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1、設(shè)有復數(shù)項級數(shù) 其中每一項都是復數(shù) (為實數(shù), i為 虛數(shù)單位, ), 則 (1) 式可寫成 以 Sn 表示 (1) 的前 n , 并記返回3 復變量的指數(shù)函數(shù) 則有若用A, B 分別記這兩個極限值, 則級數(shù)(1)的和為A+iB. 據(jù)此, 級數(shù)(1)收斂的充要條件是: 級數(shù)都收斂.級數(shù)(1)各項 un 的模為若級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)(1)絕對收斂. 由關(guān)系式可證得: 若級數(shù)(1)絕對收斂, 則級數(shù)(1)必收斂.設(shè)為復數(shù), z為復變量, 則稱級數(shù)為復數(shù)項冪級數(shù). 若使得級數(shù)(3)收斂, 則稱其 在點z0收斂. 所有使級數(shù)(3)收斂的全體復數(shù)構(gòu)成復 數(shù)項冪級數(shù)(3)的收斂域. 記這時和1實數(shù)項冪級數(shù)

2、一樣可證得: 級數(shù)(3)對一切滿足 級數(shù)(3)的收斂半徑(當 時, ; 當原點為中心, R為半徑的圓.例如級數(shù)由于), 則級數(shù)(3)的收斂范圍是復平面上的以原 時, 故級數(shù)(4)的收斂半徑 , 即(4)在整個復平面上都是收斂的, 當 z 為實變量x時, (4)的和函數(shù)為實. 因此, 我們也把級數(shù)(4)的和函數(shù), 變量的指數(shù)函數(shù) 定義為復變量z的指數(shù)函數(shù) , 即用同樣的方法可定義復變量的正弦函數(shù)與余弦函 數(shù):它們的收斂域都是整個復平面.以iz代替(5)式中的z, 可得聯(lián)系(6)與(7)式, 就有當z為實變量 x 時, 則得它稱為歐拉公式. 這個公式給出了(實變量)指數(shù)函 數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系.由于任一復數(shù) z 都可寫作(r為z的模, 即為 z 的輻角), 那么由歐拉公式可 得復數(shù)的

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