電磁學第三章靜電能

1、第三章 靜電能 3.1 真空中點電荷間的相互作用能 3.2 連續(xù)電荷分布的靜電能 3.3 電荷體系在外電場中的靜電能 3.4 電場的能量和能量密度*3.5 非線性介質及電滯損耗*3.6 利用靜電能求靜電力能量的基本概念一、引入的目的： 1. 能量是物質的共同屬性，是物質運動的普遍量度； 2. 能量守恒定律是最有意義、最有用的發(fā)現(xiàn)之一； 3. 便于研究不同形式能量的轉換。二、特點： 1. 是狀態(tài)的單值函數(shù), 屬于整個系統(tǒng)； 2. 能量差才有意義； 3. 用做功來量度能量。三、描述的方法： 要引入狀態(tài)參量，規(guī)定零點能，然后用做功來計算 能量。 建立一個帶電系統(tǒng)的過程中，總伴隨著電荷相對運動，需要外

2、力克服電荷間的相互作用而作功。外力作功所消耗的能量將轉換為帶電系統(tǒng)的能量，該能量定義為帶電系統(tǒng)的靜電能。顯然，靜電能應由系統(tǒng)的電荷分布決定。 例如，第一章中已講到的點電荷在外電場中的電勢能就是靜電能。 定義3.1 真空中點電荷間 的相互作用能設想空間中有多個點電荷, 其帶電量用 qi 表示, 相應的位置用 ri 表示, 任意兩個點電荷間的距離可以由 rij=|rij|=|rj-ri|給出,所謂點電荷之間的相互作用能，指的是與點電荷間的相對位置有關的靜電能。狀態(tài)參量取為rij（i, j = 1,2,N）， 時，它們之間的靜電相互作用消失，很自然地取這時的相互作用能為零。 我們用一種類似于數(shù)學歸納

3、法的辦法來計算由N個點電荷組成的靜電體系的靜電能. 兩個點電荷時一個點電荷q在電場U中的電勢能W=qU設電場U是由另一個點電荷Q產生的, 于是點電 荷q具有的電勢能可以寫作 同樣地, 上式也表示了Q在q的電場中的電勢能； 這電勢能W屬于點電荷q與Q組成的系統(tǒng)。當兩個點電荷分別為q1和q2時, 靜電能為： 同樣地, 可將兩個點電荷的靜電能記為W2 ,為方便寫成：三個點電荷的靜電能記為W3 ，便為： 于是可寫成： U 代入W ：對N個點電荷系統(tǒng)：同理，將U 代入W 得：對N+1個點電荷系統(tǒng)，可證（見書p68）：3.2 連續(xù)電荷分布的靜電能 首先討論空間只有自由電荷的情形，這意味著電場空間中只允許導

4、體和介電常量恒等于 的物體（包括真空）存在。 1. 先考慮體電荷分布的情況，電荷密度設為 。將該體電荷無限分割并把每一小部分當作點電荷處理，則由前頁結論可得：U1(r)表示除 外其余所有電荷在r處產生的電勢。 (3.2.1) 分析U1(r)和總電勢U(r)的關系。設dV為一球體元，由第1.7節(jié)例1.11的結果(P28)，取R1 = 0，R2 = a?？汕蟮秒姾擅芏葹?、半徑為a的均勻帶電球體在球內產生的電勢為：它在球心處取極大值 ，故當 時有 即 。于是， U1(r) U(r)(3.2.2) 2. 對面電荷分布的情形，設面電荷密度為 。類似，將面電荷無限分割為圓狀面電荷元 ，它在自身產生的電勢

5、不會大于 （a為面元半徑，見P26的第1.7節(jié)例1.10），該電勢隨 ( )而趨于零。于是 ，U1(r) U(r) ，其靜電能為：(3.2.3)3. 線電荷分布的情況，不能將靜電能寫為：或因為 在自身所在處產生的電勢不僅不趨于零，而且會按 （r為離線元dl的垂直距離）趨于無窮。進一步，可證U1(l)也會趨于無窮大。這在物理上意味著：要把電荷從極端分散狀態(tài)壓縮到一條幾何線上，外界需要作無窮大的功。這顯然是辦不到的。因此，在計算靜電能時，無論線徑怎樣小的帶電體均不能當作線電荷處理。 4. 多個帶電體組成的系統(tǒng)的靜電能。設有N個帶電體，體積分別為V1，V2，VN?？蓪⒖臻g的總電勢U(r)分為兩部分式

6、中Ui (r)表示除第i個帶電體外其余所有帶電體在 r 處產生的電勢， 則表示第i個帶電體在 r 處產生的電勢。按照前述結論，可得： 可寫成：其中，叫自能叫互能點電荷間、線電荷間可以計算互能。但是，不能計算點電荷、線電荷的自能（為無窮大）。例3.1求體電荷密度為 、半徑為R 的均勻帶電球的靜電能（帶電體的介電常量設為 ）。解以球心為原點，取球坐標（ ）。根據(jù)第一章1.7節(jié)例1.11的結果取R1 = 0，R2 = R，可得：于是，積分得：當 固定時，We將隨 而趨于零。 如果用總電量 表示，上述結果可寫成：這時若固定q，令 ，則 ，即點電荷的自能發(fā)散。5. 對帶電導體，靜電能公式可進一步簡化。導

7、體的特點是電荷分布在外表面，整個導體是等勢體。當求 N 個帶電導體組成的體系的靜電能時，應用前式可得如下結果： 式中qi和Ui為第 i 個導體的電量和電勢。 例3.2一孤立帶電導體球電量為q，半徑為R，求其靜電能。解對孤立導體球有U = q/C， 。應用上式得：與例3.1的結果比較可知，對電量及半徑相同的帶電球，其靜電自能與電荷分布有關。電荷集中分布于球面比均勻分布于整個球體的自能要小。如果假設電子的能量 全部來自靜電自能We，并取 ，則可求得電子的半徑：re稱為電子的經(jīng)典半徑。當然，電子的實際半徑比re要小得多，因此不能作以上假設。 例3.3求平行板電容器的靜電能公式。解如上頁圖所示，極板間

8、的均勻各向同性電介質的介電常量為 ，極板面積為S，兩極板間的間距為d。接通電源后，極板帶電分別為Q1和Q2，且Q2 = - Q1 = Q；兩極板電勢分別為U1和U2，電勢差為U = U2 -U1。 分析電容器充電過程，電源對電容器作功，使電源能量轉化為電容器的靜電能。在q由0增至Q的過程中，電源作功為：或寫成：這與前面的普適公式的結果一致。則*6.簡單介紹空間存在電介質的情形，我們限于線性無損耗介質。對于這種情形，隨著自由電荷的搬運和電場的建立，介質將會產生極化并出現(xiàn)極化電荷。 一種簡單而自然的辦法是把極化電荷和自由電荷同等看待，將看成是總電荷密度 ，即自由電荷密度 和極化電荷密度 之和，然后

9、按前式定義系統(tǒng)的能量，即： 式中V0和V 分別表示自由電荷和極化電荷所在的空間區(qū)域。我們將上面定義的能量記為We0，并把它稱作系統(tǒng)的“宏觀靜電能”，它可以理解為在建立宏觀電荷分布 和 過程中系統(tǒng)所貯存的靜電能。 *從另一個角度來分析，系統(tǒng)的能量We應等于在建立該指定狀態(tài)過程中外界對系統(tǒng)所作的功A，即：We0 是否等于We 呢？否理由在于，在介質中建立電場時，外界不僅要克服宏觀電荷（包括自由電荷和極化電荷）之間的靜電力作功，而且要克服分子內部（對位移極化情形）或分子之間（對取向極化情形）的相互作用作功。第一部分功轉化為系統(tǒng)的宏觀靜電能We0；第二部分功稱為“極化功”，它使介質極化。對線性無損耗介

10、質，通過極化功轉換到介質的能量稱為極化能，記為 。所以： *例如 填充了均勻介質的平行板電容器（見右下圖），極板自由面電荷 和介質極化面電荷 對宏觀靜電能We0都有貢獻；而介質體內 ，雖然對We0無貢獻，但介質內部那些因極化發(fā)生變形或改變排列狀態(tài)的原子、分子也貯存了一部分能量，并造成 ， 它們相當于極化能 。 電容器充電時電源作功 一定的電場對應于一定的介質極化狀態(tài)。與此相應，宏觀靜電能與極化能存在著密切的關系。習慣上定義系統(tǒng)的靜電能為：在這種定義下，外界作功正好等于系統(tǒng)靜電能的變化。 *例3.3啟發(fā)我們，系統(tǒng)的靜電能可用自由電荷與總電勢來表達?？梢砸话愕刈C明（參見本書下冊第二章P64）為：

11、又可推出極化能的表達式：式中右邊的負號正好表示系統(tǒng)（即電場）對極化電荷作功，而不是外界克服靜電力作功。 物理解釋：上式表示，外界在移動自由電荷過程中克服靜電力作功，即對電場作功，轉化為系統(tǒng)的靜電能。注意：U（r）為總電勢，自由電荷和極化電荷對它都有貢獻。 3.3 電荷體系在外電場中 的靜電能 當已知外場U時 ，點電荷q 在U中的電勢能可 以直接計算： We是q 在外場U 中的靜電能，屬于相互作用能。 當電荷體系為N個點電荷q1，q2，qN構成的點電荷系統(tǒng)時，它在外電場U中的靜電能為： 電荷密度為 、體積為V 的帶電體，在外 電場U中的靜電能應為：例3.4求電偶極子在外電場中的靜電能公式。解設電

12、偶極子的電偶極矩為p = q l，則由上式可算得它在外電場E 中的靜電能為：即這也是電偶極子p在外場E中的電勢能。3.4 電場的能量和能量密度靜電能貯存在哪里？ 前面導出的靜電能公式都與電荷相聯(lián)系。這給人一種印象，似乎靜電能只貯存在電荷上，而電荷周圍的空間存在電場，其靜電能為零！這是早期“超距作用”的觀點。 其后人們發(fā)現(xiàn)能量應當貯存在電場中，電相互作用是通過電場傳遞，同時應傳遞能量，這就是“近距作用”的觀點。直到電磁波（電磁場在空間的傳播）傳遞能量被證實后，才被廣泛采納。 為與近距作用觀點一致，下面我們設法將有關靜電能的公式用電場強度表示出來。 先從平行板電容器的靜電能公式入手： 前面已得設電

13、容器極板間填滿均勻線性各向同性介質，則有 和U = Ed，從而上述靜電能公式可改用電場強度表示：(3.4.1)式中V = Sd為兩極板間的體積，即電場空間的體積。定義單位體積的靜電能為電能密度，則有： (3.4.2) 寫成矢量式如下，對線性無損耗介質都適用： (3.4.3)式（3.4.3）表明，原認為局限于極板表面電荷之中的靜電能，實際上是以電能密度貯存于電場之中。當空間電場不均勻時，總靜電能應為： (3.4.4) 這樣定義的靜電能密度和靜電能計入了介質的極化能，它要求介質是線性無損耗的。 例3.5從電場的能量公式（3.4.4）出發(fā)，重新計算孤立帶電導體球（電量為q，半徑為R）的靜電能。解由高

14、斯定理可求得該導體球的電場強度大小為：于是：上述結果與例3.2所得結果一致。這說明，在靜電場范圍內，式（3.2.3）和式（3.4.4）完全等效。最后我們由式（3.4.4）進一步定義宏觀靜電能 和介質極化能 。將 代入式（3.4.4）得：(3.4.5) 式中：(3.4.6) (3.4.7)在靜電學范圍內，介質中 為宏觀靜電能密度， 為極化能密度，二者之和等于靜電能密度： 3.5 非線性介質及電滯損耗 前面我們一再強調，所導出的靜電能公式僅適用于線性無損耗介質。下面自然要問：對非線性有損耗介質又該作何處理呢？ 仍限于平行板電容器填滿均勻介質的情況。在例3.3中，我們曾對電容器充電過程中電源所作的元

15、功作過分析，結果為： 由極板內部 E=0和極板內、外側電場強度切向分量連續(xù)的條件，電場強度切向分量為零，可推斷 只有垂直于極板的分量。因此，如下關系式成立： (3.5.1)代入式（3.5.1）得： (3.5.2) 于是對單位體積的電介質，電源所作的元功為： (3.5.3)由 ，可將上式改寫為： (3.5.4)物理意義是：電源所作的功一部分用來增加宏觀靜電能，另一部分為對介質所作的極化功。 要分析極化功的具體形式及其后果，必須考慮介質的極化規(guī)律，即P 和E 的函數(shù)關系。對線性無損耗介質，可將極化規(guī)律寫成如下一般形式： (3.5.5)特別對各向同性介質有： 由式（3.5.5）可證： 于是有或 (3

16、.5.6) 上式表明，極化功全部轉換為介質的極化能。將式（3.5.6）代入式（3.5.4），并由靜電能密度表達式： 推得如下關系式：(3.5.7) 即電源作功全部轉化為電容器的靜電能。 對非線性有損耗介質，式（3.5.5）與（3.5.6）不再成立，顯然不會得到上述簡單結果。當介質為非線性時，極化能密度的表達式將會發(fā)生變化，這時一般不再把宏觀靜電能和極化能合在一起考慮。當存在介質損耗時，極化功中只有一部分轉化為極化能，另一部分則轉化為熱量。例如鐵電體就屬于這種情況。鐵電體的 P 和 E 的關系不僅是非線性的，而且是非單值的，一定的 E 所對應的 P 值依賴于極化過程。 極化過程是不可逆過程。當從

17、某點A出發(fā)沿著電滯回線循環(huán)一周回到A點時，電源對單位體積鐵電體所作的功可由式（3.5.4）求得： (3.5.8)0式中右邊沿電滯回線的閉路積分正好等于電滯回線所圍的“面積”。這部分功既不改變電場，又不改變介質的極化狀態(tài)，而是轉化為熱量，使介質發(fā)熱。這部分因電滯現(xiàn)象而消耗的能量，稱為電滯損耗。 (3.5.8)*3.6 利用靜電能求靜電力利用靜電能可求得靜電場中的靜電力. N個帶電導體組成的帶電系統(tǒng)，設想某一個導體在其他導體的作用下，受到靜電力 F , 位移 r , 則靜電力F 所作的功為： A=F r=Fx x +Fyy +Fzz分兩種情形討論: （1）帶電體的電量不變，即不接電源，為孤立系統(tǒng)；

18、（2）帶電體的電勢不變，接電源。(3.6.1)（1）孤立系統(tǒng)，帶電體的電量不變位移 r只改變各導體的電勢，使系統(tǒng)的靜電能發(fā)生變化， 由能量守恒： （ We)Q = A 即靜電力所作的功等于系統(tǒng)靜電能的減少。于是有 （ We)Q= (Fx x +Fyy +Fzz ) 由數(shù)學知：(3.6.2)(3.6.3) （2）接電源，帶電體的電勢不變系統(tǒng)不是孤立的，外界（電源）通過給系統(tǒng)的導體提供電荷而作功 A， 則系統(tǒng)靜電能的變化為 We= A+ A (3.6.4) 設電源使各導體的電勢 Ui 保持恒定，當導體位移r 時，各導體的電量會在電源的作用下變化Qi , 電源對系統(tǒng)作功 又系統(tǒng)靜電能變化，由前靜電能

19、公式可得：(3.6.5) (3.6.6)比較上兩式，得外接電源作功是靜電能變化的兩倍：(3.6.7) 代入式（3.6.4）右邊，并將該式左邊的 代之以 得： (3.6.8)它表示當維持各導體的電勢不變時，靜電力作功等于系統(tǒng)靜電能的增加。按（1）中推導 (3.6.9)說明： 所有由靜電能求靜電力的表達式，包括已經(jīng)得到的式（3.6.3）和式（3.6.9），是彼此等效的，即對同一個靜電力計算問題會給出同一答案。原因很簡單，對任何給定的帶電系統(tǒng)，其中某個帶電導體所受的靜電力是由當時系統(tǒng)的電荷分布狀態(tài)通過庫侖定律唯一決定的，它與系統(tǒng)狀態(tài)以后的變化無關。因此，就可以隨意設想一種系統(tǒng)狀態(tài)的變化，只要便于計算

20、。同理可推得靜電力矩公式只要將位移 r換成角位移 A=L L為靜電力矩例3.6真空平行板電容器，極板面積為S, 相距為 x , 充電至電壓U=V, 求帶正電極板所受的力。解電容器的 靜電能:若K斷開， Q不變若K閉合， U不變將c=0S/x代入，兩式的計算結果相同，負號表示負極板對正極板的引力：例3.7 平行板電容器極板面積為S, 極板間距為d, 其間充滿介電常數(shù)為的介質，求將介質從極板間完全取出時外力所作的功：(1) U不變；(2) Q 不變。解用 x 表示介質從極板間移出的距離X=0時，C1=S/d, 介質充滿；X=d時，C2=0S/d, 介質全部抽出。（1）U不變時，靜電力：外力作功：（2） Q 不變時，靜電力： 外力作功：說明