立體幾何高考真題大題

1、立體幾何高考真題大題1（2016高考新課標1卷）如圖,在以A,B,C,D,E,F為極點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,AFD90o,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60oDCF（）證明：平面ABEF平面EFDC；（）求二面角E-BC-A的余弦值219【答案】（）見分析；（）19【分析】試題分析：（）先證明F平面FDC,結合F平面F,可得平面F平FDC（）建立空間坐標系Cur面,分別求出平面的法向量m及平面C的法向rrrrrnm量n,再利用cosn,mrr求二面角nm試題分析：（）由已知可得FDF,FF,所以F平面FDC又F平面F,故平面F平面FDC（）過D作DGF,垂

2、足為G,由（）知DG平面Fuuuruuur以G為坐標原點,GF的方向為x軸正方向,GF為單位長度,建立以以下圖的空間直角坐標系Gxyz由（）知DF為二面角DF的平面角,故DF60o,則DF2,DG3,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0,D0,0,3由已知,/F,所以/平面FDC又平面CDI平面FDCDC,故/CD,CD/F由/F,可得平面FDC,所以CF為二面角CF的平面角,CF60o從而可得C2,0,3uuur1,0,3,uuur0,4,0uuur3,4,uuur4,0,0所以C,C3,rx,y,z是平面C的法向量,則設nruuur0 x3z0nCruuur,即4y0,n0所以可取r3n

3、3,0,rruuur0CDmC設m是平面的法向量,則ruuur0,mrrrrr2190,3,4nm同理可取m則cosn,mrr19nm故二面角C的余弦值為21919考點：垂直問題的證明及空間向量的應用【名師點睛】立體幾何解答題第一問平常觀察線面地址關系的證明,空間中線面地址關系的證明主要包含線線、線面、面面三者的平行與垂直關系,此中推理論證的要點是結合空間想象能力進行推理,要防范步驟不完好或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主第二問一般觀察角度問題,多用空間向量解決2（2016高考新課標2理數(shù)）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB5,AC6，點E,F分別在AD,CD

4、上，AECF5，EF交BD于點H將4DEF沿EF折到DEF地址，OD10（）證明：DH平面ABCD；（）求二面角BDAC的正弦值【答案】（）詳見分析；（）29525【分析】試題分析：（）證AC/EF，再證DHOH，最后證DH平面ABCD；（）用向量法求解試題分析：（）由已知得ACBD，ADCD，又由AECFAECF得，故ADCDAC/EF所以EFHD，從而EFDH由AB5,AC6得DOB0AB2AO24OHAE11，DHDH3由EF/AC得AD所以OHDO4于是OH1，DHOH2321210DO2，故DHOH又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCDzDAEyHDOFBCxuuur（）如圖

5、，以H為坐標原點，HF的方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標系Hxyz，uuur(3,4,0)，則H0,0,0，A3,2,0，0,5,0，D0,0,3，ABBC3,1,0uuuruuuurur是平面ABD的法向量，則AC6,0,0，AD3,1,3設mx1,y1,z1uruuurmAB03x14y10，uruuuur，即y13z1mAD03x10urrruuur4,3,x2,y2,z2nAC0所以可以取m5設n是平面ACD的法向量，則ruuuur，nAD0即6x20，3x2y23z20rurrurr1475mn所以可以取n0,3,1于是cosm,nurr50，|m|n|1025urr295sin

6、m,n25所以二面角BDAC的正弦值是29525考點：線面垂直的判斷、二面角【名師點睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：判判定理；ab，a?b；，a?a；面面垂直的性質線面垂直的性質，常用來證明線線垂直求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，而后經過兩個平面的法向量的夾角獲取二面角的大小，但要注意結合實質圖形判斷所求角是銳角還是鈍角3（2016高考山東理數(shù)）在以以下圖的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線（）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH平面ABC；（）已知EF=FB=12AC=23，AB=BC求二面角FBCA的余弦

7、值7【答案】（）見分析；（）7【分析】試題分析：（）依據線線、面面平行可得與直線GH與平面ABC平行；（）立體幾何中的角與距離的計算問題，常?？梢岳脦缀畏ā⒖臻g向量方法求解，此中解法一建立空間直角坐標系求解；解法二則是找到FNM為二面角FBCA的平面角直接求解試題分析：（）證明：設FC的中點為I,連接GI,HI,在CEF,由于G是CE的中點，所以GI/EF,又EF/OB,所以GI/OB,在CFB中，由于H是FB的中點，所以HI/BC，又HI由于GHGII,所以平面GHI/平面ABC，平面GHI，所以GH/平面ABC（）解法一：連接OO,則OO平面ABC，又ABBC,且AC是圓O的直徑，所以B

8、OAC.以O為坐標原點，建立以以下圖的空間直角坐標系Oxyz，由題意得B(0,23,0)，C(23,0,0)，過點F作FM垂直O(jiān)B于點M，所以FMFB2BM23,可得F(0,3,3)uuur23,2uuur(0,3,3)故BC(3,0),BFur設m(x,y,z)是平面BCF的一個法向量uruuur0mBC,由uruuur0mBF23x23y0可得,3y3z0ur3),可得平面BCF的一個法向量m(1,1,3r由于平面ABC的一個法向量n(0,0,1),urrurrmn7所以cosm,nurr|m|n|7所以二面角FBCA的余弦值為77解法二：連接OO，過點F作FMOB于點M，則有FM/OO,

9、又OO平面ABC，所以FM平面ABC,可得FMFB2BM23,過點M作MN垂直BC于點N，連接FN，可得FNBC,從而FNM為二面角FBCA的平面角又ABBC,AC是圓O的直徑，所以MNBMsin45o6,2從而FN42，可得cosFNM7.27所以二面角FBCA的余弦值為77考點：1平行關系；2異面直線所成角的計算【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常有問題解答本題，要點在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的互相轉變，經過嚴實推理，給出規(guī)范的證明立體幾何中的角與距離的計算問題，常常可以利用幾何法、空間向量方法求解，應依據題目條件，靈巧選擇方法本題能較好的觀察考生的空間想象能力、邏輯

10、推理能力轉變與化歸思想及基本運算能力等4（2016高考天津理數(shù)）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2（）求證：EG平面ADF；（）求二面角O-EF-C的正弦值；（）設H為線段AF上的點，且AH=2HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值337【答案】（）詳見分析（）（）321【分析】試題分析：（）利用空間向量證明線面平行，要點是求出頭的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進行論證（）利用空間向量求二面角，要點是求出頭的法向量，再利用向量數(shù)目積求出法向量夾角，最后依據向量夾角與二面角相等或互補關系求正弦值（）利用空間向

11、量證明線面平行，要點是求出頭的法向量，再利用向量數(shù)目積求出法向量夾角，最后依據向量夾角與線面角互余關系求正弦值OF平面ABCD，如圖，以O為點，分別以uuuruuuruuur試題分析：依題意，AD,BA,OF的方向為x軸，y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得O(0,0,0)，A1,1,0,B(1,1,0),C(1,1,0),D(11,0),，E(1,1,2),F(0,0,2),G(1,0,0)uuuruuururx,y,z為平面ADF的（）證明：依題意，AD(2,0,0),AF1,1,2設n1uruuur2x0urn1AD0不如設z0,2,1，又法向量，則uruuur，即xy2z1

12、，可得n1n1AF00uuuruuurur，又由于直線EG平面ADFEG0,1,2，可得EGn10，所以EG/平面ADFuuur1,1,0為平面OEF（）解：易證，OA的一個法向量依題意，uuuruuuruur為平面CEFEF1,1,0,CF1,1,2設n2x,y,z的法向量，則uuruuurxy0uurn2EF0，即不如設x1,1,1uuruuur1，可得n2n2CF0 xy2z0uuuruuruuuruur6uuuruur3所以有cosOAn2OA,n2uuuruur，于是sinOA,n2，所以，二面角OAn233OEFC的正弦值為33（）解：由AH2HF，得AH2uuur1,1,2，所以

13、35AF由于AFuuur2uuur224，從而有H334，從而uuur284，所以AH5AF5,BH5,5555555uuuruuruuuruur7cosBHn2BH和平面CEF所成角的正弦值為BH,n2uuuruur所以，直線BHn221721考點：利用空間向量解決立體幾何問題5（2016年高考北京理數(shù)）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD51）求證：PD平面PAB；2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上能否存在點M，使得BM/平面PCD若存在，求AM的值；若不AP存在，說明原由【答案】（1）見分析；（

14、2）3；（3）存在，AM13AP4【分析】試題分析：（1）由面面垂直性質定理知AB平面PAD；依據線面垂直性質定理可知ABPD，再由線面垂直判判定理可知PD平面PAB；（2）取AD的中點O，連結PO，CO，以O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz，利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（3）假設存在，依據A，P，M三點共線，設AMAP，依據BM/平面PCD，即BMn0，求的值，即可求出AM的值AP試題分析：（1）由于平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD，又由于PAPD，所以PD平面PAB；（2）取AD的中點O，連接PO，CO，由于PAPD，所以POA

15、D又由于PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD由于CO平面ABCD，所以POCO由于ACCD，所以COAD如圖建立空間直角坐標系Oxyz，由題意得，A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)設平面PCD的法向量為n(x,y,z)，則ruuuryz0,nPD0,ruuur0,即z0,nPC2x令z2，則x1,y2所以n(1,2,2)又PB(1,1,1)nPB3，所以cosn,PBnPB3所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為33（3）設M是棱PA上一點，則存在0,1使得AMAP所以點M(0,1,),BM(1,)由于BM平面PC

16、D，所以BM平面PCD當且僅當BMn0，即(1,)(1,2,2)0，解得14AM1所以在棱PA上存在點M使得BM平面PCD，此時AP4考點：1空間垂直判斷與性質；2異面直線所成角的計算；3空間向量的運用【名師點睛】平面與平面垂直的性質的應用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內作交線的垂線，把面面垂直轉變?yōu)榫€面垂直，從而可以證明線線垂直（必需時可以經過平面幾何的知識證明垂直關系），構造（找尋）二面角的平面角或獲取點到面的距離等6（2016高考新課標3理數(shù)）如圖，四棱錐PABC中，PA地面ABCD，ADPBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點（

17、）證明MNP平面PAB；（）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值【答案】（）見分析；（）8525【分析】試題分析：（）取PB的中點T，而后結合條件中的數(shù)據證明四邊形AMNT為平行四邊形，從而獲取MNPAT，由此結合線面平行的判判定理可證；（）以A為坐標原點，以AD,AP所在直線分別為y,z軸建立空間直角坐標系，而后經過求直線AN的方向向量與平面PMN法向量的夾角來辦理AN與平面PMN所成角試題分析：（）由已知得AM2AD2，取BP的中點T，連接AT,TN，由N為3PC中點知TN/BC，TN1BC22又AD/BC，故TNPAM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN/AT由于AT平面PAB平面PA

18、BMN/平面PAB，MN，所以（）取BC的中點E，連接AE，由ABAC得AEBC，從而AEAD，且AEAB2BE2AB2(BC)252uuurAxyz，以A為坐標原點，AE的方向為x軸正方向，建立以以下圖的空間直角坐標系由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5,2,0)，N(5,1,2)，2uuuur(0,2,4)，PN(5,1,2)，AN(5,1,2)PM22rnPM02x4z0(x,y,z)為平面PMN的法向量，則，即，可取設n5xnPN0y2z02r(0,2,1)n，ruuurruuur|nAN|于是|cosn,AN|ruuur|n|AN|8525考點：1、空間直線與平面間的

19、平行與垂直關系；2、棱錐的體積【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關系，常常是經過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？山涍^建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來辦理7（2016高考浙江理數(shù)）如圖,在三棱臺ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90o,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3（）求證：EF平面ACFD；（）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值3【答案】（）證明見分析；（）4【分析】試題分析：（）先證FC，再證FC，從而可證F平面CFD；（）方法一：先找二面角DF的平面角，再在Rt

20、QF被騙算，即可得二面角DF的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標系，再計算平面平面的法向量，從而可得二面角DF的平面角的余弦值試題分析：（）延長D，CF訂交于一點，以以下圖由于平面CF平面C，且CC，所以，C平面C，所以，F(xiàn)C又由于F/C，F(xiàn)FC1，C2，所以C和C為等邊三角形，且F為C的中點，則FC所以F平面CFD（）方法一：過點F作FQ，連接Q由于F平面C，所以F，則平面QF，所以Q所以，QF是二面角DF的平面角在RtC中，C3，C2，得FQ31313在Rt313，F(xiàn)3，得cosQF3QF中，F(xiàn)Q134所以，二面角DF的平面角的余弦值為34方法二：如圖，延長D，CF訂交于一點，則C

21、為等邊三角形取C的中點，則C，又平面CF平面C，所以，平面C以點為原點，分別以射線，的方向為x，z的正方向，建立空間直角坐標系xyz由題意得1,0,0，C1,0,0，0,0,3，1,3,0，1,0,3，F(xiàn)1,0,32222所以，uuur0,3,0uuur1,3,3uuurC，2,3,0Crx1,y1,z1rx2,y2,z2設平面的法向量為m，平面的法向量為nuuurr03y10rCm3,0,1由uuurr，得3y13z1，取m；m0 x10uuurr2x23y20uuurn0r3,2,3由r，得x23y23z2，取nn00rrrr3mn于是，cosm,nrr4mn所以，二面角DF的平面角的余弦

22、值為34考點：1、線面垂直；2、二面角【方法點睛】解題時必定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，不然很簡單出現(xiàn)錯誤證明線面垂直的要點是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線8（2016年高考四川理數(shù)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，1BC=CD=AD，E為邊AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為902PBCAED（）在平面（）若二面角PAB內找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明原由；P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值1【答案】（）詳見分析；（）3【分析】試題分析：（）探究線

23、面平行，依據是線面平行的判判定理，先證明線線平行，再得線面平行，而這可以利用已知的平行，易得CDEB；從而知M為DC和AB的交點；（）求線面角，可以先找到這個角，即作出直線在平面內的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標系，用向量法求出線面角（經過平面的法向量與直線的方向向量的夾角來求得）試題分析：（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行延長AB，DC，訂交于點M（M平面PAB），點M即為所求的一個點原由以下：由已知，BCED，且BC=ED所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以CDEB從而CMEB又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE（說明：延長AP至點N

24、，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD從而CDPD所以PDA是二面角P-CD-A的平面角所以PDA=45設BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2過點A作AHCE，交CE的延長線于點H，連接PH易知PA平面ABCD，從而PACE于是CE平面PAH所以平面PCE平面PAH過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE所以APH是PA與平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=22在RtPAH中，PH=PA2AH2=32，2AH1所以sinAPH=PH3方法二：由已知，CDPA，CDAD，PA

25、AD=A所以CD平面PAD，于是CDPD從而PDA是二面角P-CD-A的平面角所以PDA=45由PAAB，可得PA平面ABCD設BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2uuuruuur作AyAD，以A為原點，以AD,AP的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0），uuuruuuruuur所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）設平面PCE的法向量為n=（x,y,z），nuuuuuuuurx2z0,PE0,由uuur得xy設x=2，解得n=（2,-2,1）nEC0,0,|nuuuur21設直線PA與平面PCE所成角為，則AP|=sin=uuur22(2)212|n|AP|231所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為3zPMyBCAEDx考點：線線平行、線面平行、向量法【名師點睛】本題觀察線面平行、線線平行、向