一階動態(tài)電路分析

1、一階動態(tài)電路分析第1頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 進(jìn)一步理解動態(tài)元件L、C的特性，并能熟練應(yīng)用于電路分析。 深刻理解零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)的含義，并掌握它們的分析計算方法 。 弄懂動態(tài)電路方程的建立及解法。 熟練掌握輸入為直流信號激勵下的一階電路的三要素分析法。第2頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六一階電路及其特征若電路中僅包含（或者能等效為僅含）一個動態(tài)元件，則電路必為一階電路。若電路中僅含有一種動態(tài)元件（電容或者電感），但數(shù)量在兩個以上，則要根據(jù)連接關(guān)系確定動態(tài)電路是否是一階電路。只含一種動態(tài)元件，且連接方式為簡

2、單的串聯(lián)或者并聯(lián)關(guān)系，則對應(yīng)的電路輸入方程輸出方程必為一階線性微分方程。第3頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 當(dāng)外加激勵為零,僅有動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電流和電壓,稱為動態(tài)電路的零輸入響應(yīng).圖5- 1-1 RC電路的零輸入1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)5.1 零 輸 入 響 應(yīng) 圖5-1-1 (a) 所示的電路中，在t0后，電路中無電源作用，電路的響應(yīng)均是由電容的初始儲能而產(chǎn)生，故屬于零輸入響應(yīng)。 5.1.1 RC電路的零輸入響應(yīng)第4頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六-uR+uc=0而uR=i R, ，代入上式可得

3、 上式是一階常系數(shù)齊次微分方程，其通解形式為 uc=Aept t0式式中A為待定的積分常數(shù)，可由初始條件確定。p為式對應(yīng)的特征方程的根。將式代入式可得特征方程為RCP+1=0式換路后由圖（b）可知，根據(jù)KVL有第5頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六從而解出特征根為 則通解 式將初始條件uc(0+)=R0IS代入3式，求出積分常數(shù)A為 將 代入式，得到滿足初始值的微分方程的通解為 式放電電流為 t0 t0 式第6頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六令=RC，它具有時間的量綱，即 故稱為時間常數(shù), 這樣、兩式可分別寫為 t0 t0由于為負(fù)，故uc和 i

4、 均按指數(shù)規(guī)律衰減，它們的最大值分別為初始值 uc(0+)=R0IS 及 當(dāng)t時，uc和 i 衰減到零。 第7頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六圖 RC 電路零輸入響應(yīng) 電壓電流波形圖 畫出uc及i的波形如下圖所示。 第8頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 由此可見，時間常數(shù)是表示放電快慢的物理量。時間常數(shù)越大，放電速度越慢；反之，則放電越快。 定性地看，時間常數(shù)與電阻R和電容C的取值呈正比。當(dāng)R增大時，放電電流減小，電容放電時間增長；當(dāng)C增大時，電容電壓相同的情況下存儲的電荷量增大，放電時間增長。第9頁，共49頁，2022年，5月20日，23點

5、39分，星期六5.1.2 RL電路的零輸入響應(yīng) 一階RL電路如圖5-1-2(a)所示，t=0- 時開關(guān)S閉合，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電感L相當(dāng)于短路，流過L的電流為I0。即 iL(0-)=I0，故電感儲存了磁能。在t=0時開關(guān)S打開，所以在t0時，電感L儲存的磁能將通過電阻R放電，在電路中產(chǎn)生電流和電壓，如圖5-1-2 (b)所示。由于t0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感L的初始儲能產(chǎn)生的，所以為零輸入響應(yīng)。圖5-1-2 RL電路的零輸入響應(yīng)第10頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六由圖 (b)，根據(jù)KVL有 uL+uR=0 將代入上式得 1式iL=Ae pt t0上式為一階

6、常系數(shù)齊次微分方程，其通解形式為 2式將2式代入1式，得特征方程為 LP+R=0 故特征根為 第11頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六則通解為 若令 ，是RL電路的時間常數(shù)，仍具有時間量綱，上式可寫為 t0t03式將初始條件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出積分常數(shù)A為 iL (0+)=A=I0這樣得到滿足初始條件的微分方程的通解為 t04式第12頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 電阻及電感的電壓分別是t0t0 分別作出 iL 、uR 和、uL的波形如圖5-3(a)、(b)所示。 第13頁，共49頁，2022年，5月20日

7、，23點39分，星期六圖5-3 RL 電路零輸入響應(yīng)iL、uR和 uL 的波形第14頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六由圖5-3可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分別為iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它們都是從各自的初始值開始，然后按同一指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零。衰減的快慢取決于時間常數(shù)，這與一階RC零輸入電路情況相同。 第15頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 從以上求得的RC和RL電路零輸入響應(yīng)進(jìn)一步分析可知，對于任意時間常數(shù)為非零有限值的一階電路，不僅電容電壓、電感電流，而且所有電壓、電流的零輸入

8、響應(yīng)，都是從它的初始值按指數(shù)規(guī)律衰減到零的。且同一電路中，所有的電壓、電流的時間常數(shù)相同。若用f (t)表示零輸入響應(yīng)，用f (0+)表示其初始值，則零輸入響應(yīng)可用以下通式表示為 t0 應(yīng)該注意的是: RC電路與RL電路的時間常數(shù)是不同的，前者=RC，后者=L/R。第16頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六一階電路零輸入響應(yīng)的簡化分析方法簡單RC和RL電路零輸入相應(yīng)歸納：RC電路：=RC，t 0+= LG ，t 0+RL電路：零輸入相應(yīng)=初始值第17頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六求解零輸入響應(yīng)的一般步驟：1.根據(jù)電路模型、元件屬性和原始狀態(tài)確定

9、待求電路變量的初始值。2.根據(jù)換路后的電路模型確定電路的時間常數(shù)。3.寫出零輸入響應(yīng)。（零輸入相應(yīng)=初始值 ）第18頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六例 1：如圖5-1 (a)所示電路，t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S打開。求t0時的電壓uc、uR和電流ic。解 由于在t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，在直流電源作用下，電容相當(dāng)于開路。圖 5-1 例 1 圖所以由換路定律，得 作出t=0+等效電路如圖(b)所示，第19頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六電容用4V電壓源代替，由圖(b)可知 換路后從電容兩端看進(jìn)去的等效電阻如圖 (C)所示，為：

10、 時間常數(shù)為第20頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六AVt0t0也可以由 求出 i C = -0.8e -t A t0 Vt0計算零輸入響應(yīng)，得第21頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 5.2 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 在激勵作用之前，電路的初始儲能為零僅由激勵引起的響應(yīng)叫零狀態(tài)響應(yīng)。5.2.1 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 圖5-2-1所示一階RC電路，電容先未充電，t=0時開關(guān)閉合，電路與激勵US 接通，試確定k閉合后電路中的響應(yīng)。 圖5-2-1 (a) R C電路的零狀態(tài)響應(yīng)在k閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t

11、=0+ 時電容相當(dāng)于短路，uR(0+)=US，故電容開始充電。隨著時間的推移，uC將逐漸升高，第22頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六uR則逐漸降低，iR（等于ic） 逐漸減小。當(dāng)t時，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，這時電容相當(dāng)于開路，充電電流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。由kVL uR+uc=US而uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc為變量的微分方程 t0 初始條件為 uC(0+)=0 1式 1式為一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是它相應(yīng)的齊次微分方程的通解uCh，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特解uCP，即 uc=uch

12、+ ucp 第23頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六將初始條件uc(0+)=0代入上式，得出積分常數(shù)A=-US，故 由于1式相應(yīng)的齊次微分方程與RC零輸入響應(yīng)式完全相同, 因此其通解應(yīng)為式中A為積分常數(shù)。特解ucp取決于激勵函數(shù)，當(dāng)激勵為常量時特解也為一常量，可設(shè)ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）為ucp =k=US第24頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六由于穩(wěn)態(tài)值 uc ()=US，故上式可寫成 t0 2式由2式可知，當(dāng)t=0時，uc(0)=0，當(dāng) t=時，uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零狀態(tài)響應(yīng)中，電容電壓上升到穩(wěn)態(tài)

13、值uc=()=US的63.2%所需的時間是。而當(dāng)t=45時，u c上升到其穩(wěn)態(tài)值US的98.17%99.3%，一般認(rèn)為充電過程即告結(jié)束。電路中其他響應(yīng)分別為t0 t0t0第25頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六根據(jù)uc、ic、iR及uR的表達(dá)式，畫出它們的波形如5-2-1 (b)、(c)所示，其變化規(guī)律與前面敘述的物理過程一致。圖5-2-1 (b)、(C) R C 電路零狀態(tài)響應(yīng) uc、ic、iR及uR波形圖第26頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六5.2.2 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖5-2-2 (a) 一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) 對于圖5-2-2(a

14、)所示的一階RL電路，US為直流電壓源，t0時，電感L中的電流為零。t=0時開關(guān)s閉合，電路與激勵US接通，在s閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有iL(0+)= iL(0-)=0, 選擇iL為首先求解的變量，由KVL有： uL+uR=US 將 , uR=RiL , 代入上式，可得初始條件為 iL (0+)=01式第27頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 1式也是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解iLh 和非齊次方程的特解iLP兩部分組成，即 iL=iLh+iLp其齊次方程的通解也應(yīng)為式中時間常數(shù)=L/R，與電路激勵無關(guān)。非齊次方程的特解與激勵的形式有關(guān)，由

15、于激勵為直流電壓源，故特解 iLP為常量，令iLP =K，代入1式得因此完全解為第28頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六代入t=0時的初始條件 iL(0+)=0得于是 由于iL的穩(wěn)態(tài)值 ，故上式可寫成： t0 電路中的其他響應(yīng)分別為 t0 第29頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六它們的波形如圖5-2-2 (b)、(c)所示。t0t0圖5-2-2 (b) (C) 一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)波形圖 第30頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 其物理過程是，S閉合后，iL(即 iR)從初始值零逐漸上升，uL從初始值 uL(0+)=U

16、S 逐漸下降，而uR從 uR(0+)=0逐漸上升，當(dāng) t=，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，這時L相當(dāng)于短路，iL()=USR，uL()= 0，uR()= US。從波形圖上可以直觀地看出各響應(yīng)的變化規(guī)律。 第31頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六RC電路零狀態(tài)響應(yīng)：RL電路零狀態(tài)響應(yīng)：一階電路零狀態(tài)響應(yīng)的簡化分析：第32頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 5.3 全 響 應(yīng) 由電路的初始狀態(tài)和外加激勵共同作用而產(chǎn)生的響應(yīng)，叫全響應(yīng)。 如圖5-3所示，設(shè) uC =uC(0-)=U0，S在t=0時閉合，顯然電路中的響應(yīng)屬于全響應(yīng)。 圖5-3 RC電路的全響應(yīng)第33頁，

17、共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六對t0的電路，以uC為求解變量可列出描述電路的微分方程為 1式與描述零狀態(tài)電路的微分方程式比較，僅只有初始條件不同，因此，其解答必具有類似的形式，即代入初始條件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US1式第34頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六從而得到 通過對1式分析可知，當(dāng)US=0時，即為RC零輸入電路的微分方程。而當(dāng)U0=0時，即為RC零狀態(tài)電路的微分方程。這一結(jié)果表明，零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都是全響應(yīng)的一種特殊情況。上式的全響應(yīng)公式可以有以下兩種分解方式。1、全響應(yīng)分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和。如2式中

18、第一項為齊次微分方程的通解，是按指數(shù)規(guī)律衰減的，稱暫態(tài)響應(yīng)或稱自由分量（固有分量）。2式中第二項US = uC()受輸入的制約，它是非齊次方程的特解，其解的形式一般與輸入信號形式相同，稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或強(qiáng)制分量。這樣有 全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 2式第35頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六2、全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。將2式改寫后可得： 3式等號右邊第一項為零輸入響應(yīng)，第二項為零狀態(tài)響應(yīng)。因為電路的激勵有兩種，一是外加的輸入信號，一是儲能元件的初始儲能，根據(jù)線性電路的疊加性，電路的響應(yīng)是兩種激勵各自所產(chǎn)生響應(yīng)的疊加，即 全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 3式第3

19、6頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六5.4 求解一階電路三要素法 如用 f (t) 表示電路的響應(yīng)，f (0+)表示該電壓或電流的初始值，f () 表示響應(yīng)的穩(wěn)定值， 表示電路的時間常數(shù)，則電路的響應(yīng)可表示為： 上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應(yīng)的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 稱為三要素，把按三要素公式求解響應(yīng)的方法稱為三要素法。 由于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)是全響應(yīng)的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應(yīng)，具有普遍適用性。 第37頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 用三要素法求解直流電源作用下一階

20、電路的響應(yīng)，其求解步驟如下： 一、 確定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一響應(yīng)在換路后瞬間t=0+ 時的數(shù)值，與本章前面所講的初始值的確定方法是一樣的。 先作t=0- 電路。確定換路前電路的狀態(tài) uC(0-)或iL(0-), 這個狀態(tài)即為t0階段的穩(wěn)定狀態(tài)，因此，此時電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替。 作t=0+ 電路。這是利用剛換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替，第38頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六圖3-16 電容、電感元件在t=0時的電路模型

21、L用電流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，則C用短路線代替，L視為開路?？捎脠D3-16說明。作t=0+ 電路后，即可按一般電阻性電路來求解各變量的u (0+)、i (0+)。第39頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六二、確定穩(wěn)態(tài)值f() 作t=電路。瞬態(tài)過程結(jié)束后，電路進(jìn)入了新的穩(wěn)態(tài)，用此時的電路確定各變量穩(wěn)態(tài)值u()、i()。在此電路中，電容C視為開路，電感L用短路線代替，可按一般電阻性電路來求各變量的穩(wěn)態(tài)值。三、求時間常數(shù) RC電路中，=RC；RL電路中，=L/R；其中，R是將電路中所有獨立源置零后，從C或L兩端看進(jìn)去的

22、等效電阻，(即戴維南等效源中的R0)。 例2 圖5-4 (a)所示電路中，t=0時將S合上， 求t0時的 i1、iL、uL。 第40頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六 圖 5-4 例 2 圖解(1) 先求iL(0-)。作t=0- 電路，見圖(b)，電感用短路線代替，則 第41頁，共49頁，2022年，5月20日，23點39分，星期六(2)求 f(0+)。作t=0+電路，見圖(C), 圖中電感用4/3A的電流源代替，流向與圖(b)中iL(0-)一致。因為題意要求i1、iL、uL，所以相應(yīng)地需先求i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，圖(C)左邊回路中有 3 i1 (0+) +6 i1 (0+) -iL (0+)=12得