普遍方程與拉氏

1、in(F動力學普遍方程i rFI)i0i 1第二類拉氏方程LLd()0當主動力均為有：L=T-Vdtq jqj當主動力既有有又有非有：d( L) Q 非有的廣義力jdtqjjdT (j=1,2,k)d t qj j解：自由度2廣義坐標:q1q2 vCA x,vA x,vC vA x lcos lsinvCxvCy12m v 1 m1 J22T 2v 21A2CC2 1 (m2 m lm )x m xlcos222122223例7：圖示機構在鉛垂面內運動，勻質桿AB長為2l，用光滑鉸鏈與滑塊連接,有主動力F(t)作用。試求系統(tǒng)運動微分方程。(m m )x m l cos m l2 sin kx

2、F(t)12221 m (2l)2 m lxcos m glsin 0 3222(m m )x m L cos m L2 sin kx F(t)12221 m (2l)2 m Lxcos m gLsin 0 3222 r2 (r)2 2q r, qv解： 自由度2廣義坐標:12BT 1 P r2 1 P (r2 r 2 2 )2 g2 g(2r 2 r 2 2 )0 , r 0P2 g 令Q wr P cos r P cos2r r 2 g cos 0r 2r g sin 0r r r令 r 0, 0 w Pr sin Pr sin Qd T T Qdt d T T Qdt rrr例8：物體A

3、重力為P，放在光滑平面上，被繩索約束，繩的另一端懸掛重力為P的B物體，試求系統(tǒng)運動微分方程。：解自由度211211J 2222TmvC mvJOO2C1222 m r 22m3 vrJ 2 )mr2( r 3JO2CO124 3r2 vvcosv2O22vvvCCO OCO1CO12(v222)(vcos v22vvvsin)CCxCyOCO1CO133r (3(cors 2 22222)22vrsin)2 2 rcosC11111122r 29r 3 2222cos r212114例9：徑半均為r、為均量質m動圓滾質純勻做的面動地滾在純盤做圓面質地勻在的盤，其 為長掛質3r，為桿量質質勻m的

4、桿質勻的。的。桿。程。質程方勻方動的動擺微統(tǒng)系求試。試。 232V mgr( 1 ) 121252343 mgr2 L 22 3 32) 2mr (mgr2211152 31 0 2 g 0211r解微分方程組7 g 7r 5g 0T 2 0得：1111n5r5g7rd ( L ) L 0 dt11d ( L ) L 0 dt22q1 x1, q2 x2解:廣義坐標:x2 O x1自由度2T 1 m x 1 m x 1 JC22 2A1 122C222 1m m ）x m x m x22x（ r xx12122221221V m1gx1 sin m2 gx2 sin L T Vm x m g

5、sin 0（m m ）x121221 2x2 g sin 0 x1d ( L ) L 0 dtx2x2d ( L ) L 0 dtx1x1例10：無重繩索一端懸掛質量m1物塊A，另一端繞質量m2、作滾動的空心圓柱C，斜面光滑,輪O質量不計。試求系統(tǒng)運動微分方程。例11：二個重力為P的勻質圓柱，圓柱B繞繩后下滾。試求：下滾時運動方程。若在圓盤B上作用一順時針的常值力偶M如圖示，則廣義力為：部分習題解在圖示系統(tǒng)中，已知：圓環(huán)C的質量為m，半徑為R，掛在一半徑為r的固定圓柱O上，圓環(huán)C與圓柱O之間無相對滑動。試以為廣義坐標，用第二類程。日方程建立系統(tǒng)的運動微分方T 02srinR)2R( g0車廂的

6、振動可以簡化為支承于兩個彈簧上的物體在鉛垂面內的振動如圖。已知：車廂的質量為m，質心C的位置用l1與l2表示，車廂相對于質心C的轉動慣量JCm，兩彈簧的剛度系數分別為k和k。設水平位置為系統(tǒng)的初始平衡位置，試用拉格朗日方程建立車廂的振動微分方程。解：取廣義坐標為z、T 1 mz2 1 J 1 mz2 1 m 2 2 2C2222在平衡位置有mg k110 k220k1k110l1 k220l2l1V mgz 1 k ( z l 1 k ( z l ) 22) 222011101022202212 1 k (z lk (z l ) k (z l ) k (z l )V mgz 2)2111110

7、222220212l ) 1 k (z lT 1 mz2 1 m 2 2 2)2k (z1122222TzTdTd t zTTdTd t mz 0 m 2 mz m 2 0z V V( z l ) k ( z l k k l ( z l ) k l ( z lQ)Q)z1122z1 112 22mz k1 (z l1 ) k2 (z l2 ) 0m k l ( z l ) kl ( z l) 021 11222d T T Qdt d T T Qdt z zz一半徑為、質量為的勻質圓柱可沿三棱體的斜面無滑動滾下，而棱柱體又在一光滑的水平面上滑動。棱柱體的質量為，斜面的傾角為。試用郎日方程求棱柱體

8、的加速度及圓柱中心點相對棱柱體的加速度。12121 12 22xs cos ) T m xm (x s2222m s211V m1 gs sin TTsdd tTsQs m (s x cos ) 1 m s m x m (x s cos )2111x2dTd t xTTs 03 x cos ) m x m ( x scos ) m1 ( 2 s21 0 xQxVVx m1 g sin 0s得：m1g sin 2m1g sin 2x 加速度：s 3(m m ) 2m cos2 3m m ) 2m sin 21212112(m1 m2 ) sin 2 3m m2msin211m2 x m1 (x

9、scos ) 03m1 ( 2 s x cos ) m1 g sin 12121 12 22xs cos ) T m xm (x s2222m s法二211V m1 gs sin 12121 12 22xs cos ) m s m gs sinL T V m x s2222m (x2111L L ( x, s, s)x為循環(huán)坐標，又T=T2，存在能量積分。Tx m x m (x s cos ) C21112121 12 2cos ) m s m gs sin CT V m xm (x s2 2xs22221112對時間t求導的二階運動微分方程：m2 x m1 (x scos ) 01(m1 m

10、2 ) xx m1 ss m1 xs cos m1 xscos 2 m1 ss m1 gs sin 0m2 x m1 (x scos ) 01(m1 m2 ) xx m1 ss m1 xs cos m1 xscos 2 m1 ss m1 gs sin 0第1式已經與法一結果相同，而第2式為：x( m1 m2 ) x m1scos s 2 m1s m1 x cos m1 g sin 03得：3m1 ( 2 s x cos ) m1 g sin 01212m x (R r)2 2 2x(R r) cos 1 2 m (R r)2 2T Txm x 221222 5T 7 m (R r)2 m (R

11、 r)x cos m x m x (R r) cos12225dT m x m x ( R r ) cos ( R r ) 2 sin 12d t xTdd t7 m ( R r )( R r ) x cos x sin 52T 0T m2 x(R r) sin x w ( F kx ) x x wx m g ( R r ) sin QQ F kxs2x xm1 x m2 x ( R r ) cos ( R r )2sin F kx7 ( R r ) xcos x sin x sin g sin 5在圖示機構中，質量為的質點在一半徑為的圓環(huán)內運動，圓環(huán)對軸的轉動慣量為。欲使此圓環(huán)在矩為的力偶作

12、用下以等角速度繞鉛直軸轉動。試用和質點的運動微分方程。日方程求力偶矩T 1 J 2 1 mr 2 2 sin2 r 22 2 J mr 2 sin 2 2TT mr 2Tsdd tTdTd t 2 mr ( J mrsin 2 ) mr2 sin 22T mr 2 2 sin cos 0M w MQ w mgr sin mgr sin Q sin 2 ) mr 2 sin 2 M( J mr2 1 2 sin 2 g sin 0等角速轉動 02r：若只求質點的運動規(guī)律，在圓環(huán)轉動為常數的前提度（）來求解。下，則系統(tǒng)可作為單11 22 r sin22r22TJm22mgcros 函氏拉V數函氏拉拉氏函數:數:11J 2 sirn2r 22mgr cos TV22Lm22因為:T=T0+T2，所以存在廣義能量積分T2-T0+V=C。即mr2 2J2 s2inmr2 2對時間t求導得: 1g 2T0部分可看作外部能量。2sinsin02r拋物線的光滑金屬絲以勻角速 繞鉛直軸轉動，一質量為m的小環(huán)D套在此金屬絲上。已知金屬絲的拋物線方程為x2=4by。試用廣義能量積分求小環(huán)的運動微分方程。解：取廣義坐標為xy1T mv2D2AB (x)2v2v2Drx2=4byO 4b x222xxD x2 y 2 x2 (v22x2)r4b24bmg4b2 x