正多項(xiàng)式和最佳平方逼近

1、2.4 正多項(xiàng)式和最佳平方逼近 總結(jié)2.4.3連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近2.4.2 連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式2.4.1 離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式1 2.4 正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近正交多項(xiàng)式是數(shù)值計(jì)算中的重要工具，這里只介紹正交多項(xiàng)式的基本概念、某些性質(zhì)和構(gòu)造方法。離散情形的正交多項(xiàng)式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項(xiàng)式用于生成最佳平方逼近多項(xiàng)式和下章的高斯型求積公式的構(gòu)造。它們?cè)跀?shù)值分析的其他領(lǐng)域中也有不少應(yīng)用。2.4.1 離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式設(shè)有點(diǎn)集 ，函數(shù) 和 在離散意義下的內(nèi)積定義為 (2.4.1)其中 為給定的權(quán)數(shù)。在離散意義下，函數(shù) 的2范數(shù)定義為(2.4.2)有了內(nèi)積，就可以定義正交

2、性。若函數(shù) 和 的內(nèi)積 ，則稱兩者正交。若多項(xiàng)式組 在離散意義下的內(nèi)積滿足2(2.4.3)則稱多項(xiàng)式組 為在離散點(diǎn)集 上的帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式序列。 下面給出離散點(diǎn)上正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方法 . 給定點(diǎn)集 和權(quán)數(shù) ，并且點(diǎn)集 中至少有 個(gè)互異，則由下列三項(xiàng)遞推公式 （2.4.4）給出的多項(xiàng)式序列 是正交多項(xiàng)式序列，其中(2.4.5)三項(xiàng)遞推公式（2.4.4）是構(gòu)造正交多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單公式，此外，還有其他的特殊的情形，這里，不進(jìn)一步討論。3 例2.10 已知點(diǎn)集 和權(quán)數(shù)試用三項(xiàng)遞推公式求關(guān)于該點(diǎn)集的正 交多項(xiàng)式 。解 先令 ，由此得由此得從而有4其中的 為給定的權(quán)函數(shù)。按連續(xù)意義下的內(nèi)積，若多項(xiàng)式組 滿足

3、條件(2.4.3),則稱它為在區(qū)間 上的帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式序列. 完全類似于離散情況下的正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方法,連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式序列同樣可以由遞推公式(2.4.4)和(2.4.5)構(gòu)造,其中內(nèi)積按(2.4.6)式定義.下面給出幾種常用的正交多項(xiàng)式. (1)Legendre多項(xiàng)式. Legendre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式2.4.2 連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式 連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式的概念與離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應(yīng)的改變 。函數(shù) 和 在連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為 （2.4.6）5(2.4.7)給出.它們是在區(qū)間 上的帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式.前幾個(gè)Legendre多項(xiàng)式如下:它們

4、的根都是在開(kāi)區(qū)間 上的單根,并且與原點(diǎn)對(duì)稱. (2)第一類Chebyshev多項(xiàng)式. 第一類Chebyshev多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式6給出.它們是在區(qū)間 上的帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式.前幾個(gè)第一類Chebyshev多項(xiàng)式如下:(2.4.8)它們的根都在開(kāi)區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱。（3）Legendre多項(xiàng)式。 Legendre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式7給出。它們是在區(qū)間0，+)上帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式。前幾個(gè)Legendre多項(xiàng)式如下: 它們的根都是在區(qū)間（0，+）上的單根。8(4) Hermite 多項(xiàng)式Hermite多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間（-，+）上帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式

5、。前幾個(gè)Hermite多項(xiàng)式如下：它們的根都在區(qū)間（-，+）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱92.4.3連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近定理2.6 在a,b上線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的Gramer行列式Gn，其中 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b上定義了內(nèi)積（2.4.6）就形成了一個(gè)內(nèi)積 設(shè) 在a,b上連續(xù)，如果當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立，則稱 在a,b上是線性無(wú)關(guān)的。對(duì)于函數(shù)組 的線性無(wú)關(guān)性，有如下定理。 空間。在Rn空間中任一向量都可用它的線形無(wú)關(guān)的基表示，類似地，對(duì)內(nèi)積空間任一元素f(x) Ca,b，也可用線形無(wú)關(guān)的基表示。10則稱 是發(fā)f(x)在 中的最佳平方逼近函數(shù)。下面我們先討論在區(qū)間a,b上 一般的最佳平方逼近問(wèn)題。 設(shè)

6、 是Ca,b中的線性無(wú)關(guān)函數(shù)，記對(duì)于f(x)Ca,b,若存在 ，使得求 等價(jià)于求多元函數(shù)的極小值。利用多元函數(shù)求極小值的必要條件有11按內(nèi)積的定義，上式可寫(xiě)為這是關(guān)于的線性方程組，稱為法方程。由于 線性無(wú)關(guān)，故（2.4.12）的系數(shù)距陣非奇異，于是（2.4.12）有唯一解 。從而得到該式滿足（2.4.11），即對(duì)任意 ，有事實(shí)上，有（2.4.12）知因此，對(duì)任意 ，有 ，從而也有12于是這就證明了（2.4.14），從而也證明了f在中的最佳平方逼近的存在唯一性。若令，則稱為最佳逼近的誤差，稱 (2.4.15)為平方誤差。考慮特殊情形，設(shè)a,b=0,1, 。對(duì)于fCa,b, 在 中最佳平方逼近多項(xiàng)式可以表示為13相應(yīng)于法方程（2.4.12）中的系數(shù)矩陣為稱之為Hilbert矩陣?yán)?.11 設(shè) ，求0，1上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。 解 由于 得方程組14解得a0=0.394,a1=0.246。從而最佳平方逼近為平方誤差由于Hilbert矩陣是病態(tài)的（見(jiàn)第4章），用 作基時(shí)，求法方程的解，舍入誤差很大。實(shí)用的辦法是采用正交多項(xiàng)式作基。 若 是中的正交多項(xiàng)式組，則有（2.4.12）得 。15于是f(x)的最佳平方逼近多項(xiàng)式為 例