一元函數(shù)積分學(xué)

1、一元函數(shù)積分學(xué)第1頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六(一) 本章內(nèi)容小結(jié)一、主要內(nèi)容1、原函數(shù)和不定積分的概念；基本積分公式，基本積分法則，換元法，分部積分法.2、定積分的定義；微積分基本定理；牛頓-萊布尼茲公式及其應(yīng)用.二、重點(diǎn)和難點(diǎn) 本章重點(diǎn)是不定積分的計算和利用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分. 難點(diǎn)是不定積分的計算和定積分的定義.第2頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六四、對學(xué)習(xí)的建議 1、不定積分的計算掌握得熟練與否不僅影響著定積分的計算和應(yīng)用，而且將影響到今后學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分的計算以及微分方程的求解等，因此務(wù)必給予重視. 不定積分的計算中湊

2、微分法的使用是個難點(diǎn)，它的基本思路是通過恒等變化積分表達(dá)式中的微分形式，使積分表達(dá)式在形式上符合基本積分公式，從而解決積分問題. 要熟練掌握湊微分法，一是要熟記基本積分公式，二是熟悉常用的微分公式，三是多做多看，積累經(jīng)驗(yàn)，熟悉技巧. 分部積分法主要是針對被積函數(shù)為乘積形式的積分，其方法是將所給積分化為形如 , 然后利用公式第3頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六 總之，不定積分的解法很靈活，求解途徑不止一種，以下所說都是一些基本情況和常規(guī)思路，而實(shí)際上面對的情況是千第4頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六變?nèi)f化的，有時解法需要技巧性很強(qiáng)，例如，即使被

3、積函數(shù)中無根式，也可考慮使用第二換元法等. 這就要求多看多練，多總結(jié)歸納. 2、對于定積分的定義應(yīng)通過引入例題深刻理解，它的精要之處是“分割求近似，求和取極限”，這種數(shù)學(xué)思想在利用定積分解決實(shí)際問題中尤為重要.第5頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六第6頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六五、本章關(guān)鍵詞不定積分積分法定積分公式定理第7頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六(二) 常見問題分類及解法一、直接積分法求不定積分解 許多不定積分先要對被積函數(shù)適當(dāng)變形，根據(jù)不定積分的性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)和三角公式的恒等變形，直接利用基本積分公式求

4、不定積分.第8頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六第9頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六二、利用第一換元積分法 (湊微分法) 求不定積分 在不定積分的計算中，湊微分法就是根據(jù)被積函數(shù)，利用微分形式不變性，“湊”成一個在基本積分公式中的函數(shù)，求出不定積分. 湊微分法比較靈活，應(yīng)該通過較多的訓(xùn)練，將湊微分法掌握好. 可以看到，許多不定積分的計算用湊微分法顯得比較簡單. 該方法的一般計算步驟如下：第10頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六應(yīng)用湊微分法時，需注意運(yùn)用以下幾個湊微分思路：第11頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)

5、24分，星期六第12頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解解第13頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六第14頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六三、利用第二換元積分法求不定積分第15頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六先換元后積分的具體計算步驟如下：第16頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六由以上三步組成的方法稱為第二換元積分法.第17頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解第18頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解第19頁，共45頁，202

6、2年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解據(jù)題意作圖如圖 4-1 所示.圖 4-1 例 6 示意第20頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解據(jù)題意作圖如圖 4-2 所示.圖 4-2 例 7 示意第21頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六四、利用分部積分法求不定積分 如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積、冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積、冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積以及指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法.第22頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六表 4-1 分部積分表第23頁，共45頁，2022年，5月20日，2

7、3點(diǎn)24分，星期六解第24頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解法一據(jù)題意作圖(見圖 4-3).圖 4-3 例 9 示意解法二第25頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解法三 由此可見，不定積分計算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運(yùn)用積分方法. 在具體的問題中，常常是各種方法綜合使用，針對不同的問題就采用不同的積分方法.第26頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六五、可變上限的定積分對上限的求導(dǎo)解第27頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解第28頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解第29頁，共

8、45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六六、利用換元積分法計算定積分 應(yīng)用定積分的換元法時，要考慮被積函數(shù)的特點(diǎn)，與不定積分換元法類似，定積分的換元法也包括湊微分、簡單根式代換、三角代換等.必須指出換元法中定積分與不定積分不同的是：第30頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解解第31頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六七、利用分步積分法計算定積分 定積分的被積函數(shù)的特點(diǎn)與不定積分的分部積分法類似，但不必先由不定積分的分部積分法求出原函數(shù)再用牛頓-萊布尼茲公式求出原函數(shù)在積分上限和下限值的差，而直接應(yīng)用定積分的分部積分法，可能會使積分簡化.

9、解第32頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六解第33頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六八、利用函數(shù)的奇偶性計算定積分解證第34頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六第35頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六(三) 思考題答 案答 案答 案答 案1、湊微分法求不定積分的步驟是什么？2、試寫出不定積分與定積分在應(yīng)用換元法時的區(qū)別是什么？4、熟記微積分基本公式即牛頓-萊布尼茲公式.第36頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六(四) 課堂練習(xí)題答 案答 案答 案答 案第37頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六返 回1、先湊微分，再進(jìn)行變量代換后積分，最后回代.第38頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六返 回2、第一：定積分在換元時，一定要將積分上、下限也作相應(yīng) 變換.第二：不定積分在換元時，要將變量回代；而定積分不需 回代，它是一個數(shù).第39頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六返 回第40頁，共45頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)24分，星期六返 回第41頁，共45頁，2022年，5月