daer上課件復(fù)變函數(shù)8.4,8

1、8.3 Laplace 逆變換28.2.1 線性性質(zhì) 8.2.2 相似性質(zhì) （1）原像微分性質(zhì) （2）象函數(shù)的微分性質(zhì)： 8.2.3 微分性 38.2.4 積分性質(zhì)（1）象原函數(shù)的積分性質(zhì) 一般地（2）象函數(shù)的積分性質(zhì) 8.2.5 位移性質(zhì) 設(shè) 則 8.2.6 延遲性質(zhì) 設(shè) 若當(dāng) 時(shí), 則對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)t , 有 5 6810已知在收斂域內(nèi)解析, 但并不是所有解析函數(shù)都是某一函數(shù)的Laplace變換 像函數(shù). 另外，函數(shù) 的Laplace變換實(shí)際上就是 的Fourier變換. 因此, 當(dāng) 滿足Fourier積分定理的條件時(shí), 根據(jù)Fourier積分 11公式, 在連續(xù)點(diǎn)處 在等式兩端同乘以 故

2、當(dāng)t0時(shí), 12令則其中是的增長(zhǎng)指數(shù). 積分路徑是在右半平面 上的任意一條直線 這就是Laplace逆變換的一般公式, 稱為L(zhǎng)aplace 變換的反演積分. 這是復(fù)變函數(shù)的積分, 在一定條件下, 可利用留數(shù)來計(jì)算. 13定理8.3設(shè) 是 的所有孤立奇點(diǎn)(有限個(gè))， 除這些點(diǎn)外, 處處解析, 且利用留數(shù)求Laplace逆變換的公式且他們?nèi)课挥谥本€Re(s)=b(0)的左側(cè)，且當(dāng)即14例求 的Laplace逆變換. 解法1和分別是 的1級(jí)和3級(jí)極點(diǎn)， 故由計(jì)算留數(shù)的法則 1516解法2可分解為形如 可以求得因?yàn)?所以 178.4 拉氏變換的卷積與卷積定理 則可以證明卷積(1)上的卷積定義 若函數(shù)

3、滿足, 時(shí)都為零,稱為函數(shù)在 上的卷積.18解例 對(duì)函數(shù)計(jì)算 的卷積 192. 卷積定理 假定 ， 滿足拉氏變換存在定理中的條件，且 ，則 的拉氏變換一定存在，且或20推論若 滿足拉氏變換存在定理中的條件，且 ，則有 在拉氏變換的應(yīng)用中，卷積定理起著十分重要的作用。下面舉例說明它在求函數(shù)的逆變換中的應(yīng)用。 21例 若 求 令 則故根據(jù) 有 ，22例 求 因?yàn)?故由 ，23 例 設(shè) ，求f(t)。 解：根據(jù)位移性質(zhì)， 所以2425例1 求方程 的解。滿足初始條件解: 設(shè)Ly(t)=Y(s)。在方程兩邊取拉氏變換，并 考慮到初始條件，得這是含未知量Y(s)的代數(shù)方程，整理后解出Y(s)，得所求函數(shù)的拉氏變換8.5.1 解常系數(shù)常微分方程26取它的逆變換便可以得出所求函數(shù)y(t)。 取逆變換得到所求微分方程的解 27例1 求方程組 滿足初始條件 的解。解 設(shè)Ly(t)=Y(s),Lx(t)=X(s)，對(duì)方程組兩個(gè) 方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件得 8.5.2. 解常系數(shù)線性微分方程組28整理化簡(jiǎn)后得解這個(gè)方程組得 29由于 因此所求方程組的解為 由以上例子可以看出：在解微分方程的過程中