2022屆上海市實驗學校高三沖刺模擬卷（五）數(shù)學試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2022屆上海市實驗學校高三沖刺模擬卷(五)數(shù)學試題一、單選題1、是空間兩條直線，是平面，以下結論正確的是（）A如果，則一定有B如果，則一定有C如果，則一定有D如果，則一定有【答案】D【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系逐一核對四個選項得答案【詳解】對于A，若，則有或與相交或與異面，故錯誤；對于B、C，如果，則有或，故B、C錯誤；對于D，如果，則垂直內的所有直線，又，則過與相交的平面交于，則，故D

2、正確故選：D 2已知函數(shù)，且，則的值（）A一定等于零B一定大于零C一定小于零D正負都有可能【答案】B【分析】由已知可得為奇函數(shù)，并且在上是增函數(shù). 所以由,得，由得由得，從而可得解.【詳解】由已知,可得,所以為奇函數(shù)，又因為 在上單調遞增，所以在上是增函數(shù). 所以,由得由得，故，所以，故選B.【點睛】本題考查運用函數(shù)的奇偶性和單調性判斷表達式的符號，關鍵在于利用單調性和奇偶性由,可得，屬于中檔題.3已知點與點在直線的兩側，給出以下結論：；當時，有最小值，無最大值；當且時，的取值范圍是.正確的個數(shù)是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】由與的位置關系有，數(shù)形結合法判斷位置，結合的幾何意義判斷、的

3、范圍，應用點線距離公式有判斷.【詳解】將代入有，而與在的兩側，則，錯誤；由上知：且，則在直線上方與y軸右側部分，所以，故無最值，錯誤；由上圖知：在直線左上方，則，正確；由過且且，即在直線上方與y軸右側部分，而表示與連線的斜率，由圖知：，正確.故選：B4已知以為周期的函數(shù)，其中.若方程恰有5個實數(shù)解，則的取值范圍為（）ABCD【答案】B【分析】作出函數(shù)和的圖象，要想使方程恰有5個實數(shù)解，則需直線處在函數(shù)在內的曲線切線和之間【詳解】解：作出函數(shù)和的圖象如圖：若方程恰有5個實數(shù)解，則直線處在函數(shù)在內的曲線切線和之間函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，此時，此時兩個函數(shù)不相交當，時，由，得，則由，得，整理得，解

4、得，當，時，即，將代入整理得，即，由判別式得要使方程恰有5個實數(shù)解，則，即的取值范圍為，故選：B二、填空題5設集合，則_.【答案】【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集定義求交集【詳解】由得，又，所以故答案為：【點睛】本題考查集合的交集運算，解題關鍵是確定集合中的元素本題考查了指數(shù)不等式的求解6在中， 則_.【答案】【分析】由正弦二倍角公式得，再看作分母為1的分式，化為的齊次式，再化為計算【詳解】.故答案為：7已知復數(shù)為虛數(shù)單位），表示的共軛復數(shù)，則_.【答案】1【分析】先由復數(shù)除法求得，然后再計算【詳解】，故答案為：1【點睛】本題考查復數(shù)的運算，掌握復數(shù)四則運算法則是解題基礎本題還考查了共軛復數(shù)的

5、概念8若等比數(shù)列的公比滿足且則_.【答案】【分析】先根據(jù)已知求出，再求得解.【詳解】由題得.所以.故答案為16【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算和等比數(shù)列的和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9若函數(shù)存在反函數(shù)，則_.【答案】【分析】函數(shù)在上存在反函數(shù)，則函數(shù)在上應是單調函數(shù)由此可確定值，然后求，再計算【詳解】，若，則函數(shù)在和上遞增，在上遞減，若，則函數(shù)在和上遞增，在上遞減，若，則函數(shù)在上遞增，函數(shù)存在反函數(shù)，即，由得時，即故答案為：【點睛】本題考查反函數(shù)解題關鍵是確定函數(shù)存在反函數(shù)的條件，求出函數(shù)解析式在求反函數(shù)值時，直接令，解得即可10在數(shù)學解題中，時常會碰到形如“

6、”的式子，它與“兩角和的正切公式”的結構類似.若，則_.【答案】【分析】將已知條件左邊分式分子分母同時除以，結合兩角和的正切公式，求得的值.【詳解】由已知分子分母同時除以得，.又，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查齊次方程的計算，屬于中檔題.11已知遞增數(shù)列共有項，且各項均不為零，如果從中任取兩項，當時，仍是數(shù)列中的項，則數(shù)列的各項和_【答案】【詳解】當時，仍是數(shù)列中的項，而數(shù)列是遞增數(shù)列，所以必有，利用累加法可得：，故，得，故答案為.點睛：本題主要考查了數(shù)列的求和，解題的關鍵是單調性的利用以及累加法的運用，有一定難度；根據(jù)題中條件從中任取兩項，當時，仍是數(shù)列中的項，

7、結合遞增數(shù)列必有，利用累加法可得結果.12某小區(qū)有排成一排的8個車位，現(xiàn)有5輛不同型號的轎車需要停放，則這5輛轎車停入車位后，剩余3個車位連在一起的概率為_（結果用最簡分數(shù)表示）.【答案】【分析】這5輛轎車停入車位后，剩余3個車位連在一起的方法數(shù)可以先考慮三個車位連在一起，剩下的5個車位停放5輛轎車共有可方法再求得8個車位任意停5輛車子方法數(shù)后可求得概率【詳解】5輛轎車停入車位后，剩余3個車位連在一起的方法數(shù)有種，8個車位任意停5輛車子方法數(shù)為，所以概率為故答案為：【點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是求出基本事件的個數(shù)，特別所求概率事件所含基本事件的個數(shù)13函數(shù)，如果方程有四個不同的實數(shù)解，則

8、_.【答案】【分析】作出的圖象，可得和的圖象有四個不同的交點，不妨設交點橫坐標，由，關于原點對稱，關于點對稱，即可得到所求的和.【詳解】作出的圖象，方程有四個不同的實數(shù)解，等價為和的圖象有四個不同的交點，不妨設交點橫坐標為，且，由，關于原點對稱，關于點對稱，可得，則，故答案為：【點睛】本題主要考查了函數(shù)方程的轉化思想，考查數(shù)形結合的思想以及對稱性的運用，屬于中檔題.14三條側棱兩兩垂直的正三棱錐，其俯視圖如圖所示，主視圖的邊界是底邊長為2的等腰三角形，則主視圖的面積等于_【答案】【分析】由題意，正三棱錐有三個面都是等腰直角三角形，且邊長相等根據(jù)俯視圖可得，底面是邊長為2的等邊三角形利用體積法，

9、求其高，即可得主視圖的高可得主視圖的面積【詳解】解：由題意，正三棱錐有三個面都是等腰直角三角形，（如圖：，且邊長相等為，其體積為根據(jù)俯視圖可得，底面是邊長為2的等邊三角形其面積為：設主視圖的高，則主視圖的邊界是底邊長為2的等腰三角形，其高為得面積故答案為【點睛】本題考查了三視圖與空間幾何體的體積和表面積的計算，考慮空間想象能力，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀15在直角中，是內一點，且，若，則的最大值_【答案】【詳解】由已知可得 .【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積、向量的分解和基本不等式，涉及數(shù)形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力和運算求解能力，具有一定的綜合性，屬于中檔

10、題型. 將已知條件兩邊平方得.16無窮數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)都有，則的可能取值最多有_個【答案】91【分析】根據(jù)數(shù)列遞推公式可得，而，分類討論即可求出答案【詳解】解：，而，若，則有種，若，則有，根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有種，故答案為：91【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式和分類計數(shù)原理，考查了學生的轉化能力，屬于中檔題三、解答題17如圖所示，球O的球心O在空間直角坐標系Oxyz的原點，半徑為1，且球O分別與x，y，z軸的正半軸交于A，B，C三點.已知球面上一點.（1）求D，C兩點在球O上的球面距離；（2）求直線CD與平面ABC所成角的大小.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出球心角，

11、即可求D，C兩點在球O上的球面距離；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直線CD與平面ABC所成角的大小.【詳解】解：（1）由題意，D，C兩點在球O上的球面距離為；（2），重心坐標為，平面ABC的法向量為，直線CD與平面ABC所成角的正弦，直線CD與平面ABC所成角的大小為.【點睛】本題考查球面距離，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.18如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，其中，為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會決定在直線海岸和上分別修建觀光長廊和AC，其中是寬長廊，造價是元/米，是窄長廊，造價是元/米，兩段長廊的總造價為120萬元，同時在線段上靠近點的三等分點處建一個觀光

12、平臺，并建水上直線通道（平臺大小忽略不計），水上通道的造價是元/米(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內開發(fā)水上游樂項目，要求的面積最大，那么和的長度分別為多少米？(2) 在(1)的條件下，建直線通道還需要多少錢？【答案】（1）和AC的長度分別為750米和1500米（2）萬元【詳解】試題分析：（1）設長為米，長為米，依題意得，即，表示面積,利用基本不等式可得結論；（2）利用向量方法，將表示為，根據(jù)向量的數(shù)量積與模長的關系可得結果.試題解析：（1）設長為米，長為米，依題意得，即， = 當且僅當，即時等號成立，所以當?shù)拿娣e最大時，和AC的長度分別為750米和1500米（2）在(1)的條件下，因為由得 ， 元

13、所以，建水上通道還需要萬元解法二：在中， 在中， 在中，=元所以，建水上通道還需要萬元解法三：以A為原點，以AB為軸建立平面直角坐標系，則，,即，設 由，求得， 所以所以， 元所以，建水上通道還需要萬元19對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：在內是單調函數(shù)：當定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值區(qū)間”.（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見詳解；（2）或；（3）【分析】（1）根據(jù)“保值函數(shù)”的定義分析即可（2）按

14、“保值函數(shù)”定義知，轉化為是方程的兩個不相等的實根，利用判別式求解即可（3）去掉絕對值，轉化為不等式組，分離參數(shù)，利用函數(shù)最值解決恒成立問題.【詳解】（1）函數(shù)在時的值域為，不滿足“保值函數(shù)”的定義，因此函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”.（2）因為函數(shù)在內是單調增函數(shù)，因此，因此是方程的兩個不相等的實根，等價于方程有兩個不相等的實根.由解得或.（3），即為對恒成立.令，易證在單調遞增，同理在單調遞減.因此，.所以解得.又或，所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了新概念，函數(shù)的單調性，一元二次方程有解，絕對值不等式，恒成立，屬于難題.20（1）設橢圓與雙曲線有相同的焦點、，是橢圓與雙曲線的公共點

15、，且的周長為6，求橢圓的方程；我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；（2）如圖，已知“盾圓”的方程為，設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；（3）由拋物線?。ǎ┡c第（1）小題橢圓?。ǎ┧铣傻姆忾]曲線為“盾圓”，設過點的直線與“盾圓”交于、兩點，且（），試用表示，并求的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），；，；.【分析】（1）由由的周長為得,由橢圓與雙曲線共焦點可得值,根據(jù)平方關系求得,進而即可得到橢圓方程；（2）設“盾圓”上的任意一點的坐標為,分為與兩種情況表示出,再分別計算,即可求得定值；（3）由“盾圓”的對稱性

16、,不妨設在軸上方（或軸上）,分類討論：時,在橢圓弧上；時,在拋物弧上,由條件可表示出此時,相應地, 再按時, 在拋物弧上,在橢圓弧上；當時,在橢圓弧上, 在拋物弧上；當時, 、在橢圓弧上,利用三角函數(shù)性質分別求出的范圍【詳解】（1）由的周長為得,橢圓與雙曲線有相同的焦點,所以,即,則,則橢圓的方程為（2）證明：設“盾圓”上的任意一點的坐標為,當時,即；當時,即；所以為定值.（3）顯然“盾圓”由兩部分合成,所以按在拋物弧或橢圓弧上加以分類,由“盾圓”的對稱性,不妨設在軸上方（或軸上）；當時,此時,；當時,在橢圓弧上,由題設知代入得,整理得,解得或（舍去）當時,在拋物弧上,方程或定義均可得到,于是,綜上,或；相應地,當時, 在拋物弧上,在橢圓弧上,；當時,在橢圓弧上, 在拋物弧上,;當時, 、在橢圓弧上,；綜上, ，；，； 的取值范圍是【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查兩點間距離公式,考查參數(shù)方程的應用,考查推理論證的能力,考查分類討論思想,考查運算能力21對于定義域為R的函數(shù)，部分與的對應關系如表：（1）求：（2）數(shù)列滿足，且對任意，點都在函數(shù)的圖象上，求（3）若，其中，求此函數(shù)的解析式，并求【答案】（1）2