2022屆上海市高三高考沖刺卷五數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2022屆上海市高三高考沖刺卷五數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的韋恩圖是（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，解得或，則，又因?yàn)?，所以集合與集合有公共元素0，且沒有包含關(guān)系，故選項(xiàng)A中的韋恩圖是正確的.故選：A.2已知、為非零向量，未知數(shù)，則“函數(shù)為一次函數(shù)”是“”的（）條件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義以及

2、向量的運(yùn)算和性質(zhì)分別判斷即可【詳解】，若，則，如果同時(shí)有，則函數(shù)恒為0，不是一次函數(shù)，故是不必要條件；如果是一次函數(shù)，則，故，故是充分條件.故選：A3古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：他們研究過圖（1）中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，所以將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖（2）中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，則下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是ABCD【答案】C【分析】記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，計(jì)算可得；易知據(jù)此確定復(fù)合題意的選項(xiàng)即可.【詳解】記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則，易得通項(xiàng)公式為；同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為將四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)字分別代入上

3、述兩個(gè)通項(xiàng)公式，使得都為正整數(shù)的只有故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的方法，數(shù)列求和的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.40-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗(yàn)即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，對(duì)于選項(xiàng)A，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，不滿足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能

4、力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.二、填空題5已知一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是，其解為，則_【答案】1【分析】列出方程組，根據(jù)其解為求解.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是，所以關(guān)于x、y的二元一次方程組是，又因?yàn)槠浣鉃?，所以，則，故答案為：16計(jì)算：_【答案】【分析】將式子分母有理化后即可求解.【詳解】.故答案為：7下列說法正確的是_.兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)；過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；若直線平面，直線平面，則.【答案】【分析】根據(jù)空間中直線之間的位置關(guān)系可判斷、，再由線面垂直的性質(zhì)可判斷.

5、【詳解】解：對(duì)于，如圖，兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)，故正確；對(duì)于，過空間中不在同一直線上的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若直線平面，直線平面，則，故正確.正確的是.故答案為：.8從鍵盤俠中隨機(jī)抽取100名小學(xué)生，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）若要從身高在、三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取17人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_【答案】6【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖求出各組的頻率，再利用分層抽樣計(jì)算出身高在內(nèi)的學(xué)生數(shù)作答.【詳解】由頻率分布直方圖知，身高在內(nèi)的頻

6、率依次為，因此，身高在內(nèi)的頻率為，則身高在內(nèi)的人數(shù)比為：，所以利用分層抽樣抽取的17人中，在內(nèi)的人數(shù)為：.故答案為：69對(duì)于復(fù)數(shù)a、b、c、d，若集合具有性質(zhì)“對(duì)任意，必有”，則當(dāng)時(shí)，_【答案】【分析】由題意可得，結(jié)合題意分類討論確定集合【詳解】，則，即，則若，則取，則若，則取，則，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故答案為：10在的展開式中，x的系數(shù)為_【答案】17【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式，再分析計(jì)算作答.【詳解】因，則在的展開式中，含x的項(xiàng)為：，所以所求x的系數(shù)為17.故答案為：1711已知函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像與x軸交于A點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖像與y軸交于B點(diǎn)，并且這兩個(gè)函數(shù)的

7、圖像交于P點(diǎn)已知四邊形的面積是7，則k的值為_【答案】【分析】根據(jù)題意可得，可求得，結(jié)合題意利用面積求解【詳解】，則，則聯(lián)立方程，解得，即四邊形的面積為，解得故答案為：12在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為_【答案】【分析】求出直線l的普通方程，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離列式，借助二次函數(shù)求解作答.【詳解】依題意，直線l的普通方程為：，設(shè)點(diǎn)，于是得點(diǎn)P到直線l的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為.故答案為：13已知復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，集合，若在集合M中任取

8、兩個(gè)數(shù)，則其和為零的概率為_【答案】【分析】由題意解出，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方以及集合的互異性確定，根據(jù)古典概型處理運(yùn)算【詳解】，即，解得當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，則集合有4個(gè)元素：，即若在集合M中任取兩個(gè)數(shù)，共有如下可能：，共6個(gè)基本事件，其和為零的有，共2個(gè)基本事件，則其和為零的概率為故答案為：14設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_【答案】【分析】根據(jù)圖像結(jié)合幾何知識(shí)可證，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【詳解】的傾斜角，設(shè)圓、與直線的切點(diǎn)分別為，連接，過作，垂足為，則，整理得數(shù)

9、列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，即，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則有：兩式相減得：即故答案為：15如圖，是圓錐底面中心O到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為_【答案】【分析】旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)圓錐，用體積公式求出體積，再計(jì)算出大圓錐的體積，根據(jù)兩體積的關(guān)系可獲解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的一條母線為，其中為頂點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于，令圓錐的體積為，母線與軸線的夾角為，則，將看作是底面積相同的兩個(gè)圓錐，則有，從而可得，于是有，（由于為銳角）所以.故答案為：16已知平面向量滿足，記向量在、方向上的投影分別為x、y，在方向上的投影為z，則的最小值為_【答案】【分析】設(shè)，由平面向量的知識(shí)

10、可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設(shè)，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.三、解答題17已知函數(shù)為實(shí)常數(shù).（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，理由見解析；（2）.【分析】（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可求得的值；又當(dāng)時(shí)，且，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（2）對(duì)任意，不等式恒成立，化簡(jiǎn)不等式參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出最值，代入得出實(shí)數(shù)u的最大值【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，即；故此時(shí)函

11、數(shù)是奇函數(shù)；因當(dāng)時(shí)，故，且于是此時(shí)函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；（2）因是奇函數(shù)，故由（1）知，從而；由不等式，得，令因，故由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以；因此，當(dāng)不等式在上恒成立時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解18流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，11月1日該市的新感染者有3

12、0人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者減少20人.（1）若，求11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)；（2）若到11月30日止，該市在這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，問11月幾日，該市新感染者人數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.【分析】（1）根據(jù)題意數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可；（2）11月日新感染者人數(shù)最多，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列公式求和解方程即可得答案.【詳解】解：

13、（1）記11月日新感染者人數(shù)為，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，則11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)為：人；（2）記11月日新感染者人數(shù)為，11月日新感染者人數(shù)最多，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，因?yàn)檫@30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，所以，得，即解得或(舍)，此時(shí)所以11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)建模能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于建立等差數(shù)列模型，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，進(jìn)而求和解方程.19如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺(tái)形（正四棱錐被平行于底面的平面截去一個(gè)小正四棱錐后剩下的多面體）玻璃容器的高均為，容器的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，

14、容器的兩底面對(duì)角線、的長(zhǎng)分別為和分別在容器和容器中注入水，水深均為現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長(zhǎng)度為（容器厚度，玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）(1)求容器、容器的容積；(2)將l放在容器中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱上，求l沒入水中部分（水面以下）的長(zhǎng)度；將l放在容器中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱上，求l沒入水中部分（水面以下）的長(zhǎng)度【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）利用正四棱柱和正四棱臺(tái)的體積公式計(jì)算作答.（2）分別作出玻璃棒l所在的正四棱柱和正四棱臺(tái)的對(duì)角面，借助解三角形知識(shí)分別求解作答.【詳解】(1)容器的底面正方形面積，其容積，容器的底面面積，底面面積，容器的容積.(2)由正四棱

15、柱的定義知，對(duì)角面是矩形，設(shè)玻璃棒的另一端落在上的點(diǎn)M處，如圖，由得：，設(shè)與水面的交點(diǎn)為，過作交AC于，在容器中，平面，則平面，因此，所以玻璃棒l沒入水中部分（水面以下）的長(zhǎng)度為.是正四棱臺(tái)兩底面中心，由正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，對(duì)角面是等腰梯形，點(diǎn)分別是兩底的中點(diǎn)，設(shè)玻璃棒的另一端落在上的點(diǎn)N處，如圖，過G作交于點(diǎn)K，則，而，因此，顯然為鈍角，在中，由正弦定理得，于是得，設(shè)與水面的交點(diǎn)為，過作交直線EG于，在容器中，平面，則平面，因此，所以玻璃棒l沒入水中部分（水面以下）的長(zhǎng)度為.20在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)設(shè)

16、直線與第（1）問的曲線C交于不同的兩點(diǎn)E、F，以線段為直徑作圓D，圓心為D，設(shè)是圓D上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求的最大值；(3)設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】(1)(2)(3)存在， 或【分析】（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)所給的條件列方程即可求解；（2）由于橢圓的對(duì)稱性，圓D的圓心必定在y軸上，G點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值必定在y軸上，立方程解出 的解析式，求導(dǎo)即可；（3）作圖，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和三角形面積公式即可求解.【詳解】(1)設(shè) ，依題意有 ， ，即 ，整理得： 或 ；(2)當(dāng) 時(shí)， ，即圓D的半徑為 ，當(dāng) 最大時(shí)，必有 ，

17、 ，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，在時(shí)， 取最大值= ；(3)設(shè) ， ，當(dāng) 時(shí)，有 ,由弦長(zhǎng)公式得 ， ， ， ，此時(shí) ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或 ;綜上，軌跡C的方程為 ， 取最大值=，存在，P 或P.21在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數(shù)：，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)解方程：；(2)寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：_，并證明；(3)無窮數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)，理由見解析.【分析】（1）直接解方程，先解出，即可求出x的解；（2）類比兩角和的正弦公式寫出即可，結(jié)合雙曲函數(shù)定義以及指數(shù)運(yùn)算法則，證明左式等于右式即可；（3）分及討論，由形式可類比余弦二倍角公式和雙曲余弦二倍角公式（用類比（2）的方式證明），即可分別構(gòu)造并用數(shù)學(xué)歸納法證明，（，），或，（，m為不為0的實(shí)數(shù)），最后求解，即可得出結(jié)果.【詳解】