06年數(shù)學真題及解析數(shù)一

1、2006 年入學數(shù)學一試題一、填空題：16 小題，每小題 4 分，共 24 分把填在題中橫線上x ln(1 x) （1） lim1 cos xx0】2【考點】等價無窮小【難易度】【詳解】 1 x 2 ,22： x 0 時ln(1 由等價無窮小知： lim=21 cos x1 x2x0 x02y(1 x)（2）微分方程 y 的通解是x【】 y cxe x (x 0) ，其中c 為 常數(shù)【考點】變量可分離的微分方程【難易度】【詳解】dy1 x1：分離變量得dx ()1dx ，xyx lnx x c1積分得lny去掉對數(shù)及絕對值符號，得 y eln|x| xc1 cxe x (x 0)（3）設是錐面

2、 z x2 y2 (0 z 1) 的下側(cè)，則 xdydz 2 ydzdx 3(z 1)dxdy 【】2【考點】公式【難易度】x2 y2 1：補一個曲面1 : 【詳解】上側(cè)z 1設 P x,Q 2 y,R 3(z 1)P Q R 1 2 3 6xyz xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy 1 6dxdydz （ 為錐面 和平面1 所圍區(qū)域） 6V （V 為上述圓錐體體積） 6 23而 xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy 0 （在1 上： z 1, dz 0 ）1故xdydz 2 ydzdx 3(z 1)dxdy 2 0 2 .

3、（4）點（2，1，0）到平面 3x4y5z0 的距離 d】 2【考點】點到平面的距離【難易度】【詳解】點 P(x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax By Cz D 0 的距離d A2 B2 C 2：按點到平面的距離公式得d | 3 2 4 1 5 0 | 102 32 42 525012（5）設矩陣 A ，E 為 2 階矩陣，矩陣 B 滿足 BA B 2E ，則 B12【】2【考點】抽象型行列式的計算【難易度】【詳解】：由 BA B 2E 化得 B( A E) 2E ,兩邊取行列式,得B( A E) 4 ,2E計算出 ( A E) 2 ,因此 2 .B（6）設隨量 X 與 Y 相互獨立，

4、且均服從區(qū)間0, 3 上的均勻分布，則PmaxX ,Y 1 19【】【考點】連續(xù)型隨【難易度】量分布函數(shù)的計算Ax0 By0 Cz0 D【詳解】： Pmax( X ,Y ) 1 PX 1,Y 1 Px 1PY 1 1 . 1 1 3 39二、選擇題：714 小題，每小題 4 分，共 32 分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)（7）設函數(shù) y f (x) 具有二階導數(shù)，且f (x) 0, f (x) 0, x 為自變量 x 在點 x0 處的增量， y 與 dy 分別為（A）0dy y（C） ydy0f (x) 在點 x0 處對應的增量與微分，若 x0

5、，則（B）0 ydy（D）dy y0）【】（A）【考點】函數(shù)單調(diào)性的判別；函數(shù)圖形的凹凸性【難易度】【詳解】：方法 1：因為 f (x) 0, 則 f (x) 嚴格單調(diào)增加f (x) 0, 則 f (x) 是凹的又x 0 ，故0 dy y .方法 2：用兩次日中值定理 y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x f ()x f (x0 )x f ()( x0 )x, x0 其中由于 f (x) 0 ，從而 y dy 0又由于 dy f (x0 )x 0 ，故選 A1 f (r cos, r sin)rdr 等于（8）設 f（x，y）為連續(xù)函數(shù)，則 d4）001 x21 x22

6、2（A） 2 dxf (x, y)dy （B） dxf (x, y)dy 2x00021 y221 y 2（C） dy（D） dyf (x, y)dx f (x, y)dx 22y000【】（C）【考點】交換累次積分的次序與坐標系的轉(zhuǎn)換【難易度】【詳解】1 f (r cos, r sin)rdr f (x, y)dxdy ： d400DD 的極坐標表示是：0r1， 0 見下圖4現(xiàn)轉(zhuǎn)換為先 x 后 y 的積分順序21 y 2原式 dyf (x, y)dx 因此選（C）20y（9）若級數(shù)an 收斂，則級數(shù)（ ）n1（A） | an1（B） (1)n a 收斂| 收斂nnn1an an12（C） a

7、nan1 收斂n1（D） n1收斂【】（D）【考點】收斂級數(shù)的基本性質(zhì)【難易度】【詳解】：方法一：因為 an 收斂，所以 an1 也收斂，所以(an an 1) 收斂，n1n1n1an an 1從而n1也收斂. 選D .2方法二：排除法.(1)n11n1設a 是條件收斂的級數(shù)，于是 an1 n1， (1)n a ，nnnnnn1n1n1n1(1)2n11 anan1 n1，它們都發(fā)散 選D .n(n 1)n(n 1)n1n1f (x, y) 與(x, y) 均為可微函數(shù)，且y (x, y) 0 已知 (x0 , y0 ) 是 f (x, y) 在約（10）設束條件(x, y) 0 下的一個極值

8、點，下列選項正確的是（ ）（A）若 fx(x0 , y0 ) 0 ，則 f y(x0 , y0 ) 0 （B）若 fx(x0 , y0 ) 0 ，則 f y(x0 , y0 ) 0 （C）若 fx(x0 , y0 ) 0 ，則 f y(x0 , y0 ) 0 （D）若 fx(x0 , y0 ) 0 ，則 f y(x0 , y0 ) 0 【】（D）【考點】多元函數(shù)極值存在的必要條件；【難易度】【詳解】日乘數(shù)法：引入函數(shù) F (x, y, ) f (x, y) (x, y) ，有F (x, y) 0(1)(2)F=f (x, y) (x, y) 0yyyF = (x, y) 0 f y(x0 ,

9、y0 )代入（1）得f y(x0 , y0 )x (x0 , y0 ) (x , y ) 0, f (x , y ) (x , y ) (x , y )y00 x00y00y00若 fx(x0 , y0 ) 0 ，則 f y(x0 , y0 ) 0 .故選 D.（11）設1 ,2 , s 均為 n 維列向量，A 是 m n 矩陣，下列選項正確的是（A）若1 ,2 , s 線性相關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性相關(guān)（B）若1 ,2 , s 線性相關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性無關(guān)（C）若1 ,2 , s 線性無關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性相關(guān)（D）若1 ,2 , s

10、 線性無關(guān)，則 A1 , A2 , A s 線性無關(guān)）【】（A）【考點】向量組線性相關(guān)的判別法【難易度】【詳解】：方法 1：若1 ,2 , s 線性相關(guān),則存在不全為0 的數(shù) k1 , k2 , ks 使得k11 k22 ks s 0用 A等式兩邊,得k1 A1 k2 A2 ks A s 0于是 A1 , A2 , A s 線性相關(guān).方法2 ：因為：1）1 ,2 , s 線性相關(guān) r(1,2 , s ) s .2） r( AB) r(B) .所以有：矩陣( A1, A2 , A s ) A(1,2 , s ) ,因此r( A1, A2 , A s ) r(1,2 , s ) s由此可判斷應為

11、A .（12）設 A 為 3 階矩陣，將 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再將 B 的第 1 列的1 倍加到第 21列得 C,記 P 0 ,則（ ）（A） C P1 AP 1（B） C PAP1 （C） C PT AP （D） C PAPT 【】（B）【考點】矩陣的初等變換；逆矩陣的計算【難易度】【詳解】 10 1：將 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，即 B 010 A = PA 01 0 10 1 10將 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C ，即C B 00 記 BQ 01 1 10 11100 10 因 PQ 00 00 E ，故Q P1 01 01 從而 C BP

12、1 PAP1,故選 B .（13）設 A，B 為隨機事件，且 P（B）0，P（A|B）1，則必有（ ）（A）P（AB）P（A）（C）P（AB）P（A）（B）P（AB）P（B）（D）P（AB）P（B）】（C）【考點】概率的加法公式；概率的乘法公式【難易度】【詳解】P( AB)：由 P( A B) 1 得， P( AB) P(B)P(B)根據(jù)加法公式有 P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( A) ,故選C .（14）設隨量 X 服從正態(tài)分布 N ( , 2 ) ，Y 服從正態(tài)分布 N ( , 2 ) ，且1122P X 1 1 P Y 2 1，則必有（ ）（A） 1 2 （C）

13、 1 2 （B） 1 2 （D） 1 2 【】（A）【考點】標準正態(tài)分布【難易度】【詳解】X 11： P( X 1 1) P( ),11X - 1 N (0,1) ，且其概率密度函數(shù)是偶函數(shù).隨量1X 1 1 2P 0X 11112() (0) 2() 1 .故 P1 1 1111 1) 2( 1 ) 1同理 P( Y 22時， 2( 1 ) 1 2( 1 ) 1 ，因為 (x) 是單調(diào)函數(shù)，當 P| X | 1 P| Y | 1121211即，即 ，故選 A .1212三、解答題：1523 小題，共 94 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（15）（本題滿分 10 分）設區(qū)域 D (x

14、, y) x 2 y 2 1, x 0，計算二重積分1 xy1 x2 y2I dxdy D【考點】二重積分的計算；利用極坐標計算二重積分【難易度】【詳解】：積分區(qū)域?qū)ΨQ于 x 軸，xyy 為 y 的奇函數(shù)，1 x2 y2xy從而知dxdy 0221 x yD21r1 1 x2 y2dxdy極坐標 d I dr ln(1 r 2 )21 ln 22201 r20D（16）（本題滿分 12 分）設數(shù)列xn 滿足0 x1 ， xn1 sin xn （ n 1, 2, ）（）證明 lim xn 存在，并求該極限；n1x2n1nx（）計算 lim()xnn【考點】函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系；單調(diào)有界準則【

15、難易度】【詳解】：（）證明：由于0 x 時， 0 sin x x ，于是0 n說明數(shù)列xn 單調(diào)減少且 xn0 .由單調(diào)有界準則知 lim xn 存在.記為 An遞推公式兩邊取極限得 A sin A, A 012sin xx（）原式= lim(n)，為“1”型nxnn離散型不能直接必達法則1) t2lim 1 ln( sin t ) et0 t2tsin t先考慮lim(tt 0 3 t2t31 1 ( t cos t sin t )2t 1 2 0(t )t 6 0(t )1 1lim 6 2lim t cost sin tlim sin t tt21 6t0 2t法則 e e t02t 3

16、 e t02t 3 e e2（17）（本題滿分 12 分）x將函數(shù) f x 展開成 x 的冪級數(shù)2 x x2【考點】(1+x)的林展開式【難易度】【詳解】xAB： f (1 xA(1 x) B(2 x) x23令x 2,3A 2,A B 13令x 1,3B 1, 1 1f (3 1 (x)2 1 1(3 n0n0n0（18）（本題滿分 12 分）設函數(shù) f (u) 在(0, ) 內(nèi)具有二階導數(shù)，且 zfxy滿足等式2 z 2 z 0 x2y2 0 ；（）驗證u0, f ( 1，求函數(shù) f (u) 的表達式（）若 f (【考點】多元復合函數(shù)的求導法；變量可分離的微分方程【難易度】【詳解】 f ;

17、 f yzI）xx zx y22x2 y2：（yx2 y2x2 y2x2x y 22f x2 y2 f 2 z x2 y2x2 x2 y2 x2 y2x2 y2 x2 f x2 y2 f x2 x2 y2 y2 x2 y2 3 2 x2 y2同理 f x2 y2 2 zf x2 y2y2 x2 y2 x2 x2 y2 3 2 y2 0 ，得 f x2 y2 f ( x2 y2 ) 02 z2 z代入x2y2x2 y2f (u) 0 成立. f (u) u（II）令 f (u) p, 于是上述方程成為 dp p ，則 dp du cduupucu c, f (u) p ln ulnpf (1)

18、1, c 1, f (u) ln | u | c2,由f (1) 0, 得c2 0于是f (u) ln | u |（19）（本題滿分 12 分）設在上半平面 D (x, y)y 0 內(nèi)，函數(shù) f (x, y) 具有連續(xù)偏導數(shù)，且對任意的t 0 都有f (tx, ty) t 2 f (x, y) 證明：對 D 內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線 L，都有yf (x y dx xf (xL【考點】多元復合函數(shù)的求導法；【難易度】【詳解】y dy 0 公式證明：把 f (tx, ty) t 2 f (x, y)兩邊對t 求導得： xf (tx,ty) yf (tx,ty) 2t 3 f (x, y)x

19、y令 t 1，則 xfx(x, y) yf y(x, y) 2 f (x, y)再令 P yf (x, y), Q xf (x, y)QPx y所給曲線積分等于 0 的充分必要條件為Q今 f (x, y) xf (x, y)xxP f (x, y) yf (x, y)yyQP成立，只要 xf (x, y) yf (x, y) 2 f (x, y)要求xyxyQP已經(jīng)證明，x y，于是結(jié)論成立。（20）（本題滿分 9 分）已知非線性方程組3 x4 1,4 x 1,34bx 1a34有 3 個線性無關(guān)的解（）證明方程組系數(shù)矩陣 A 的秩 r( A) 2 ；（）求 a，b 的值及方程組的通解【考點】

20、非線性方程組的解與相應的線性方程組（導出組）的解之間的關(guān)系；非齊次線性方程組的通解【難易度】【詳解】：（）設1 ,2 ,3 是方程組的 3 個線性無關(guān)的解,則2 1 ,3 1 是 Ax 0 的兩個線性無關(guān)的解.于是 Ax 0 的基礎解系中解的個數(shù)不少于 2,即 4 r( A) 2 ,從而r( A) 2 .又因為 A 的行向量是兩兩線性無關(guān)的,所以 r( A) 2 .兩個不等式說明 r( A) 2 .（）對方程組的增廣矩陣作初等行變換:| 11|11131153111 0114 2a154a b 541 | 1 0 , A b =|3ab| 1 b 3 .0| 4 2a由 r( A) 2 ,得出

21、a 2,4 501| 2 01 021 0代入后繼續(xù)作初等行變換: 0|3.0| 0 4得同解方程組4求出一個特解(2, 3, 0, 0)T 和 Ax 0 的基礎解系(2,1,1, 0)T , (4, 5, 0,1)T .得到方程組的通解: (2, 3, 0, 0)T c (2,1,1, 0)T c (4, 5, 0,1)T ， c , c 任意.1212（21）（本題滿分 9 分）設 3 階實對稱矩陣 A 的各行元和均為 3，向量1 (1, 2, 1) ， (0, 1,1) 是線TT2性方程組 Ax 0 的兩個解（）求 A 的特征值與特征向量；（）求正交矩陣 Q 和對角矩陣 ，使得 QTAQ

22、 【考點】矩陣的特征值的計算；矩陣的特征向量的計算；【難易度】【詳解】正交化；相似對角矩陣1 31（）因為 A1 3 31 ，所以 3 是矩陣 A 的特征值， (1,1,1)T 是 A 屬于 3 的特 1 31 征向量.又 A1 0 01 ， A2 0 02 ，故1 ,2 是矩陣 A 屬于 0 的特征向量.因此矩陣 A的特征值是 3，0，0. 3 的特征向量為 k (1,1,1)T ，其中 k 0 為常數(shù)； 0 的特征向量為 k (1, 2, 1) k (0, 1,1)T ，其中 k , k 是不全為 0 的常數(shù).T1212（）因為1 ,2 不正交，故要1 1 (1, 2, 1) ，T正交化， 1 1 0 (2 , 1 ) 1 3 2 1 0 ， 2 22( , )16 1 1 1 11 1 11 12 ， 10 ， 1化 6 2 123 1 1 3 0令Q (