補(bǔ)充奧數(shù)從數(shù)的二進(jìn)制談起

1、從數(shù)的二進(jìn)制談起在即將進(jìn)入 21 世紀(jì)的今天，電子（數(shù)字）計(jì)算機(jī)內(nèi)部數(shù)的存貯和計(jì)算采用二進(jìn)制已是眾所周知的事了 . 據(jù)學(xué)者考證， 中國在公元前 2000 多年的伏羲氏發(fā)明 的八卦，即用和 - 兩種符號拼出來的。如果把看成1，把 - 看成0，那么上述八卦可以翻譯成二進(jìn)制數(shù)（列于下面）。但是人類歷史進(jìn)程表明， 二進(jìn)制大約被人類冷落了近四千年 （在此期間一直重視和使用十進(jìn)制），直到 20 世紀(jì) 40 年代，科學(xué)技術(shù)的整體水平（有了無線電通訊、雷達(dá)技術(shù)和真空管、繼電器等電子元器件）進(jìn)一步提高，再加上反法西斯戰(zhàn)爭需要發(fā)明原子彈 （原子彈許多設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)不能事先在實(shí)驗(yàn)室測出， 而必須靠理論計(jì)算，而計(jì)算量超過人

2、類有史以來全部算術(shù)運(yùn)算），著名數(shù)學(xué)家馮諾伊曼（J.von Neumann）和另一些年輕數(shù)學(xué)家發(fā)明制成了稱之為ENIAC的通用電子數(shù)字計(jì)算機(jī)（用 18000 支真空管， 1500個繼電器，幾十萬電阻電容，自重30 噸，耗電200千瓦）.直至今日，電子計(jì)算機(jī)主要還是馮諾伊曼體系.告訴大家這一些歷史， 主要說明我們不能停留在為祖先最早發(fā)明了二進(jìn)制而自豪這一步， 還要看到數(shù)學(xué)大有用武之地， 但要與經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)廣泛結(jié)合才能起大的或巨大的（如電子計(jì)算機(jī)）作用 . 下面看二進(jìn)制本質(zhì)到底是什么人類天生雙手十指. “搬著手指頭” 計(jì)數(shù)， 是每個人幼時必經(jīng)之路. 十進(jìn)制數(shù)有兩大內(nèi)涵.一是有十個不同數(shù)符：0,

3、 1, 29;二是“逢十進(jìn)一”的進(jìn)位法則，有個、十、百、千等自右向左的數(shù)位. 倘若人類雙手八指，也許地球上今日該流行八進(jìn)制了 . 所以二進(jìn)制也有兩大內(nèi)涵 . 一是有兩個不同數(shù)符： 0， 1；二是“逢二進(jìn)一” . 其實(shí)，我們已見過非十進(jìn)制的事物，一年十二個月，十二進(jìn)制；一周七天，七進(jìn)制；一小時六十分，一分六十秒，六十進(jìn)制；一英尺等于十二英寸（電視機(jī)常說 20 英寸， 21 英寸），十二進(jìn)制；一副三角尺含2 塊，一雙鞋含 2 只，一雙襪子含 2 只，一雙筷子含2 根，這些都可看成二進(jìn)制 . 一個十進(jìn)制數(shù)1993可表述為：1993= 1000+900+90+3=僅 103+9 X 102+9 X 1

4、0+3+ a3X 103+a2 義 102+a1 義 10+印其中0&a &9,而i是0至ij n中的一個整數(shù)。再回到二進(jìn)制 . 大家知道：數(shù)是計(jì)算物體的個數(shù)而引進(jìn)的， 0 代表什么也沒有，有一個，記為“ 1”；再多一個，記為“ 10” （在十進(jìn)制下記為 2）；比“ 10”再多一個，記為“ 11” . 依次類推，我們很容易接受（或自己發(fā)明）二進(jìn)制下，從小到大的數(shù)列，不妨列表：為了不引起混淆，我們把二進(jìn)制數(shù)右下角標(biāo)一個2，如：（ 10） 2=（ 2） 10 ，或省略括號，省略十進(jìn)制標(biāo)記，略為：102=2,或(10) 2=2, 11112=15和十進(jìn)制對數(shù)位有一省略名字一樣，二進(jìn)制的數(shù)位也可稱呼：

5、例如：1993=1024+ 512+256+ 128+64+8+1,寫成二進(jìn)制為：瓦。* b審g 4b與冷3b。(1993)通= (11111。01。01 ) 24 5 口 b3 b2 bT b0反過來.(1011000%= 64 + 0 X 32 + 1 X 16+1 X B +0X4+0X2 + 0X1= (88) 10因而二進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制，只要讀出二進(jìn)制各數(shù)位累加即可，如N=(bnbn-1 bn-2 b2b1b。)2 貝(J有 N= (bnX 2n + bn-1 X 2n-1 + bn-2 X 2n-2 + +b2 X 22+ b X 21+b。) 10難度大的是怎樣較快地把一個十進(jìn)

6、制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù).還以1993為例，前面的方法是先找出二進(jìn)制的高位數(shù)字，記熟了2的各種幕次(a的n次幕表示n個a相乘，記為an),找到不超過1993的最大的2的幕，是210=1024,彳4 b10=1, 再找不超過( 1993-210)的最大的2的幕，是29=512,彳3b9=1,依次類推得b8, b7- b2, b1, b0.這是由高位到低位逐漸推得的方法?，F(xiàn)在設(shè)法自低位到高位，先找b0.顯然，十進(jìn)制偶數(shù)，b0=0,十進(jìn)制奇數(shù)b0=1, 所以b。是N除以2的余數(shù).再說b因?yàn)镹=bnX2n+ - + b2X22以后的余數(shù)，余數(shù)為0, b1就為0;余數(shù)為1, b1就為1;這樣的想法可逐漸 向高位

7、推，得出一般性方法.還以1993為例，寫出豎式：N=1993 b0 為 1993+ 2 的余數(shù)，(1993) 102以后熟悉了這一算法，我們可很快地化十進(jìn)制數(shù)為二進(jìn)制數(shù)。例 如化(19) 10, (101) 10, (81) 10為二進(jìn)制的豎式為：(19) 10= (10011) 2； (101) 10= (1100101) 2； (81) 10= (1010001) 2順便說一句，現(xiàn)在使用電子計(jì)算機(jī)，直接輸入十進(jìn)制數(shù)即可，因?yàn)闄C(jī)器內(nèi)部 已專門編有(十)化(二)程序，可以自動轉(zhuǎn)換 .下面講一下二進(jìn)制數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算：加法“口訣”特別簡單，0+0=0, 1 + 0=0+1=1, 1 + 1=

8、10.表述成運(yùn)算時 的豎式（用十進(jìn)制和二進(jìn)制比較）讀者不難體會豎式中進(jìn)位及累進(jìn)等與十進(jìn)制相似的規(guī)則 . 關(guān)鍵之處會“逢二進(jìn)一” . 減法的關(guān)鍵在于夠減就減；不夠減時，向高位借，而“借一還二” . （高位借一，相當(dāng)于低的為二） . 例如：1 不夠減，向高位借，不夠減； 不夠減，借1 還 1 能借，再向更高位借；第三個豎式和十進(jìn)制中100 7 的思想是一樣的。二進(jìn)制的乘法口訣只有三句，1X0=0, 0X0=0, 1X1=1.看豎式：二進(jìn)制除法是乘法逆運(yùn)算，除法也就是連減. 看豎式：十進(jìn)制中： 二進(jìn)制中：又如，1993+88= 22余57,二進(jìn)制除法，在試找商時，較省力，要么 0,要么 1。二進(jìn)制數(shù)

9、有被電子計(jì)算機(jī)采用的好處，但人們有時還覺得它表達(dá)一個數(shù)時，數(shù)位太長，如（ 1023） 102，為讀寫和觀察方便，要縮短數(shù)位又便于機(jī)器使用，科學(xué)家們偏愛于八進(jìn)制和十六進(jìn)制 . 大家可以自己擴(kuò)充八進(jìn)制的數(shù)的概念和運(yùn)算：八進(jìn)制有0, 1, 27共八個數(shù)符，由低位向高位是“逢八進(jìn)一，如： N= （cn-c3c2c1c0） 8=c）x 8n+cn-1 x 8n-1 +- + c2 x 82+c1 x 8+c0其中 0&ci &7, i 取 0, 1, 2 - n。十進(jìn)制化八進(jìn)制：（1993） 10=（3711） 8；（88） 10=（ 130） 8（4041） 8=4X512+4X8+1= 208119

10、93+88=2081加法關(guān)鍵在于“逢八進(jìn)一”。減法：2081-1993 = 88（4041） 8- （3711） 8= （ 130） 8,減法關(guān)鍵在于不夠減時，“退一還八”乘法：八進(jìn)制乘法口訣表重新制定如下：八進(jìn)制乘法：(7535) 8=7X 512+5X 64+3X 8+5=( 3933) 10這些口訣讀起來不順口，如讀成“七七得六一”，當(dāng)然是八進(jìn)制的六個8加上一個 1. 同樣做除法時，也挺費(fèi)神，看著“七七乘法表”做可省心些，并不是說除法有什么難度， 主要是腦中的十進(jìn)制 “九九表” 干擾了 “七七表” 的記憶。(7535) 8+ (23) 8= (317) 8現(xiàn)在再講十六進(jìn)制。大家自然會想到

11、 16 個數(shù)符要設(shè)想一套簡明的表達(dá)符號， 國際上通用為0， 1，2,，8, 9,A,B,C,D,E,F.這里特別請大家記住六個字母：A,B, C,D,E， F.A 代表 10，(十六進(jìn)制中比9 多一的數(shù))，同理B 代表 11， C 代表 12， D代表 13， E 代表 14， F 代表 15. 這樣：N= (dndn-1 d2dld0)16= dnX 16n+dn-i X16n-1+ Td2x 162+dix 16+do其中 d 取自 0, 1- -9, A, B, C, D, E, F.i 可取 0, 1- n。例如 N= (20A)16=2 X 162+10= (522) 10(AB)

12、16=10X 16+ 11= (171) 10如把十進(jìn)制直接化為十六進(jìn)制：十六進(jìn)制中的加法其關(guān)鍵在于“逢十六進(jìn)一”，減法的關(guān)鍵則在于“退一還十六”。(821) 16=8X 162+2X 16+1=8X 256+32+1=2081=1993+88注意：十六進(jìn)制的乘法和除法很費(fèi)神，要構(gòu)造“十六十六表”利用這表做乘法及除法：(10AD 16=163+10X 16+13=4096+16* 13=4269（F3）16=15X 16+3=2434269 X 243= 1037367（FD437）16=15X 164+13X 163+4 X 162+3X 16+7=（15X 16+13） X 16+4） X

13、 16+3） X 16+7=1037367當(dāng)然這十六進(jìn)制的乘除法是很不習(xí)慣的 . 下面談一下二進(jìn)制和八進(jìn)制、十六 進(jìn)制之間的較密切的相互關(guān)系。把一個二進(jìn)制的數(shù)自右向左3 位一組，立刻可以翻譯成八進(jìn)制數(shù) . 其間對應(yīng)規(guī)律為：同樣，把一個二進(jìn)制數(shù)自右向左4 位一組，立刻可以翻譯為十六進(jìn)制數(shù). 其間對應(yīng)規(guī)律為：如（ 1993） 1022=（3711） 82=（ 7C9） 16前面在十六進(jìn)制下很不順手的除法FD43-10AD=F3以重新用二進(jìn)制檢驗(yàn)：（FD437） 16=（1111 1101 0100 0011 0111 ） 2（10AD 化=（10000 1010 1101 ）排成除法豎式：最后，關(guān)

14、于三進(jìn)制數(shù)、五進(jìn)制數(shù)、七進(jìn)制數(shù)，以及一般的 g 進(jìn)制數(shù)，讀者一 定可以自己推出一套記數(shù)、轉(zhuǎn)化及加減乘除的法則來。例如：（ 1993） 10=（5545） 7=（30433） 5=（2201211） 3等. 只要看豎式：這樣， 將一個七進(jìn)制的數(shù)化成三進(jìn)制數(shù)時， 可以先將此數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)作中 介而求得，例如：(1046) 7=1 X73 + 4X7 + 6=343+ 28+6= (377) 101046) 7=( 111222) 3最后介紹幾個問題 . 研究表明， 要保存數(shù)碼最經(jīng)濟(jì)的進(jìn)位制是三進(jìn)制 . 可惜現(xiàn) 在物理器件較成熟的還是支持兩種狀態(tài)的二進(jìn)制。不久前剛逝世的本世紀(jì)杰出的科普作家阿西莫夫(

15、 IsaacAsimov )曾喜悅地 談到自己年輕時獨(dú)立解決了一個看似與二進(jìn)制無關(guān)的有趣問題 . 問題是這樣的： 如何制造個數(shù)最少的一些單位砝碼，如 1 克、 2 克、 3 克、 4 克等，能稱出 1 克 到 1 千克的任何整克數(shù)的物體答案是： 1 克、 2 克、 4克、 8 克、 16克、 32 克、 64克、 128克、 256克、 512 克， 共十個砝碼. 實(shí)際上這些砝碼一直可稱出 1 到 1023 克之間任何整克數(shù)的物體.這在我們學(xué)完二進(jìn)制數(shù)以后就不難理解了.如：x=a9a8a7a6a5a4a3a2aia0,每個 ai 或 0 或 1 表示 2 克砝碼或不用或用上. 如把問題再簡化一

16、些，如只許用 3 個整碼，就制成1克、2克、4克.可稱1、2、克的任何整克數(shù)物體，或說要稱 1、2、7克之間任一物體，3個整碼是最少的了。因?yàn)?克必然要的.2克，如 不要， 再造一個 1 克砝碼， 這樣用二個1 克砝碼， 僅能稱 1 克、 2 克共 2 種物體，效率不高 . 所以造一個1 克，一個 2 克，這樣可以稱 1、 2、 3克三種物體了 . 下一個不必造3 克的砝碼，而造了一個4 克的砝碼，所以1 克、 2 克、 4 克是最省個數(shù)體系了. 十個砝碼最省的推理也相似.在結(jié)束本講之時， 希望讀者注重于理解各種進(jìn)制的思想， 不必去死記硬背八進(jìn)制乘法表、十六進(jìn)制乘法表. 并請思考類似于十進(jìn)制的

17、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、循環(huán)小數(shù)等內(nèi)容在二進(jìn)制或八進(jìn)制等體系下，如何進(jìn)行習(xí)題(518) 10= ( ) 2= ( ) 8= ( ) 16=()3=( )5( ) 7( AF01) 16=( ) 7248163264128516 1024 用二進(jìn)制計(jì)算后，能很快得 到十進(jìn)制答案嗎(提示：類比于9+90+900= 999= 1000-1 )請用二進(jìn)制運(yùn)算、三進(jìn)制運(yùn)算實(shí)現(xiàn)下面式子：用豎式做十六進(jìn)制除法：(FD 437) 16+ (F3) 16請你造一個三進(jìn)制乘法表，造一個七進(jìn)制乘法表。一個 g 進(jìn)制的數(shù)，N=a5- g5+a4-g4+ a3-g3+ a2-g2 + ag + a。.要計(jì)算它的十進(jìn)制數(shù)值時，有一個

18、簡便算法：N= ( ( ( (a5 g + a4) -g+a3) g+a2) - g + a1) g+a0.這樣共進(jìn)行5次乘法5次加法，如死板地按a5 - g5 + +a1 - g + a0, 需進(jìn)行(5+4+3 2+1) 15次乘法 5次加法，顯然浪費(fèi)時間 . 而另有一個聰明學(xué)生想：我在紙上先把g, g2 g3 g4、g5記下來這樣做了 4次乘法，再把這5個g 相應(yīng)與ai 作乘法，又做5 次，總共做了 9 次乘法， 5 次加法，中間還要耗費(fèi)空白紙記下gi ，他仔細(xì)一想覺得不合算了，就接受了題目中的簡便算法. 現(xiàn)在請你用簡便算法求出 3 進(jìn)制的N。N= (210122) 3= ( ) 10在二

19、進(jìn)制下，一個數(shù)擴(kuò)大2 倍，就在右邊添一個0，擴(kuò)大4 倍，右添二個0擴(kuò)大2倍，右添i個0.這個規(guī)則對嗎類似規(guī)律在八進(jìn)制下怎樣敘述十六進(jìn)制 下呢請你自己想一下，如何“自圓其說”地把二進(jìn)制數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)、小數(shù)，以及 二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)如果天平兩邊都可以放砝碼，即可以調(diào)用兩砝碼的數(shù)值差，要稱物體而 制造盡可能少的砝碼，借用多少進(jìn)位制習(xí)題十四解答(518) 10=(1006) 82=(206) 16=(201012) 3= (4033) 0= ( 1340) 7(AF0。16=10X 163+15X 162+1=44801=（244421） 7+2 + 4+8+16+-+ 1024十六進(jìn)制除法：三進(jìn)制乘法：七進(jìn)制乘法：N= (210122) 3=2X 35+1X 34+0X 33+ 1 X 32+2X 31+2=(2X3+1) X 3+0) X 3+1) X3+2) X 3+2二 584。規(guī)律對的 . ( N) 8，八進(jìn)制數(shù)擴(kuò)大8 倍相當(dāng)