高中數學必修二 6.3.1平面向量基本定理 6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

1、6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示課后篇鞏固提升基礎鞏固1.設向量e1與e2不共線,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,則實數x,y的值分別為() A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4答案D解析因為向量e1與e2不共線,所以3x=4y-7,10-y=2x,解得x=3,y=4.2.如圖所示,在ABC中,AD=23AB,BE=12BC,則DE=()A.13AC-12ABB.13AC-16ABC.12AC-13ABD.12AC-16AB答案D解析DE=DB+BE=13AB+12(AC-AB)=12AC-16AB.

2、3.如圖,平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分,(不包含邊界).設OP=mOP1+nOP2,且點P落在第部分,則實數m,n滿足()A.m0,n0B.m0,n0C.m0D.m0,n0;OB與OP2方向相反,則n0.4.已知向量i=(1,0),j=(0,1),對于該坐標平面內的任一向量a,給出下列四個結論:存在唯一的一對實數x,y,使得a=(x,y);若x1,x2,y1,y2R,a=(x1,y1)(x2,y2),則x1x2,且y1y2;若x,yR,a=(x,y),且a0,則a的始點是原點O;若x,yR,a0,且a的終點坐標是(x,y),則a=(x,y).其中正確結論的個數是()

3、A.1B.2C.3D.4答案A解析由平面向量基本定理,知正確;舉反例,a=(1,0)(1,3),但1=1,故錯誤;因為向量可以平移,所以a=(x,y)與a的始點是不是原點無關,故錯誤;當a的終點坐標是(x,y)時,a=(x,y)是以a的始點是原點為前提的,故錯誤.5.已知a=xe1+2e2與b=3e1+ye2共線,且e1,e2不共線,則xy的值為.答案6解析由已知得,存在R,使得a=b,即xe1+2e2=3e1+ye2,所以x=3,2=y,故xy=32=6.6.如圖,C,D是AOB中邊AB的三等分點,設OA=e1,OB=e2,以e1,e2為基底來表示OC=,OD=.答案23e1+13e213e

4、1+23e2解析OC=OA+AC=OA+13AB=e1+13(e2-e1)=23e1+13e2,OD=OC+CD=OC+13AB=23e1+13e2+13(e2-e1)=13e1+23e2.7.設e1,e2是兩個不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)證明:a,b可以作為一個基底;(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)證明假設a,b共線,則a=b(R),則e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共線,得=1,3=-2,即=1,=-23.所以不存在,故a,b不共線,即a,b可以作為一個基底.(2)解設c=ma+nb(m,nR),則3e1-e2=m

5、(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+n,-1=-2m+3n,解得m=2,n=1.故c=2a+b.8.如圖,在ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF;(2)求證:B,E,F三點共線.(1)解如圖,延長AD到點G,使AG=2AD,連接BG,CG,得到平行四邊形ABGC,則AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AF-AB=12b-a=12(b

6、-2a).(2)證明由(1)知,BE=23BF,BE,BF共線.又BE,BF有公共點B,B,E,F三點共線.能力提升1.若O是平面內一定點,A,B,C是平面內不共線的三點,若點P滿足OP=OB+OC2+AP(0,+),則點P的軌跡一定通過ABC的()A.外心B.內心C.重心D.垂心答案C解析設線段BC的中點為D,則有OD=12(OB+OC),因此由已知得OP=OD+AP,即OP-OD=AP,于是DP=AP,則DPAP,因此P點在直線AD上,又AD是ABC的BC邊上的中線,因此點P的軌跡一定經過三角形ABC的重心.2.如圖,平面內有三個向量OA,OB,OC,其中OA與OB的夾角為120,OA與O

7、C的夾角為30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=OA+OB(,R),則+的值等于.答案6解析如圖,以OA,OB所在射線為鄰邊,OC為對角線作平行四邊形ODCE,則OC=OD+OE.在RtOCD中,因為|OC|=23,COD=30,OCD=90,所以|OD|=4,|CD|=2,故OD=4OA,OE=2OB,即=4,=2,所以+=6.3.如圖,在ABC中,點M是BC的中點,點N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN交于點P,求APPM的值.解設BM=e1,CN=e2,則AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和B,P,N分別共線,存在實數,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2.又BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2,3+=3,解得=45,=35.AP=45AM,即APPM=41.4.如圖,已知OAB,若正實數x,y滿足x+y1,且有OP=xOA+yOB.證明:點P必在OAB內部.證明由題意可設x+y=t,t(0,1),則xt+yt=1.設P為平面內一點,且OP=xtOA+ytOB,則AP=OP