一題多解一題多變

1、1.給學(xué)生分宿舍，每間住4人，剩19人無(wú)宿舍住；每間住6人，有一間宿舍住不滿。（1）如果有x間宿舍，那么可以列出關(guān)于x的不等式組為：（2）可能有多少間宿舍？多少名學(xué)生？你得到了幾個(gè)解？它們都符合題意嗎？解：由題意可得學(xué)生人數(shù)是4x+19人，每間住6人時(shí)，沒(méi)住滿的房間中的人數(shù)是4x+19-6(x-1)人，由題意可得04x+19-6(x-1)62、把04x+19-6(x-1)6化簡(jiǎn)得， 025-2x6, 解得9.5X12.5因?yàn)閄是整數(shù)，所以X=10，或11，或12。當(dāng)X=10時(shí)，4x+19=59人當(dāng)X=11時(shí)，4x+19=63人當(dāng)X=12時(shí)，4x+19=67人答：有10間宿舍，59名學(xué)生或有11

2、間宿舍，63名學(xué)生或有12間宿舍，67名學(xué)生。都符合題意。2.如圖，已知D、E在BC上，AB=AC，AD=AE， 求證：BD=CE. （本題來(lái)自幾何第2冊(cè)69頁(yè)例3） 思路與解法一：從ABC和ADE是等腰三角形這一角度出發(fā)，利用等腰三角形底邊上的三線合一這一重要性質(zhì)，便得三種證法，即過(guò)點(diǎn)A作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是等腰三角形底邊上的三線合一，證得BH=CH. 思路與解法二：從證線段相等常用三角形全等這一角度出發(fā)，本題可設(shè)法證ABDACE或證ABEACD，于是又得兩種證法，而證這兩對(duì)三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS進(jìn)行證明，所以實(shí)際是六種證法。其通性是全等三角形

3、對(duì)應(yīng)邊相等。 思路與解法三：從等腰三角形的軸對(duì)稱性這一角度出發(fā)，于是用疊合法可證3. 如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形已知：如圖1，在ABC中，AD=BD=CD求證：ABC是直角三角形證法1 如圖1，利用兩銳角互余AD=CD，CD=BD，1=A，2=B。在ABC中，A+B+ACB=180，A+B+1+2=180，2（A+B）=180，A+B=90，ACB=90，ABC是直角三角形。證法2 如圖2，利用等腰三角形的三線合一延長(zhǎng)AC到E使CE=AC，連接BEAD=BD，CD是ABE的中位線。，AB=BEBCAC，ABC是直角三角形證法3 如圖3，利用此三角形與某

4、個(gè)直角三角形相似（或全等）過(guò)點(diǎn)D作DEBC交BC于點(diǎn)ECD=BD，B是公共角，BDEBAC。ACB=DEB=90，ABC是直角三角形。證法4 如圖4，利用如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，則也垂直于另一條取BC中點(diǎn)E，連接DEAD=BD，DE是ABC的中位線DEACCD=BD，CE=BE，DEBCACBC，ABC是直角三角形4.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BC=AB+CD，E是AD 中點(diǎn)。求證：BEC=90變換1：如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BC=AB+CD，E是AD中點(diǎn)。求證：CEBE 變換2：如圖，在梯形ABCD中，ABCD，CEBE, E是AD中點(diǎn)求證： BC=AB+CD變

5、換3：如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BC=AB+CD, CEBE判斷E是AD中點(diǎn)嗎？為什么？變換4：如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BC=AB+CD，CEBE求證：AE=ED5. 如圖，已知ADE中，DAE=120，B、C分別是DE上兩點(diǎn)，且ABC是等邊三角形，求證：BC2 = BDCE。分析：本題為證明題，具有探索性，可引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)找到需證明ABDECA，從而使問(wèn)題變得容易解決。變換一：改為填空題，如圖，已知ADE中，DAE=120，B、C分別是DE上兩點(diǎn)，且ABC是等邊三角形， 則線段BC、BD、CE滿足的數(shù)量關(guān)系是 。本題表面上雖是對(duì)原題的簡(jiǎn)單形式變換，但實(shí)質(zhì)上有探究的思想，即需要將BC分別代換為AB、AC，從而歸結(jié)為找ABD與ECA的關(guān)系問(wèn)題。變換二：改為選擇題，如圖，已知ADE中，DAE=120，B、C分別是DE上兩點(diǎn),且ABC是等邊三角形，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（ ）AADB= EAC BAD2 = DEBD CBC2 = BDCE DAE2 = DEBD本題名為選擇題，實(shí)為要探究得出圖中共有三對(duì)相似三角形，從而得知A、B、C選項(xiàng)均正確，選D。變換三：改為計(jì)算題, 如圖，已知ADE中，DAE=120，B、C分別是DE上兩點(diǎn)，且ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，且BD=2，求CE的長(zhǎng)。仍然要探究出線段BC、BD、CE滿