1=(1/60),若函數(shù)表擁有5位有效數(shù)字,研究用線性插

5、值求cosx近似值時的總偏差界.5.設(shè)xkx0kh,k=0,1,2,3,maxl2(x)求x0 xx3.設(shè)xj為互異節(jié)點(j=0,1,n),求證:nxjkljxk(k0,1,(x),n);i)j0nx)klj(x)(xjk1,2,n).ii)j01(b7.設(shè)f(x)C2a,b且f(a)f(b)0,求證maxf(x)a)2maxf(x).axb8axb8.在4x4上給出f(x)ex的等距節(jié)點函數(shù)表,若用二次插值求ex的近似值,要使截斷偏差不超出106,問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少?9.若yn2n,求4yn及4yn.10.假如f(x)是m次多項式,記f(x)f(xh)f(x),證明f(x)的k階差

6、分2/53word.kf(x)(0km)是mk次多項式,而且mlf(x)0(l為正整數(shù)).11.證明(fkgk)fkgkgk1fk.n1n1fkgkfngnf0g0gk1fk.12.證明k0k0n12yjyny0.13.證明j014.若f(x)a0a1xan1xn1anxn有n個不一樣實根x1,x2,nkxj0,0kn2;j1f(xj)an1,kn1.證明n階均差有以下性質(zhì):i)若F(x)cf(x),則Fx0,x1,xncfx0,x1,xn;ii)若F(x)f(x)g(x),則Fx0,x1,xnfx0,x1,xn16.f(x)x7x43x1,求f20,21,27及f20,21,28xn,證明g

7、x0,x1,xn.證明兩點三次埃爾米特插值余項是R3(x)f(4)()(xxk)2(xxk1)2/4!,(xk,xk1)并由此求出分段三次埃爾米特插值的偏差限.18.求一個次數(shù)不高于4次的多項式P(x),使它滿足P(0)P(k1)并由此求出分段三次埃爾米特插值的偏差限.試求出一個最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項式P(x),以便使它可以滿足以下界限條件P(0)P(0)0,P(1)P(1)1,P(2)1.20.設(shè)f(x)Ca,b,把a,b分為n均分,試構(gòu)造一個臺階形的零次分段插值函數(shù)n(x)并證明當n時,n(x)在a,b上一致收斂到f(x).21.設(shè)f(x)1/(1x2),在5x5上取n10,按等距節(jié)

8、點求分段線性插值函數(shù)Ih(x),計算各節(jié)點間中點處的Ih(x)與f(x)的值,并預(yù)計偏差.22.求f(x)x2在a,b上的分段線性插值函數(shù)Ih(x),并預(yù)計偏差.23.求f(x)x4在a,b上的分段埃爾米特插值,并預(yù)計偏差.給定數(shù)據(jù)表以下:xj0.250.300.390.450.53yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值S(x)并滿足條件i)S(0.25)1.0000,S(0.53)0.6868;S(0.25)S(0.53)0.若f(x)C2a,b,S(x)是三次樣條函數(shù),證明3/53word.b2b2bf(x)S(x)2bf(x)S(x)dxi)f(

9、x)dxS(x)dxdx2S(x)aaaa;ii)若f(xi)S(xi)(i0,1,n),式中xi為插值節(jié)點,且ax0 x1xnb,則bf(x)S(x)dxS(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)S(x).a26.編出計算三次樣條函數(shù)S(x)系數(shù)及其在插值節(jié)點中點的值的程序框圖(S(x)可用(8.7)式的表達式).第三章函數(shù)迫近與計算(a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為a,b的伯恩斯坦多項式.(b)對f(x)sinx在0,/2上求1次和三次伯恩斯坦多項式并畫出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級數(shù)部分和偏差做比較.2.求證:(a)當mf(x)M時,mBn(f,x)M.(b)當f(x)x時,Bn(f,x)

10、x.3.在次數(shù)不超出6的多項式中,求f(x)sin4x在0,2的最正確一致迫近多項式.4.假設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),求f(x)的零次最正確一致迫近多項式.5.maxx3ax采納常數(shù)a,使0 x1達到極小,又問這個解能否獨一?6.求f(x)sinx在0,/2上的最正確一次迫近多項式,并預(yù)計偏差.7.求f(x)ex在0,1上的最正確一次迫近多項式.8.如何采納r,使p(x)x2r在1,1上與零偏差最小?r能否獨一?9.設(shè)f(x)x43x31,在0,1上求三次最正確迫近多項式.10.令Tn(x)Tn(2x1),x0,1,求T0*(x),T1*(x),T2*(x),T3(x).試證Tn*(x)是在0

11、,1上帶權(quán)111.xx2的正交多項式.12.在1,1上利用插值極小化求1f(x)tg1x的三次近似最正確迫近多項式.13.設(shè)f(x)ex在1,1上的插值極小化近似最正確迫近多項式為Ln(x),若fLn有界,證明對任何n1,存在常數(shù)n、n,使nTn1(x)f(x)Ln(x)nTn1(x)(1x1).1,1上(x)11x1x23x315x4165x514.設(shè)在28243843840,試將(x)降低到3次多項式并預(yù)計偏差.15.在1,1上利用冪級數(shù)項數(shù)求f(x)sinx的3次迫近多項式,使偏差不超出0.005.16.f(x)是a,a上的連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明無論n是奇數(shù)或偶數(shù),f(x)的最正確迫近多

12、項式Fn*(x)Hn也是奇(偶)函數(shù).4/53word.22axbsinxdx為最小.并與117.求a、b使0題及6題的一次迫近多項式偏差作比較.18.f(x)、g(x)C1a,b,定義(a)(f,g)bbf(x)g(x)dx;(b)(f,g)f(x)g(x)dxf(a)g(a);aa問它們能否構(gòu)成內(nèi)積?x6dx19.用許瓦茲不等式(4.5)預(yù)計01x的上界,并用積分中值定理預(yù)計同一積分的上下界,并比較其結(jié)果.1ax2)2dx,1ax2dx20.選擇a,使以下積分獲得最小值:(xx11.21.設(shè)空間span1,x,2spanx100,x1011、2上求出一個元素,使得其為,分別在x2C0,1的

13、最正確平方迫近,并比較其結(jié)果.22.f(x)x在1,1上,求在1span1,x2,x4上的最正確平方迫近.un(x)sin(n1)arccosx23.1x2是第二類切比雪夫多項式,證明它有遞推關(guān)系un1x2xunxun1x.f(x)sin1x1,1上按勒讓德多項式及切比雪夫多項式睜開24.將2在,求三次最正確平方逼近多項式并畫出偏差圖形,再計算均方偏差.25.把f(x)arccosx在1,1上展成切比雪夫級數(shù).26.用最小二乘法求一個形如yabx2的經(jīng)驗公式,使它與以下數(shù)據(jù)擬合,并求均方偏差.1925313844xi19.032.349.073.397.8yi觀察物體的直線運動,得出以下數(shù)據(jù):

14、時間t(秒)00.91.93.03.95.0距離s(米)010305080110求運動方程.在某化學反應(yīng)里,依據(jù)實驗所得分解物的濃度與時間關(guān)系以下:時間0510152025303540455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘擬合求yf(t).29.編出用正交多項式做最小二乘擬合的程序框圖.編出改進FFT算法的程序框圖.31.現(xiàn)給出一張記錄xk4,3,2,1,0,1,2,3,試用改進FFT算法求出序列xk的失散頻譜Ck(k0,1,7).第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分5/53word.確立以下求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡

15、量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所擁有的代數(shù)精度:hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)(1)h;2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)(2)2h;1f(x)dxf(1)2f(x1)3f(x2)/3(3)1;hf(x)dxhf(0)f(h)/1ah2f(0)f(h)(4)0.2.分別用梯形公式和辛普森公式計算以下積分:x11x1(1e)2(1)04x2dx,n8;(2)0 xdx,n10;9xdx,n46sin2dx,n6(3)(4)1;0.直接考據(jù)柯特斯公式(2.4)擁有5次代數(shù)精度.1exdx并計算偏差.4.用辛普森公式求積分05.推導(dǎo)以下三種矩形求積公式:b(ba

16、)f(a)f()(ba)2f(x)dx(1)a2;b(ba)f(b)f()(ba)2f(x)dx(2)a2;f(x)dx(ba)f(ab)f()(ba)3b(3)a224.b6.證明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)當n時收斂到積分f(x)dxa.bf(x)dx7.用復(fù)化梯形公式求積分a,問要將積分區(qū)間a,b分成多少均分,才能保證偏差不超出(設(shè)不計舍入偏差)?21exdx8.0,要求偏差不超出105用龍貝格方法計算積分.Sa21(c)2sin2d9.衛(wèi)星軌道是一個橢圓,橢圓周長的計算公式是0a,這里a是橢圓的半長軸,c是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記h為近地址距離,H為遠地址

17、距離,R6371公里為地球半徑,則a(2RHh)/2,c(Hh)/2.我國第一顆人造衛(wèi)星近地址距離h439公里,遠地址距離H2384公里,試求衛(wèi)星軌道的周長.35nsin3!n25!n4試依照nsin(/n)(n3,6,12)的值,用外計算10.證明等式n法求的近似值.dy用以下方法計算積分1y并比較結(jié)果.龍貝格方法;6/53word.三點及五點高斯公式;將積分區(qū)間分為四均分,用復(fù)化兩點高斯公式.f(x)1(1x)2在x12.用三點公式和五點公式分別求1.0,1.1和1.2處的導(dǎo)數(shù)值,并預(yù)計誤差.f(x)的值由下表給出:x1.01.11.21.31.4f(x)0.25000.22680.206

18、60.18900.1736第五章常微分方程數(shù)值解法1.就初值問題yaxb,y(0)0分別導(dǎo)出尤拉方法和改進的尤拉方法的近似解的表達y1ax2bx式，并與正確解2對比較。用改進的尤拉方法解初值問題xy,0 x1;y(0)1,取步長h=0.1計算，并與正確解yx12ex對比較。用改進的尤拉方法解yx2xy;y(0)0,取步長h=0.1計算y(0.5)，并與正確解yexx2x1對比較。4.用梯形方法解初值問題yy0;y(0)1,證明其近似解為2nynh,2h并證明當h0時，它原初值問題的正確解yex。利用尤拉方法計算積分xet2dt0在點x0.5,1,1.5,2的近似值。取h=0.2，用四階經(jīng)典的龍

19、格庫塔方法求解以下初值問題：1）2）xy,0 x1;y(0)1,y3y/(1x),0 x1;y(0)1.7.證明對任意參數(shù)t，以下龍格庫塔公式是二階的：7/53word.yn1ynh(K2K3);2K1f(xn,yn);K2f(xnth,ynthK1);K3f(xn(1t)h,yn(1t)hK1).證明以下兩種龍格庫塔方法是三階的：yn1ynh(K13K3);4K1f(xn,yn);K2f(xnh,ynhK1);33K3f(xn22h,ynhK2);1）33yn1ynh(2K13K24K3);9K1f(xn,yn);K2f(xnh,ynhK1);22K3f(xn332).h,ynhK2）44分

20、別用二階顯式亞當姆斯方法和二階隱式亞當姆斯方法解以下初值問題：y1y,y(0)0,取h0.2,y00,y10.181,計算y(1.0)并與正確解y1ex對比較。證明解yf(x,y)的以下差分公式1hyn1(ynyn1)(4yn1yn3yn1)24是二階的，并求出截斷偏差的首項。導(dǎo)出擁有以下形式的三階方法：yn1a0yna1yn1a2yn2h(b0ynb1yn1b2yn2).將以下方程化為一階方程組：y3y2y0,1）y(0)1,y(0)1;y0.1(1y2)yy0,2）y(0)x(t)3）x(0)1,y(0)0;x3,y(t)y3,rx2y2,rr0.4,x(0)0,y(0)0,y(0)2.取

21、h=0.25，用差分方法解邊值問題yy0;y(0)0,y(1)1.68.14.對方程yf(x,y)可建立差分公式8/53word.yn12ynyn1h2f(xn,yn),試用這一公式求解初值問題y1;y(0)y(1)0,考據(jù)計算解恒等于正確解y(x)x2x.15.取h=0.2用差分方法解邊值問題2(1x2)yxy3y6x3;y(0)y(0)1,y(1)2.第六章方程求根1.用二分法求方程x2x10的正根，要求偏差0.05。2.用比率求根法求f(x)1xsinx0在區(qū)間0,1內(nèi)的一個根，直到近似根xk滿足精度|f(xk)|0.005時停止計算。3.為求方程x3x210在x01.5周邊的一個根，設(shè)

22、將方程改寫成以下等價形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1）x11/x2，迭代公式xk111/xk2；2）x31x2，迭代公式xk131xk2；x211，迭代公式xk11/xk1。3）x試分析每種迭代公式的收斂性，并采納一種公式求出擁有四位有效數(shù)字的近似根。比較求ex10 x20的根到三位小數(shù)所需的計算量；1）在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法；2)用迭代法xk1(2exk)/10，取初值x00。5.給定函數(shù)f(x)，設(shè)對全部x,f(x)存在且0mf(x)M，證明關(guān)于范圍內(nèi)02/M的任意定數(shù)，迭代過程xk1xkf(xk)均收斂于f(x)的根x。6.已知x(x)在區(qū)間a,b內(nèi)只有一根，而當axb時，|(x)|k1，

23、試問如何將x(x)化為適于迭代的形式？將xtgx化為適于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）周邊的根。7.用以下方法求f(x)x33x10在x02周邊的根。根的正確值x1.87938524，要求計算結(jié)果正確到四位有效數(shù)字。1)用牛頓法；2）用弦截法，取x01,x11.9；3）用拋物線法，取x01,x13,x22。8.用二分法和牛頓法求xtgx0的最小正根。9/53word.9.研究求a的牛頓公式xk11(xka),x00,2xk證明對全部k1,2,xka且序列x1,x2,是遞減的。10.關(guān)于f(x)0的牛頓公式xk1xkf(xk)/f(xk)，證明Rk(xkxk1)/(xk1xk2)2收斂到f(

24、x)/(2f(x)，這里x為f(x)0的根。試就以下函數(shù)談?wù)撆ｎD法的收斂性和收斂速度：x,x0;f(x)x,x0;1)3x2,x0;f(x)x23,x0.2)12.應(yīng)用牛頓法于方程x2a0，導(dǎo)出求立方根3a的迭代公式，并談?wù)撈涫諗啃?。f(x)1a0 x2a的迭代公式，并用此公式求115的13.應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求值。0和f(x)a14.應(yīng)用牛頓法于方程f(x)xna1xn0，分別導(dǎo)出求na的迭代公式，并求lim(naxk1)/(naxk)2.k證明迭代公式xk1xk(xk23a)3xk2a是計算a的三階方法。假設(shè)初值x0充分湊近根x，求lim(axk1)/(axk)3.k第七章解線性方程組

25、的直接方法1.考慮方程組：0.4096x10.1234x20.3678x30.2943x40.4043;0.2246x10.3872x20.4015x30.1129x40.1550;0.3645x10.1920 x20.3781x30.0643x40.4240;0.1784x10.4002x20.2786x30.3927x40.2557;(a)用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計算），(b)用列主元消去法解上述方程組而且與(a)比較結(jié)果。2.(a)設(shè)A是對稱陣且a110，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為10/53word.a11a1T0A2證明A2是對稱矩陣。(b)用高斯消去法解對稱方程組：0.

26、6428x10.3475x20.8468x30.4127;0.3475x11.8423x20.4759x31.7321;0.8468x10.4759x21.2147x30.8621.4.設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式A=LU，此中L為單位下三角陣，U為上三角陣，求證A的所有序次主子式均不為零。由高斯消去法說明當為上三角陣。i0(i1,2,n1)時，則A=LU，此中L為單位下三角陣，Un|aii|aij|(i1,2,n),j1稱A為對角優(yōu)勢陣。證明：若A6.設(shè)A為n階矩陣，假如ji是對角優(yōu)勢陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A擁有形式a11a1T0A2。7.設(shè)A是對稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約

27、化為a11a1T0A2，此中A(aij)n,A2(aij(2)n1;證明（1）A的對角元素aii0(i1,2,n);（2）A2是對稱正定矩陣；（3）an(n)aii,(i1,2,n);（4）A的絕對值最大的元素必在對角線上；max|aij(2)|max|aij|;（5）2i,jn2i,jn（6）從（2），（3），（5）推出，假如|aij|1，則對所有k|aij(k)|1.設(shè)Lk為指標為k的初等下三角陣，即1Lk1mk1,k1mnk1（除第k列對角元下元素外，和單位陣I相同）求證當i,jIijLkIij也是一個指標為k的初等下三角陣，此中Iij為初等排k時，Lk列陣。9.試推導(dǎo)矩陣A的Crout

28、分解A=LU的計算公式，此中L為下三角陣，U為單位上三角陣。11/53word.10.設(shè)Uxd，此中U為三角矩陣。就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫出算法。計算解三角形方程組Uxd的乘除法次數(shù)。設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求U1的計算公式。11.證明（a）假如A是對稱正定陣，則A1也是正定陣；（b）假如A是對稱正定陣，則A可獨一寫成ALTL,此中L是擁有正對角元的下三角陣。12.用高斯約當方法求A的逆陣：21313107A24211015用追趕法解三對角方程組Axb，此中210001121000A01210,b0001210000120用改進的平方根法解方程組211x14123x25.13

29、1x36下述矩陣能否分解為LU（此中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解能否獨一？123111126A241,B221,C2515.46733161546試劃出部分選主元素三角分解法框圖，而且用此法解方程組034x11111x22212x33.17.假如方陣A有aij0(|ij|t)，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分解條件，試推導(dǎo)ALU的計算公式，對r1,2,n.r1uriarilrkuki(ir,r1,min(n,rt)；1）kmax(1,it)r1lir(airlikukr)/urr(ir1,min(n,rt).2）kmax(1,it)18.設(shè)0.60.5A0

30、.10.3，12/53word.計算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。求證(a)|x|x|1n|x|，1|A|F|A|2c2|A|F(b)n。20.設(shè)PRnn且非奇異，又設(shè)|x|為Rn上一直量范數(shù)，定義|x|p|Px|。試證明|x|p是Rn上的一種向量范數(shù)。設(shè)ARnn為對稱正定陣，定義|x|A(Ax,x)1/2，試證明|x|A為Rn上向量的一種范數(shù)。22.設(shè)xRn,x(x1x2,xn)T，求證n|xi|p)1/plim(maxxi|x|yi11in。23.證明：當且盡當x和y線性相關(guān)且xTy0時，才有|xy|2|x|2|y|2。分別描述R2中（畫圖）Svx|x|v1,xR2,(v1,2,

31、)。25.令是Rn（或Cn）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)|x|Px|，證明|A|PAP1|。26.設(shè)|A|s,|A|t為Rnn上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)c1,c20，使對全部Rnn滿足c1|A|s|A|tc2|A|s27.設(shè)ARnn，求證ATA與AAT特色值相等，即求證(ATA)(AAT)。28.設(shè)A為非奇異矩陣，求證1min|A|A1|y|y0。29.設(shè)A為非奇異矩陣，且|A1|A|1，求證(AA)1存在且有預(yù)計|A1(AA)1|cond(A)|A|A|A1|.1cond(A)A|A|矩陣第一行乘以一數(shù)，成為2A11。2證明當3時，cond(A)有最小

32、值。13/53word.31.設(shè)A為對稱正定矩陣，且其分解為ALDLTWTW，此中WD1/2LT，求證(a)cond(A)2cond()22;(b)cond(A2)cond(T)2cond()2.設(shè)10099A9998計算A的條件數(shù)。cond(A)v(v2,)證明：假如A是正交陣，則cond(A)21。34.設(shè)A,BRnn且為上矩陣的算子范數(shù)，證明cond(AB)cond(A)cond(B)。第八章解方程組的迭代法設(shè)方程組5x12x2x312x14x22x3202x13x210 x33觀察用雅可比迭代法,高斯-塞德爾迭代法解此方程組的收斂性;(b)用雅可比迭代法,高斯-塞德爾迭代法解此方程組,

33、要求當|x(k1)x(k)|104時迭代停止00A,證明:即使|A|1|A|1級數(shù)IAA22.設(shè)20Ak也收斂3.證明關(guān)于任意選擇的A,序列I,A,1A2,1A3,1A4,收斂于零23!4!.設(shè)方程組a11x1a12x2b1;a21x1a22x2b2;(a11,a120);迭代公式為x1(k)1(b1a12x2(k1);a11x2(k)1(b2a21x1(k1);1,2,).a22(k求證:由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列x(k)收斂的充要條件是ra12a211.a11a225.設(shè)方程組14/53word.x10.4x20.4x31x12x22x310.4x1x20.8x32x1x2x31(a)0

34、.4x10.8x2x33(b)2x12x2x31-塞德爾迭代法的收斂性。試觀察解此方程組的雅可比迭代法及高斯6.limAkA的充要條件是對任何向量x，都有求證klimAkxAx.k7.設(shè)Axb，此中A對稱正定，問解此方程組的雅可比迭代法能否必定收斂？試觀察習題5(a)方程組。8.設(shè)方程組x11x31x41;442x21x31x41;4421x11x2x31;4421x11x2x41.442求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣B0的譜半徑；求解此方程組的高斯塞德爾迭代法的迭代矩陣的譜半徑；觀察解此方程組的雅可比迭代法及高斯塞德爾迭代法的收斂性。9.用SOR方法解方程組（分別取廢弛因子1.03,1

35、,1.1）4x1x21;x14x2x34;x24x33.精確解x(1,1,1)T,要求當|xx(k)|510622時迭代停止，而且對每一個值確立迭代次數(shù)。10.用SOR方法解方程組（取0.9）5x12x2x312;x14x22x320;2x13x210 x33.要求當|x(k1)x(k)|104時迭代停止。11.設(shè)有方程組Axb，此中A為對稱正定陣，迭代公式x(k1)x(k)(bAx(k),(k0,1,2,)020(A)試證明當時上述迭代法收斂（此中）。12.用高斯塞德爾方法解Axb，用xi(k1)記x(k1)的第i個重量，且i1nri(k1)biaijx(jk1)aijxi(k)j1ji。1

36、5/53word.xi(k1)xi(k)ri(k1)(a)證明ai；(b)假如(k)x(k)x，此中x是方程組的精確解，求證：(k1)(k)ri(k1)iiaiii1nri(k1)(k1)aij(k)aijji此中j1ji。設(shè)A是對稱的，二次型Q(k)(A(k),(k)n(rj(k1)2Q(k1)Q(k)ajj。證明j1(d)由此推出，假如A是擁有正對角元素的非奇異矩陣，且高斯塞德爾方法對任意初始向量x(0)是收斂的，則A是正定陣。設(shè)A與B為n階矩陣，A為非奇異，考慮解方程組Az1Bz2b1,Bz1Az2b2,此中z1,z2,d1,d2Rn。找出以下迭代方法收斂的充要條件Az1(m1)b1Bz

37、2(m),Az2(m1)b2Bz1(m)(m0);找出以下迭代方法收斂的充要條件Az1(m1)b1Bz(2m),Az2(m1)b2Bz1(m1)(m0);比較兩個方法的收斂速度。證明矩陣1aaAa1aaa11111a2a關(guān)于2是正定的，而雅可比迭代只對2是收斂的。5123A0204312115.設(shè)0307，試說明A為可約矩陣。16.給定迭代過程，x(k1)Cx(k)g，此中CRnn(k0,1,2,)，試證明：假如C的特色值i(C)0(i1,2,)，則迭代過程最多迭代n次收斂于方程組的解。畫出SOR迭代法的框圖。18.設(shè)A為不行約弱對角優(yōu)勢陣且01，求證：解Axb的SOR方法收斂。設(shè)Axb，此中

38、A為非奇異陣。求證ATA為對稱正定陣；(b)求證cond(ATA)2(cond(A)2)2。16/53word.第九章矩陣的特色值與特色向量計算用冪法計算以下矩陣的主特色值及對應(yīng)的特色向量：732343A1341A2463(a)213,(b)331,當特色值有3位小數(shù)穩(wěn)準時迭代停止。2.方陣T分塊形式為T11T12T1nTT22T2nTnn,此中Tii(i1,2,n)為方陣，T稱為塊上三角陣，假如對角塊的階數(shù)至多不超出2，則稱T為準三角形形式，用(T)記矩陣T的特色值會集，證明n(T)(Tii).i13.利用反冪法求矩陣621231111的最湊近于6的特色值及對應(yīng)的特色向量。求矩陣400031

39、013與特色值4對應(yīng)的特色向量。5.用雅可比方法計算1.01.00.5A1.01.00.250.50.252.0的所有特色值及特色向量，用此計算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。6.(a)設(shè)A是對稱矩陣，和x(|x|21)是A的一個特色值及相應(yīng)的特色向量，又設(shè)P為一個正交陣，使Pxe1(1,0,0)T證明BPAPT的第一行和第一列除了外其他元素均為零。(b)關(guān)于矩陣2102A10582811,17/53word.2,1,2Tx=9是其特色值，333是相應(yīng)于9的特色向量，試求一初等反射陣Pxe1，并計算BPAPT。7.利用初等反射陣將134A312421正交相似約化為對稱三對角陣。8.設(shè)ARnn，且

40、ai1,aj1不全為零，Pij為使a(j12)0的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計算行，第j行元素公式及APijT第i列，第j列元素的計算公式。9.設(shè)An1是由豪斯荷爾德方法獲取的矩陣，又設(shè)y是An1的一個特色向量。(a)證明矩陣A對應(yīng)的特色向量是xP1P2Pn2y；(b)關(guān)于給出的y應(yīng)如何計算x？用帶位移的QR方法計算120310A211B121(a)013,(b)011所有特色值。11.試用初等反射陣A分解為QR，此中Q為正交陣，R為上三角陣，111A211245。P，使PijA第i數(shù)值分析習題簡答（合適課程數(shù)值方法A和數(shù)值方法B）長沙理工大學第一章緒論習題參照答案18/53word.(x*)1（ln

41、x）x*23。r(xn)(xn)nx*nx*n1(x*)n(x*)0.02nx*nx*。x1*有5位有效數(shù)字，x*2有2位有效數(shù)字，x3*有4位有效數(shù)字，x*4有5位有效*數(shù)字，x5有2位有效數(shù)字。4(x1*x2*x4*)(x1*)(x2*)(x4*)0.51040.51030.51031.05103(x1*x2*x3*)x2*x3*(x1*)x1*x3*(x2*)x1*x2*(x3*)0.214790825(x2*)1(x2*)x2*(x4*)8.855668106*2x4x4x4。r(R)r(33V)31(V)/33V1(V)1r(V)0.0033335436V243V3。6(Y100)1

42、0011103110310022。x228783110.017867x12878355.982，2878355.982。1dx2arctgN8N1x21(x)(S)1S2(S)0.00592。r(S)gt(t)2(t)0.212tt10(S)gt(t)0.1gtgt，故t增添時S的，2絕對偏差增添，相對偏差減小。11(y10)1010(y0)11082，計算過程不穩(wěn)固。12f(21)60.005051，假如令21.4，則f1(21)60.004096，f210.0052332)30.008，f410.005125(21)6，f3(32(322)3，f5997021，f4的結(jié)果最好。13f(30

43、)4.094622，開平方時用六位函數(shù)表計算所得的偏差為1104f1(x)ln(xx21),f2(x)ln(xx21)2，分別代入等價公式中計算可得(f1)ln(1x2)x2(xx21)6011043103x1x12，19/53word.(f2)ln(1x2)x111048.33107x1x21602。x110000000009999999981.00000014方程組的真解為1.000000,x2999999999999999999，而無論用方程一還是方程二代入消元均解得x11.00,x21.00，結(jié)果十分可靠。tanccsbsincaasincbabcosccabcsabsincabc15

44、第二章插值法習題參照答案n11.L2(x)0(x2.(15x26Vn(x)(xxi)(xixj)i00jin1；Vn1(x0,x1,xn1)(xixj)0jin1.1)(x2)(3)(x1)(x2)4(x1)(x1)1)(12)(11)(12)(21)(21)x73.3.線性插值：取x00.5,x10.6,y00.693147,y10.510826，則ln0.54L1(0.54)y0y1y0(0.54x0)0.620219x1x0；二次插值：取x00.4,x10.5,x20.6,y00.916291,y10.693147,y20.510826，則ln0.54L2(0.54)(0.54x1)(0

45、.54x2)y1(0.54x0)(0.54x2)y2(0.54x0)(0.54x1)y0(x0 x1)(x0 x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)0.616707.1x1)，此中4.R1(x)f(x)L1(x)2f()(xx0)(xx0,x1.|R1(x)|1max|cos(x)|max|(xx0)(xx1)|所以總偏差界2x0 xx1x0 xx111(x1x0)21121.0610824860180.l2(x)(xx0)(xx1)(xx3)5.(x2x0)(x2x1)(x2x3)xx047h當3時，獲得最大值max|l2(x)|1077x0 xx327.20/53word.

46、6.i)對f(x)xk,(k0,1,n)在x0,x1,xn處進行n次拉格朗日插值，則有xkPn(x)Rn(x)n1lj(x)xkj(nf(n1)()(xx0)(xxn)i01)!n(x)xkjxk.因為f(n1)()0，故有i0ljii)構(gòu)造函數(shù)g(x)(xt)k,在x0,x1,xn處進行n次拉格朗日插值，有nLn(x)(xjt)klj(x)i0.(xt)kLn(x)g(n1)()n(xxj)插值余項為(n1)!j0，因為g(n1)()0,(k1,2,n).故有(xt)knt)klj(x).Ln(x)(xji0nt)klj(x)0令tx,即得i(xj0.以a,b兩點為插值節(jié)點作f(x)的一次插

47、值多項式L1(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba，f(x)L1(x)1()(xa)(xb),a,b據(jù)余項定理，f2，因為f(a)f(b)0,故|f(x)L1(x)|f(x)|1max|f(x)|max|(xa)(xb)|1(ba)2max|f(x)|.2axbaxb8axb8.截斷偏差R2(x)1e(xx0)(xx1)(xx2),4,4.6此中x0 x1h,x2x1h,則xx13h3時獲得最大值max|(xx0)(xx1)(xx2)|23h34x49.由題意，|R2(x)|1e4(23h3)106,69所以，h0.006.9.yn2n12n,2yn(2n22n1)(2n12n)2n,則可

48、得4yn2(2yn)2n.yn2n1/22n1/2，2yn(2n12n)(2n2n1)2n1，則可得4yn2(2yn)2n2.數(shù)學歸納法證21/53word.當k1時，f(x)f(xh)f(x)為m1次多項式；假設(shè)kf(x)(0km)是m-k次多項式，設(shè)為g(x)，則k1f(x)g(xh)g(x)為m-(k+1)次多項式，得證。11.右fk(gk1gk)gk1(fk1fk)fk1gk1fkgk左n112.fkgkf0g1f0g0f1g2f1g1fn1gnfn1gn1,k0n1gk1fkf1g1f0g1f2g2f1g2fngnfn1gn.k0n1yj13.j0(y2y1)(y1y0)(y3y2)

49、(y2y1)(yn1yn)(ynyn1)(yn1yn)(y1y0)yny0.因為x1,x2,xn是f(x)的n個互異的零點，所以f(x)a0(xx1)(xx2)(xxn)nna0(xxi)a0(xxj)(xxi),i1i1ij對f(x)求導(dǎo)得nnf(x)a0(xxi)(xxj)(xxi)i0i1ijij，nf(xj)a0(xjxi)則i1，ijnxkj1nxkj.j1f(xj)a0j1n(xjxi)i1ijg(n1)(x)0,0kn2,記gk(x)xk,則(n1)!,kn1.由以上兩式得nxkj1ngk(xj)1gkx1,x2,j1f(xj)a0j1na0(xjxi)i1ij1gk(n1)()

50、0,0kn2,a0(n1)!a01,kn1.nF(xj)Fx0,x1,xn15.i)j0(xjx0)(xjxj1)(xjxj1),xn(xjxn)22/53word.ncf(xj)cfx0,x1,xnj0(xjx0)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn).證明同上。16.f20,21,27f(7)()7!1;7!7!R3(xj)即xk,xk1均為(xj)R3(x)f20,21,28f(8)(7!p(xj)0,R3(xj)f(x的二重零點。因此有形式：)0.j)p(xj)0,jk,k1.作輔助函數(shù)(t)f(t)則(xk)0,(x)0,由羅爾定理，存在1R3(x)p(t)(xk1)(xk,x),

51、K(x)(xxk)2(xxk1)2.K(x)(txk)2(txk1)2.0,(xk)0,(xk1)0.2(x,xk1),使得(1)0,(2)0.近似再用三次羅爾定理，存在(1,2)(xk,xk1),使得(4)()0,又(4)(t)f(4)(t)4!K(x),可得K(x)f(4)()4!,即R3(x)f(4)()(xxk)2(xxk1)24!.,(xk,xk1).采納牛頓插值，作均差表：一階均差二階均差xif(xi)00111210-1/2又由所以p(x)p(x0)(xx0)fx0,x1(xx0)(xx1)fx0,x1,x2(ABx)(xx0)(xx1)(xx2)0 xx(x1)(1/2)(AB

52、x)x(x1)(x2)A31p(0)0,p(1)1,B,得44p(x)x2(x3)2.4hba,xkakh.19.記n則n(x)f(xi)xxi1f(xi1)xxi,xxi,xi1.xixi1xi1xi因為f(x)Ca,b，所以f(x)在a,b上一致連續(xù)。23/53word.ba當nN時，hn，此時有max|f(x)n(x)|maxmax|f(x)n(x)|axb0in1xixxi1maxmaxf(x)0in1xixxi1maxmaxf(x)0in1xixxi1maxmaxxi1xi10in1xixxi1xi1xf(xi)xi1xif(xi)xi1xxi1xixxxixixi1xixxif(x

53、i1)xi1xixxif(x)f(xi1)xixi1.由定義知當n時，n(x)在a,b上一致收斂于f(x)。Ih(x)在每個小區(qū)間xk,xk1上表示為Ih(x)xxk1fkxxkfk1,(xkxxk1).xkxk1xk1xk計算各值的C程序以下：#includestdio.h#includemath.hfloatf(floatx)return(1/(1+x*x);floatI(floatx,floata,floatb)return(x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b);voidmain()inti;floatx11,xc,xx;x0=-5;printf(x0=%fn

54、,x0);for(i=1;i=10;i+)xi=xi-1+1;printf(x%d=%fn,i,xi);for(i=0;i10;i+)xc=(xi+xi+1)/2;I(xc,xi,xi+1);printf(I%d=%fn,i+1,I(xc,xi,xi+1);for(i=0;i0，c2a2/a10，則對任意ARnn，均有不等式c1Asmaxa1Axa2xxs0sAxmaxxt0 xstAtmaxa2Axa1xtxs0sc2Ass。27若(AAT點即可得(ATA)，則x0,ATAxx,就有AAT(Ax)Ax，可推出)即(ATA)(AAT)，同理可以推出(AAT)(ATA)，綜合這兩(ATA)(AA

55、T)。11/maxA1xminxminAyA1x0A1xy28x0A1xy0。29A1AA1A1，則(IA1A)11/1A1A，故(AA)1存在，45/53word.A1(AA)1A1(IA1A)1A1AA1cond(A)AAAA1A11A1A1cond(A)AA。30cond(A)AA12/3時，cond(A)36，當時，cond(A)42/，當2/3時，cond(A)有最小值31(a)cond(A)2max/min(max(WTW)/min(WTW)2(b)(WTW)(WWT),cond(WT)2max(WTW)/min(WTW)cond(A)2cond(WT)2cond(W)2。，當2/

56、37。2cond(W)2，cond(W)2，32cond(A)2max/min39206.0，cond(A)AA139601。33cond(A)2max(ATA)max(AAT)maxImaxI1。34cond(AB)ABB1A1ABB1A1cond(A)cond(B)。第八章解線性方程組的迭代法習題參照答案1.(a)Jacobi迭代矩陣00.40.2BD1(LU)0.2500.50.20.30特色方程為|IB|30.210.0550特色根均小于1，Jacobi迭代法收斂。Gauss-Seidel迭代矩陣00.40.2G(DL)1U00.40.700.040.17特色方程為|IG|30.572

57、0.0960特色根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收斂。(b)Jacobi迭代格式為X(k1)BX(k)f1此中B如上，f1D1b(1.250.3)T，迭代18次得X3.99999642.99997391.9999999T，Gauss-Seidel迭代格式為X(k1)GX(k)f2此中G如上，f2(DL)1b(2.42.61.53)T，46/53word.迭代8次得X4.0000362.9999852.000003T。A002.證：20，則A20,故Ak0(k2,3,4,)，IAA2AkIA1021所以即級數(shù)收斂。證：設(shè)|A|a，limAn0一方面，nn!，Anlim|An|lim|A|nlimnn!nn!nn!另一方面，limAn0所以nn!，即序列收斂于零。證：由已知迭代公式得迭代矩陣，anlim0n!G0a21a22a12a110|IG|2a12a210a11a22則特色多項式為a12a21解得a11a22，a12a21r向量序列x(k)收斂的充要條件是1，即a11a2