雙曲型方程的差分方法

1、 # 4雙曲型方程的差分方法本章內(nèi)容： 階雙曲型方程Courant條件利用特征線構(gòu)造岸分格式八八數(shù)值實驗2(穩(wěn)定性的重要性)隱式格式變系數(shù)方程&階雙曲型方程得初邊值問題八八數(shù)值試驗3(直觀地失敗)7.二階雙曲型方程研究對象：馮+勿.=0逆風格式(Upwindschme)LaxFriedrichs格式蛙跳格式Lax-Wendrojf格丿弋返回本章a0:a0:+ah=0T+a=0穩(wěn)定性條件:|a|ALax-Friedrichs格式為：-丿2(不穩(wěn)定)心+心）町+嚴;氛+a=02h）_*幾（町+1_町-1T二*w；+l=（un.J2V7穩(wěn)定性條件：|6f|Al；截斷誤差：OQ+力）返回本節(jié)寸1）逆風

2、格式（Upwindscheme）J3）蛙跳格式:It2h穩(wěn)定性條件押0,當問2=1即：必二1,則口J知：記w（x）=/（%）,則由數(shù)學歸納法易知：町二/（丿）=換言Z,差分方程解是精確解。但注意這里已經(jīng)假設(shè)町和0是精確給定的?？梢宰C明如果給定的初始值有偏差，相應(yīng)的格式是不穩(wěn)定的。（見書p53）4)Lax-Wendrojf格式UnU，l+lTW(X,f+r)4-r)=w(x,r)+ut(x,f)r4-(x,Z)r2+O(/)=uaux(x,t)T-a2T2uxx(x,t)-OT3故得高精度格式為：.au-u1.iix-2un+urh2un+v=_+-a2r2乜7-7-1772h2+*2,(“；_

3、2；+“扛穩(wěn)定性條件：|a|20)而U；TU（Xj,J）=f（Xj叫二不穩(wěn)定，不應(yīng)收斂。（Courant-Friedrichs-Lexy條件）CFL條件:用差分格式計算時其依賴的初始值范圍中應(yīng)含有相應(yīng)的精確解對應(yīng)的初值。3.利用特征線構(gòu)造差分格式ut+aux=0（a0）u(x昇)=f(x-at)在特征線x-at=a.9u(x,t)=/(a)o若P,Q同在一特征線上 # Case1.w(P)=u(Q)但U（0）Z值只能插值而得，取線性插值久兀）二勺（兀網(wǎng)打+%（兀）町/、h_x/x尢恥）二，弘（兀）=萬）=恰為一階逆風格式。Case2.以B,C,D三點插值=Lax-Wendroff格式Case3

4、.以B,）兩點插值=Lax-Friedrichs格式 # # # # #以4,B,C三點插值，得二階逆風格式喟=町-必（町-咋J（1一）（-2怙+u；2）穩(wěn)定性條件:杠2新格式（目標點范圍跟蹤）：咱=M町MH+（1-）咋詞返回本章數(shù)值實驗2（穩(wěn)定性的重要性）這是一個無條件穩(wěn)定格式。ut+ux0w(x,O)=/(x)1,OKI,0,其它其中/W=返回本章 # #利用前面介紹的格式數(shù)值求解該問題，并與解析解相比較。計算時用/=0.01,A=0.5,計算至/=0.5。 # # # # # #格式1町-2h=0格式2.2/72/?=0土4.隱式格式ut+aux-0 # # # # # #(Crank-

5、Nicolson格式) # #a.用凍結(jié)系數(shù)方法處理將問題在冃標點仏兒)的系數(shù)Q(x)凍結(jié)為常數(shù)心)而得ut+a(Xj)ux=0(1)J5.變系數(shù)方程差分格式的建立ut+a(x)ux=0用凍結(jié)系數(shù)方法處理特征線方法穩(wěn)定性研究解本身的研究差分格式的穩(wěn)定性研究 # # # # #n+1nnnll；U；U；.iU；2hJJ+ag)=0可以用其他方法處理(1)。對非線性問題也適用ut+uux=0（Hopf方程）uf+二0ut+uux=0在d）處返回本節(jié)ib.特征線方法沿特征線=Q(X)dtdj、dx-ut+uY=0dt，JAdt=const # f3+1)嗎n昭)/IX定義dxdta(x)其解記為兀二

6、兀（r；無o,石）則咱i（+J二心（tn；Xj,-+J昇J.關(guān)鍵為近似求解尢（沁+J。對(2)在也+J積分知(注意此時F+1時x=xpoXj=j+1ax)dt(1)顯式：Xj-x(tn)Tax.)兀(ZJ二ZQ(Xj)隱式：也心）中矩形:-心J舉例鞏兀億）山）=叭Xj8（）兒），再用插值知結(jié)果。返回本節(jié) # #常系數(shù)二Fourier準則,變系數(shù)=能量方法2）穩(wěn)定性研究 # # # # # #(5)研究對象:“嚴W)嚴0,t-0,w=w0(x)設(shè)sup卜0昇)田色Cv)|M00limu(x,t)=0兇Too # # #r+8J-couQ(x)dxco(6)a.解本身的研究 # #引理(Gronw

7、aU-Bellmcm不等式)設(shè)吃）（疋0,+切）為一可微函數(shù)，成立Mv(t)dt則v(?)v(O)(7) #5SX4能量積分方法*先來研究問題（3）的唯一性，山（3）知p-KOIuutdx+Iaxj)uuxdx二0令E(/)=丄fu2(x,t)dx9則知2J-8細)乜udx-au2+0O=0-cod由(7)“1r+oonE(r)MEnEejW/E(0)=u(x)dx故知解的唯一性。特征線法方法現(xiàn)在研究解的存在性。dx=a(xt)_x=x(f;xo)t-0,x=x0(L)(8)則沿特征線（厶）成立u(x9t)=ut+auxdt=O=w(x,r)=wo(xo)(9) 仃 #關(guān)鍵：找石）關(guān)于X的表達

8、式。（固定/）F（x,f,xo）=x（r；xo）-x=O（10）局部存在性：dx化=喬億無。）（隱函數(shù)定理）T=0時，dx嚴）十。記叩;兀0)=匚(仆0),則由(8)有d_d%_v(x0)=a3ix(r；x0)=6/(x(r；xQt)=ax(x,r)v(r；x0)f=0,v=1av（/;元o）=丄心（0;元o）eM（5eMt）故知局部微分同胚性。5SXHadamard引理:無=x(a)是rn-疋上J微分同胚的充要條件是：局部微分同胚；冋1+8時，|x()|+00對于以上問題，固定仁CxQ)e-Mtn兀&耳)-兀(r；0)嚴鬲類似著兀(吠)S心0)+嚴耳故得岀。0卜(；元0)卜+8所以，山Had

9、amard定理知，對任意固定的t0,x0=x0(x，O存在且連續(xù)可微。因此,w(x,?)=w0(x0(x,r)即為解。如果前提條件不成立，則不一定有整體解。uf+x2ux=0t=0上=u0(x)nxQ=Xl+xtdx2=x二dtt=O,x=xo #仃 # #仃 #當x=lt時，解無意義。返回本節(jié) #仃 # #仃 #(11)右b.差分格式的穩(wěn)定性研究設(shè)a(xt)0逆風格式為un+l-unun-u+址=CtJh二町+1=町_加；(町_町_1) # # (12)設(shè)/limixd；1則（吟廳5（1_加；網(wǎng)礦+加;L好11_加;-23（町為2列）（町）2+列（町丿 # # # # # # # # # #

10、門I：工二4-加；胸；）2+工乙（加；）（咋戶=|叫；+吃二8礙；）砸;）2nun+1f（1+MAh）un2hh0rro,OnrT時網(wǎng)仁（1+M訓叫穩(wěn)定性得證。參考文獻：胡健偉，湯懷民，微分方程數(shù)值方法，科學出版社，北京，返回本節(jié)1999o6.一階雙曲型方程得初邊值問題1）初邊值問題的合理提法2）差分格式a.逆風b.蛙跳格式返回本章1)初邊值問題的合理提法ut-ux=0,0 x0初值邊值：x=1,u=g(f)物理上山流體流動方向決定，在入口處提條件。數(shù)學上，為保證解的存在唯一性，如果特征線先碰到初值線，則提初值條件，如果先碰到邊值線，則對該線提邊值條件。返回本節(jié)土2）差分格式a.逆風h町二?(

11、)=&ih=l但兀二0處的網(wǎng)格點信息不知道。設(shè)想兀=0處也滿足雙曲型方程，則知n+1nuoU0Jo精度不變返回本節(jié)th精度為0（*+力2）0JJb蛙跳格式 # # # # # #0層信息:譏=f(x)=fj；1層信息：u=U（Xj,T）=饑(兀尹0)+均(丹,0)17+0(&2)兀fj+ifJ同樣地兀二0處地信息無法知道。解決方法:a）延拓方法作均勻化假設(shè)，応+；=好O2這樣做將會出現(xiàn)回流現(xiàn)象導致格式失真。 # 0）將解域作為更大一部分來研究。用逆風格式Wq+1=Wq+Uq）5Upwindscheme或LaxFiiednchsscheme返回本節(jié)試驗3(直觀的失敗)ut一ux二0，0 x匕vf二0，u=u0(x)=(1-x)2x=lyu=QJ等分0,1,J=10,100,1000,r=0.01均用蛙跳格式，但兀=0處邊值的處理不一樣。1）必=2好-0；2）必+i=妨+2（妨-必）求出r=l時候的值，并說明兩種算法的計算效果并加以解釋。土7.二階雙曲型方程t=0,w=w0（x）,=坷（無）1）常規(guī)處理冃標點：=如果（厶砒為內(nèi)部點，用中心差分廣2：；+咱_/心-2町+生=r2h # #0層：u；=w0（xy）I層：ulwaJ工厶二均（,0）=坷（）（一階精度）b弓I進虛網(wǎng)格（戶M1比7七十=乞（,0）=WL（