高中數(shù)學(xué)必修二 2 第2課時(shí)兩向量共線的充要條件及應(yīng)用

1、第2課時(shí)兩向量共線的充要條件及應(yīng)用 問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P31P33的內(nèi)容，思考以下問題：1兩向量共線的充要條件是什么？2如何利用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線？?jī)上蛄抗簿€的充要條件設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.則a，b(b0)共線的充要條件是x1y2x2y10名師點(diǎn)撥 (1)兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)(x20，y20)，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例(2)當(dāng)a0，b0時(shí)，ab，此時(shí)x1y2x2y10也成立，即對(duì)任意向量a，b都有x1y2x2y10ab. 判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)向量(1，2)與向量(4

2、，8)共線()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，則必有x1y2x2y1.()答案：(1)(2) 下列各組的兩個(gè)向量共線的是()Aa1(2，3)，b1(4，6)Ba2(1，2)，b2(7，14)Ca3(2，3)，b3(3，2)Da4(3，2)，b4(6，4)答案：D 已知兩點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)，與eq o(AB,sup6()平行且方向相反的向量a可能是()Aa(1，2)Ba(9，3)Ca(1，2)Da(4，8)解析：選D.由題意得eq o(AB,sup6()(1，2)，結(jié)合選項(xiàng)可知a(4，8)4(1，2)4eq o(AB,sup6()，所以D正確 已知a(3，1)，b

3、(2，)，若ab，則實(shí)數(shù)的值為_答案：eq f(2,3)向量共線的判定(1)已知向量a(1，2)，b(3，4)若(3ab)(akb)，則k_(2)已知A(1，1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？【解】(1)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因?yàn)?3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以keq f(1,3).故填eq f(1,3).(2)因?yàn)閑q o(AB,sup6()(1(1)，3(1)(2，4)，eq o(AC,sup6()(2(1)，5(1)(3，6)，因?yàn)?6340

4、，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線又eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的方向相同變問法若本例(1)條件不變，判斷向量(3ab)與(akb)是反向還是同向？解：由向量(3ab)與(akb)共線，得keq f(1,3)，所以3ab(3，6)(3，4)(0，10)，akbaeq f(1,3)b(1，2)eq f(1,3)(3，4)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(10,3)eq f(1,

5、3)(0，10)，所以向量(3ab)與(akb)同向eq avs4al()向量共線的判定方法1(2019河北衡水景縣中學(xué)檢測(cè))已知向量a(1，2)，b(，1)若ab與a平行，則()A5Beq f(5,2)C7 Deq f(1,2)解析：選D.ab(1，2)(，1)(1，3)，由ab與a平行，可得132(1)0，解得eq f(1,2).2已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3)判斷eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？解：eq o(AB,sup6()(0，4)(2，1)(2，3)，eq o(CD,sup6()(5，

6、3)(1，3)(4，6)法一：因?yàn)?2)(6)340，且(2)40，所以eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相反法二：因?yàn)閑q o(CD,sup6()2eq o(AB,sup6()，所以eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相反三點(diǎn)共線問題(1)已知eq o(OA,sup6()(3，4)，eq o(OB,sup6()(7，12)，eq o(OC,sup6()(9，16)，求證：點(diǎn)A，B，C共線；(2)設(shè)向量eq o(OA,sup6()(k，12)，eq o(OB,sup6()(4，5)，eq o(OC,sup6()(10，k)，求當(dāng)

7、k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線【解】(1)證明：由題意知eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4，8)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(6，12)，所以eq o(AC,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，即eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線又因?yàn)閑q o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()有公共點(diǎn)A，所以點(diǎn)A，B，C共線(2)法一：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，即eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線，所以存在

8、實(shí)數(shù)(R)，使得eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().因?yàn)閑q o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k，7)(10k，k12)，即eq blc(avs4alco1(4k（10k），,7（k12），)解得k2或k11.所以當(dāng)k2或k11時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線法二：由已知得eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線，因?yàn)閑q o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,s

9、up6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以k29k220，解得k2或k11.所以當(dāng)k2或k11時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線eq avs4al()判斷向量(或三點(diǎn))共線的三個(gè)步驟 1已知A，B，C三點(diǎn)共線，且A(3，6)，B(5，2)，若C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A3B9C9 D3解析：選A.設(shè)C(x，6)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，又eq o(AB,sup6()(2，4)，eq o(AC,sup6()(

10、x3，0)，所以204(x3)0.所以x3.2設(shè)點(diǎn)A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，當(dāng)x為何值時(shí)，eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相同，此時(shí)A，B，C，D能否在同一條直線上？解：eq o(AB,sup6()(2x，2)(x，1)(x，1)，eq o(BC,sup6()(1，2x)(2x，2)(12x，2x2)，eq o(CD,sup6()(5，3x)(1，2x)(4，x)由eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線，所以x214，所以x2.又eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()方向相同，所

11、以x2.所以當(dāng)x2時(shí)，eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相同此時(shí)，eq o(AB,sup6()(2，1)，eq o(BC,sup6()(3，2)，而2231，所以eq o(AB,sup6()與eq o(BC,sup6()不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上所以A，B，C，D不在同一條直線上向量共線的應(yīng)用 如圖所示，在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，eq o(OC,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()，eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()，AD與BC相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【解

12、】因?yàn)閑q o(OC,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()eq f(1,4)(0，5)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,4)，所以Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,4).因?yàn)閑q o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()eq f(1,2)(4，3)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2)，所以Deq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2).設(shè)M(x，y)，則eq o(AM,sup6()(x，y5)，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(20

13、，f(3,2)5)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(7,2).因?yàn)閑q o(AM,sup6()eq o(AD,sup6()，所以eq f(7,2)x2(y5)0，即7x4y20.又eq o(CM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x，yf(5,4)，eq o(CB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(7,4)，因?yàn)閑q o(CM,sup6()eq o(CB,sup6()，所以eq f(7,4)x4eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,4)0，即7x16y20.聯(lián)立解得xeq f(12,7)，y2，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq b

14、lc(rc)(avs4alco1(f(12,7)，2).eq avs4al()應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟 如圖所示，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于點(diǎn)F，求eq o(DF,sup6()的坐標(biāo)解：因?yàn)锳(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以eq o(AB,sup6()(37，58)(4，3)，eq o(AC,sup6()(47，38)(3，5)又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(43，3

15、5)eq f(1,2)(7，8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，4).因?yàn)镸，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以F為AD的中點(diǎn)，所以eq o(DF,sup6()eq o(FD,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)，2).1已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0)B(0，4)C(4，8) D(4，8)解析：選C.因?yàn)橄蛄縜(1，2)，b(m，4)，且ab，所以14(2)m，所以m2，所以2ab(

16、2m，44)(4，8)2若三點(diǎn)A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，則下列式子一定正確的是()A2mn3 Bnm1Cm3，n5 Dm2n3解析：選A.因?yàn)槿c(diǎn)A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以(1，m3)(2，n3)，所以eq f(1,2)，所以m3eq f(1,2)(n3)，即2mn3.3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n的值；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k的值解：(1)因?yàn)閍mbnc，所以(3，2)m(1，2)n(4，1)(

17、m4n，2mn)所以eq blc(avs4alco1(m4n3，,2mn2，)解得eq blc(avs4alco1(mf(5,9)，,nf(8,9).)(2)因?yàn)?akc)(2ba)，又akc(34k，2k)，2ba(5，2)，所以2(34k)(5)(2k)0.所以keq f(16,13).A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，則2a3b()A(5，10)B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：選B.因?yàn)槠矫嫦蛄縜(1，2)，b(2，m)，且ab，所以1m(2)20，解得m4，所以2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8)2已知a(sin ，1)，b(cos ，2)，

18、若ba，則tan ()A.eq f(1,2) B2Ceq f(1,2) D2解析：選A.因?yàn)閎a，所以2sin cos ，所以eq f(sin ,cos )eq f(1,2)，所以tan eq f(1,2).3已知向量a(1，2)，b(0，1)，設(shè)uakb，v2ab，若uv，則實(shí)數(shù)k的值是()Aeq f(7,2) Beq f(1,2)Ceq f(4,3) Deq f(8,3)解析：選B.v2(1，2)(0，1)(2，3)，u(1，2)k(0，1)(1，2k)因?yàn)閡v，所以2(2k)130，解得keq f(1,2).4若eq o(AB,sup6()i2j，eq o(DC,sup6()(3x)i(

19、4y)j(其中i，j的方向分別與x，y軸正方向相同且為單位向量).eq o(AB,sup6()與eq o(DC,sup6()共線，則x，y的值可能分別為()A1，2 B2，2C3，2 D2，4解析：選B.由題意知，eq o(AB,sup6()(1，2)，eq o(DC,sup6()(3x，4y)因?yàn)閑q o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，所以4y2(3x)0，即2xy20.只有B選項(xiàng)，x2，y2代入滿足故選B.5已知A(1，3)，Beq blc(rc)(avs4alco1(8，f(1,2)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是()A(9，1) B(9，1)C(9，1) D

20、(9，1)解析：選C.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().因?yàn)閑q o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(8，f(1,2)(1，3)eq blc(rc)(avs4alco1(7，f(7,2)，eq o(AC,sup6()(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)eq f(7,2)(x1)0，整理得x2y7，經(jīng)檢驗(yàn)可知點(diǎn)(9，1)符合要求，故選C.6已知向量a(3x1，4)與b(1，2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為_解析：因?yàn)橄蛄縜(3x1，4)與b(1，2)共線，所以2(3x1)410，解得x

21、1.答案：17已知A(2，1)，B(0，2)，C(2，1)，O(0，0)，給出下列結(jié)論：直線OC與直線BA平行；eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()；eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()；eq o(AC,sup6()eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6().其中，正確結(jié)論的序號(hào)為_解析：因?yàn)閑q o(OC,sup6()(2，1)，eq o(BA,sup6()(2，1)，所以eq o(OC,sup6()eq o(BA,sup6()，又直線OC，BA不重合，所以直線OCBA，所以正確；

22、因?yàn)閑q o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CA,sup6()，所以錯(cuò)誤；因?yàn)閑q o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()(0，2)eq o(OB,sup6()，所以正確；因?yàn)閑q o(AC,sup6()(4，0)，eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6()(0，2)2(2，1)(4，0)，所以正確答案：8對(duì)于任意的兩個(gè)向量m(a，b)，n(c，d)，規(guī)定運(yùn)算“”為mn(acbd，bcad)，運(yùn)算“”為mn(ac，bd)設(shè)m(p，q)，若(1，2)m(5，0)，則(1，2)m等于_解析：由(1，2)m(5，0)，

23、可得eq blc(avs4alco1(p2q5，,2pq0，)解得eq blc(avs4alco1(p1，,q2，)所以(1，2)m(1，2)(1，2)(2，0)答案：(2，0)9已知a(1，0)，b(2，1)(1)當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a2b共線？(2)若eq o(AB,sup6()2a3b，eq o(BC,sup6()amb且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因?yàn)閗ab與a2b共線，所以2(k2)(1)50，得keq f(1,2).所以當(dāng)keq f(1,2)時(shí)，kab與a2b共線(2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線

24、，所以eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，R，即2a3b(amb)，所以eq blc(avs4alco1(2，,3m，)解得meq f(3,2).10(1)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，求M，N及eq o(MN,sup6()的坐標(biāo)；(2)已知P1(2，1)，P2(1，3)，P在直線P1P2上，且|eq o(P1P,sup6()|eq f(2,3)|eq o(PP2,sup6()|.求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(1)法一：由A(2，4)，B(3，1)

25、，C(3，4)，可得eq o(CA,sup6()(2，4)(3，4)(1，8)，eq o(CB,sup6()(3，1)(3，4)(6，3)，所以eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()3(1，8)(3，24)，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()2(6，3)(12，6)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則eq o(CM,sup6()(x13，y14)(3，24)，eq o(CN,sup6()(x23，y24)(12，6)，所以x10，y120，x29，y22，即M(0，20)，N(9，2)，所以eq o(MN,sup6()(9，2)(0，20)(9，1

26、8)法二：設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，可得eq o(OM,sup6()eq o(OC,sup6()3(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()2(eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，從而eq o(OM,sup6()3eq o(OA,sup6()2eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()2eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，所以eq o(OM,sup

27、6()3(2，4)2(3，4)(0，20)，eq o(ON,sup6()2(3，1)(3，4)(9，2)，即點(diǎn)M(0，20)，N(9，2)，故eq o(MN,sup6()(9，2)(0，20)(9，18)(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，如圖a：則有eq o(P1P,sup6()eq f(2,3)eq o(PP2,sup6()，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，所以(x2，y1)eq f(2,3)(1x，3y)，所以eq blc(avs4alco1(x2f(2,3)（1x），,y1f(2,3)（3y），)解得eq blc(avs4alco1(xf(4,5)，,yf(3,5).)故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq blc

28、(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5).當(dāng)點(diǎn)P在線段P2P1的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖b：則有eq o(P1P,sup6()eq f(2,3)eq o(PP2,sup6()，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，所以(x2，y1)eq f(2,3)(1x，3y)，所以eq blc(avs4alco1(x2f(2,3)（1x），,y1f(2,3)（3y），)解得eq blc(avs4alco1(x8，,y9.)故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，9)綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)或(8，9)B能力提升11已知向量a(1，0)，b(0，1)，ckab(kR)

29、，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向解析：選D.因?yàn)閍(1，0)，b(0，1)，若k1，則cab(1，1)，dab(1，1)，顯然，c與d不平行，排除A、B.若k1，則cab(1，1)，dab(1，1)，即cd且c與d反向12已知向量a(2，3)，ba，向量b的起點(diǎn)為A(1，2)，終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_解析：由ba，可設(shè)ba(2，3)設(shè)B(x，y)，則eq o(AB,sup6()(x1，y2)b.由eq blc(avs4alco1(2x1，,3y2)eq blc(avs4alco1(x12，,y32.)又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上

30、，則120或320，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，0).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，0)13.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：設(shè)P(x，y)，則eq o(DP,sup6()(x1，y)，eq o(DB,sup6()(5，4)，eq o(CA,sup6()(3，6)，eq o(DC,sup6()(4，0)由B，P，D三

31、點(diǎn)共線可得eq o(DP,sup6()eq o(DB,sup6()(5，4)又因?yàn)閑q o(CP,sup6()eq o(DP,sup6()eq o(DC,sup6()(54，4)，由eq o(CP,sup6()與eq o(CA,sup6()共線得，(54)6120.解得eq f(4,7)，所以eq o(DP,sup6()eq f(4,7)eq o(DB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,7)，f(16,7)，所以P的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,7)，f(16,7).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,7)，f(16,7)14(2019江蘇揚(yáng)州中學(xué)第一學(xué)期階段性測(cè)試)設(shè)eq o(OA,sup6()(2，1)，eq o(OB,sup6()(3，0)，eq o(OC,sup6()(m，3)(1)當(dāng)m8時(shí)，將eq o(OC,su