高中數(shù)學必修二 2 第2課時兩向量共線的充要條件及應用

1、第2課時兩向量共線的充要條件及應用 問題導學預習教材P31P33的內容，思考以下問題：1兩向量共線的充要條件是什么？2如何利用向量的坐標表示兩個向量共線？兩向量共線的充要條件設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.則a，b(b0)共線的充要條件是x1y2x2y10名師點撥 (1)兩個向量共線的坐標表示還可以寫成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)(x20，y20)，即兩個不平行于坐標軸的共線向量的對應坐標成比例(2)當a0，b0時，ab，此時x1y2x2y10也成立，即對任意向量a，b都有x1y2x2y10ab. 判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)向量(1，2)與向量(4

2、，8)共線()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，則必有x1y2x2y1.()答案：(1)(2) 下列各組的兩個向量共線的是()Aa1(2，3)，b1(4，6)Ba2(1，2)，b2(7，14)Ca3(2，3)，b3(3，2)Da4(3，2)，b4(6，4)答案：D 已知兩點A(2，1)，B(3，1)，與eq o(AB,sup6()平行且方向相反的向量a可能是()Aa(1，2)Ba(9，3)Ca(1，2)Da(4，8)解析：選D.由題意得eq o(AB,sup6()(1，2)，結合選項可知a(4，8)4(1，2)4eq o(AB,sup6()，所以D正確 已知a(3，1)，b

3、(2，)，若ab，則實數(shù)的值為_答案：eq f(2,3)向量共線的判定(1)已知向量a(1，2)，b(3，4)若(3ab)(akb)，則k_(2)已知A(1，1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？【解】(1)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因為(3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以keq f(1,3).故填eq f(1,3).(2)因為eq o(AB,sup6()(1(1)，3(1)(2，4)，eq o(AC,sup6()(2(1)，5(1)(3，6)，因為26340

4、，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線又eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的方向相同變問法若本例(1)條件不變，判斷向量(3ab)與(akb)是反向還是同向？解：由向量(3ab)與(akb)共線，得keq f(1,3)，所以3ab(3，6)(3，4)(0，10)，akbaeq f(1,3)b(1，2)eq f(1,3)(3，4)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(10,3)eq f(1,

5、3)(0，10)，所以向量(3ab)與(akb)同向eq avs4al()向量共線的判定方法1(2019河北衡水景縣中學檢測)已知向量a(1，2)，b(，1)若ab與a平行，則()A5Beq f(5,2)C7 Deq f(1,2)解析：選D.ab(1，2)(，1)(1，3)，由ab與a平行，可得132(1)0，解得eq f(1,2).2已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3)判斷eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？解：eq o(AB,sup6()(0，4)(2，1)(2，3)，eq o(CD,sup6()(5，

6、3)(1，3)(4，6)法一：因為(2)(6)340，且(2)40，所以eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相反法二：因為eq o(CD,sup6()2eq o(AB,sup6()，所以eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相反三點共線問題(1)已知eq o(OA,sup6()(3，4)，eq o(OB,sup6()(7，12)，eq o(OC,sup6()(9，16)，求證：點A，B，C共線；(2)設向量eq o(OA,sup6()(k，12)，eq o(OB,sup6()(4，5)，eq o(OC,sup6()(10，k)，求當

7、k為何值時，A，B，C三點共線【解】(1)證明：由題意知eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4，8)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(6，12)，所以eq o(AC,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，即eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線又因為eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()有公共點A，所以點A，B，C共線(2)法一：因為A，B，C三點共線，即eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線，所以存在

8、實數(shù)(R)，使得eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().因為eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k，7)(10k，k12)，即eq blc(avs4alco1(4k（10k），,7（k12），)解得k2或k11.所以當k2或k11時，A，B，C三點共線法二：由已知得eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線，因為eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,s

9、up6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以k29k220，解得k2或k11.所以當k2或k11時，A，B，C三點共線eq avs4al()判斷向量(或三點)共線的三個步驟 1已知A，B，C三點共線，且A(3，6)，B(5，2)，若C點的縱坐標為6，則C點的橫坐標為()A3B9C9 D3解析：選A.設C(x，6)，因為A，B，C三點共線，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，又eq o(AB,sup6()(2，4)，eq o(AC,sup6()(

10、x3，0)，所以204(x3)0.所以x3.2設點A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，當x為何值時，eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相同，此時A，B，C，D能否在同一條直線上？解：eq o(AB,sup6()(2x，2)(x，1)(x，1)，eq o(BC,sup6()(1，2x)(2x，2)(12x，2x2)，eq o(CD,sup6()(5，3x)(1，2x)(4，x)由eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線，所以x214，所以x2.又eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()方向相同，所

11、以x2.所以當x2時，eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線且方向相同此時，eq o(AB,sup6()(2，1)，eq o(BC,sup6()(3，2)，而2231，所以eq o(AB,sup6()與eq o(BC,sup6()不共線，所以A，B，C三點不在同一條直線上所以A，B，C，D不在同一條直線上向量共線的應用 如圖所示，在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，eq o(OC,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()，eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()，AD與BC相交于點M，求點M的坐標【解

12、】因為eq o(OC,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()eq f(1,4)(0，5)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,4)，所以Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,4).因為eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()eq f(1,2)(4，3)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2)，所以Deq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2).設M(x，y)，則eq o(AM,sup6()(x，y5)，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(20

13、，f(3,2)5)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(7,2).因為eq o(AM,sup6()eq o(AD,sup6()，所以eq f(7,2)x2(y5)0，即7x4y20.又eq o(CM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x，yf(5,4)，eq o(CB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(7,4)，因為eq o(CM,sup6()eq o(CB,sup6()，所以eq f(7,4)x4eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,4)0，即7x16y20.聯(lián)立解得xeq f(12,7)，y2，故點M的坐標為eq b

14、lc(rc)(avs4alco1(f(12,7)，2).eq avs4al()應用向量共線的坐標表示求解幾何問題的步驟 如圖所示，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求eq o(DF,sup6()的坐標解：因為A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以eq o(AB,sup6()(37，58)(4，3)，eq o(AC,sup6()(47，38)(3，5)又因為D是BC的中點，所以eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(43，3

15、5)eq f(1,2)(7，8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，4).因為M，N分別為AB，AC的中點，所以F為AD的中點，所以eq o(DF,sup6()eq o(FD,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)，2).1已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0)B(0，4)C(4，8) D(4，8)解析：選C.因為向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，所以14(2)m，所以m2，所以2ab(

16、2m，44)(4，8)2若三點A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，則下列式子一定正確的是()A2mn3 Bnm1Cm3，n5 Dm2n3解析：選A.因為三點A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以(1，m3)(2，n3)，所以eq f(1,2)，所以m3eq f(1,2)(n3)，即2mn3.3平面內給定三個向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求滿足ambnc的實數(shù)m，n的值；(2)若(akc)(2ba)，求實數(shù)k的值解：(1)因為ambnc，所以(3，2)m(1，2)n(4，1)(

17、m4n，2mn)所以eq blc(avs4alco1(m4n3，,2mn2，)解得eq blc(avs4alco1(mf(5,9)，,nf(8,9).)(2)因為(akc)(2ba)，又akc(34k，2k)，2ba(5，2)，所以2(34k)(5)(2k)0.所以keq f(16,13).A基礎達標1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，則2a3b()A(5，10)B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：選B.因為平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，所以1m(2)20，解得m4，所以2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8)2已知a(sin ，1)，b(cos ，2)，

18、若ba，則tan ()A.eq f(1,2) B2Ceq f(1,2) D2解析：選A.因為ba，所以2sin cos ，所以eq f(sin ,cos )eq f(1,2)，所以tan eq f(1,2).3已知向量a(1，2)，b(0，1)，設uakb，v2ab，若uv，則實數(shù)k的值是()Aeq f(7,2) Beq f(1,2)Ceq f(4,3) Deq f(8,3)解析：選B.v2(1，2)(0，1)(2，3)，u(1，2)k(0，1)(1，2k)因為uv，所以2(2k)130，解得keq f(1,2).4若eq o(AB,sup6()i2j，eq o(DC,sup6()(3x)i(

19、4y)j(其中i，j的方向分別與x，y軸正方向相同且為單位向量).eq o(AB,sup6()與eq o(DC,sup6()共線，則x，y的值可能分別為()A1，2 B2，2C3，2 D2，4解析：選B.由題意知，eq o(AB,sup6()(1，2)，eq o(DC,sup6()(3x，4y)因為eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，所以4y2(3x)0，即2xy20.只有B選項，x2，y2代入滿足故選B.5已知A(1，3)，Beq blc(rc)(avs4alco1(8，f(1,2)，且A，B，C三點共線，則點C的坐標可以是()A(9，1) B(9，1)C(9，1) D

20、(9，1)解析：選C.設點C的坐標是(x，y)，因為A，B，C三點共線，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().因為eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(8，f(1,2)(1，3)eq blc(rc)(avs4alco1(7，f(7,2)，eq o(AC,sup6()(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)eq f(7,2)(x1)0，整理得x2y7，經(jīng)檢驗可知點(9，1)符合要求，故選C.6已知向量a(3x1，4)與b(1，2)共線，則實數(shù)x的值為_解析：因為向量a(3x1，4)與b(1，2)共線，所以2(3x1)410，解得x

21、1.答案：17已知A(2，1)，B(0，2)，C(2，1)，O(0，0)，給出下列結論：直線OC與直線BA平行；eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()；eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()；eq o(AC,sup6()eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6().其中，正確結論的序號為_解析：因為eq o(OC,sup6()(2，1)，eq o(BA,sup6()(2，1)，所以eq o(OC,sup6()eq o(BA,sup6()，又直線OC，BA不重合，所以直線OCBA，所以正確；

22、因為eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CA,sup6()，所以錯誤；因為eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()(0，2)eq o(OB,sup6()，所以正確；因為eq o(AC,sup6()(4，0)，eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6()(0，2)2(2，1)(4，0)，所以正確答案：8對于任意的兩個向量m(a，b)，n(c，d)，規(guī)定運算“”為mn(acbd，bcad)，運算“”為mn(ac，bd)設m(p，q)，若(1，2)m(5，0)，則(1，2)m等于_解析：由(1，2)m(5，0)，

23、可得eq blc(avs4alco1(p2q5，,2pq0，)解得eq blc(avs4alco1(p1，,q2，)所以(1，2)m(1，2)(1，2)(2，0)答案：(2，0)9已知a(1，0)，b(2，1)(1)當k為何值時，kab與a2b共線？(2)若eq o(AB,sup6()2a3b，eq o(BC,sup6()amb且A，B，C三點共線，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因為kab與a2b共線，所以2(k2)(1)50，得keq f(1,2).所以當keq f(1,2)時，kab與a2b共線(2)因為A，B，C三點共線

24、，所以eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，R，即2a3b(amb)，所以eq blc(avs4alco1(2，,3m，)解得meq f(3,2).10(1)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，求M，N及eq o(MN,sup6()的坐標；(2)已知P1(2，1)，P2(1，3)，P在直線P1P2上，且|eq o(P1P,sup6()|eq f(2,3)|eq o(PP2,sup6()|.求點P的坐標解：(1)法一：由A(2，4)，B(3，1)

25、，C(3，4)，可得eq o(CA,sup6()(2，4)(3，4)(1，8)，eq o(CB,sup6()(3，1)(3，4)(6，3)，所以eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()3(1，8)(3，24)，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()2(6，3)(12，6)設M(x1，y1)，N(x2，y2)則eq o(CM,sup6()(x13，y14)(3，24)，eq o(CN,sup6()(x23，y24)(12，6)，所以x10，y120，x29，y22，即M(0，20)，N(9，2)，所以eq o(MN,sup6()(9，2)(0，20)(9，1

26、8)法二：設點O為坐標原點，則由eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，可得eq o(OM,sup6()eq o(OC,sup6()3(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()2(eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，從而eq o(OM,sup6()3eq o(OA,sup6()2eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()2eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，所以eq o(OM,sup

27、6()3(2，4)2(3，4)(0，20)，eq o(ON,sup6()2(3，1)(3，4)(9，2)，即點M(0，20)，N(9，2)，故eq o(MN,sup6()(9，2)(0，20)(9，18)(2)當點P在線段P1P2上時，如圖a：則有eq o(P1P,sup6()eq f(2,3)eq o(PP2,sup6()，設點P的坐標為(x，y)，所以(x2，y1)eq f(2,3)(1x，3y)，所以eq blc(avs4alco1(x2f(2,3)（1x），,y1f(2,3)（3y），)解得eq blc(avs4alco1(xf(4,5)，,yf(3,5).)故點P的坐標為eq blc

28、(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5).當點P在線段P2P1的延長線上時，如圖b：則有eq o(P1P,sup6()eq f(2,3)eq o(PP2,sup6()，設點P的坐標為(x，y)，所以(x2，y1)eq f(2,3)(1x，3y)，所以eq blc(avs4alco1(x2f(2,3)（1x），,y1f(2,3)（3y），)解得eq blc(avs4alco1(x8，,y9.)故點P的坐標為(8，9)綜上可得點P的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)或(8，9)B能力提升11已知向量a(1，0)，b(0，1)，ckab(kR)

29、，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向解析：選D.因為a(1，0)，b(0，1)，若k1，則cab(1，1)，dab(1，1)，顯然，c與d不平行，排除A、B.若k1，則cab(1，1)，dab(1，1)，即cd且c與d反向12已知向量a(2，3)，ba，向量b的起點為A(1，2)，終點B在坐標軸上，則點B的坐標為_解析：由ba，可設ba(2，3)設B(x，y)，則eq o(AB,sup6()(x1，y2)b.由eq blc(avs4alco1(2x1，,3y2)eq blc(avs4alco1(x12，,y32.)又B點在坐標軸上

30、，則120或320，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，0).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，0)13.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點P的坐標為_解析：設P(x，y)，則eq o(DP,sup6()(x1，y)，eq o(DB,sup6()(5，4)，eq o(CA,sup6()(3，6)，eq o(DC,sup6()(4，0)由B，P，D三

31、點共線可得eq o(DP,sup6()eq o(DB,sup6()(5，4)又因為eq o(CP,sup6()eq o(DP,sup6()eq o(DC,sup6()(54，4)，由eq o(CP,sup6()與eq o(CA,sup6()共線得，(54)6120.解得eq f(4,7)，所以eq o(DP,sup6()eq f(4,7)eq o(DB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,7)，f(16,7)，所以P的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,7)，f(16,7).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,7)，f(16,7)14(2019江蘇揚州中學第一學期階段性測試)設eq o(OA,sup6()(2，1)，eq o(OB,sup6()(3，0)，eq o(OC,sup6()(m，3)(1)當m8時，將eq o(OC,su