線性代數(shù)3課程同步輔導

1、2015線性代數(shù)例題精選-3 1 例 1 設 A ，計算 A ,(m Z ) 。m0 1 0 01 【分析】 A 0 0 E B ，再利用二項展開式求 A 。m00 01 01 01 00 【解】 A E B ，其中 B ，且 B 00 00 020 ，顯然00B3 Bm O ，依二項展開式， (E B)m ( E) C (E)B C (E)B Amm1m12m2 2mm m0 0m m1 mm m1 mE m m1B 。 m m0 000【注】 Em1 E ，因此 Em1B EB B 。Em【評】 (1)因為矩陣 B 與矩陣 E 是可交換的，適用于二項展開式：(E B)m (E) C (E)

2、B C ( E)B Cm1m2 2m1(E)Bm1mm12B 。mmm1 m2 01 2 00 0 01 m1 2 0 00 0 00 (m 2, m Z ) 。 (2) ；因此 00 00 00 00 00 0 20 3100 00001 0100 00001 010 00000 01 00 ， 01 00 001 00 ，【議】 00 00 00 00 00 00 00000 n 0100 00 利用數(shù)學歸納法可以證明， 01 00 (n 3, n Z ) 。 00 00 00 10 設 n 階矩陣 A m n,B,0 ，同理可證， Am (m Z ) ，O,m n, 1 00 1/15線

3、性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015m個列 00 01001 0 其中 B 0。 1 0 0m個行 00 例 2 證明與所有 n 階矩陣可交換的矩陣一定是n 階數(shù)量矩陣?！痉治觥?設 A 與所有 n 階矩陣可交換，取矩陣 P(i, j) (除(i, j) 元為 1，其他為 0)，則P(i, j) A AP(i, j) ，依此可求證結論?！咀C】設矩陣 A 與所有 n 階矩陣可交換，則 A 為n 階矩陣，設 A (aij ) ，取n 階矩陣 P(i, j) ，j 1, 2, n (除 (i, j) 元為外，其他元素均為 0)，依題意， A 與 P(i, j) 可交換，即1P(i, j

4、) A AP(i, j) ，其中00000 0000a0000 1i0AP(i, j) 0a2i0 ，P(i, j) A a第i行 ， aajn j1j 20000000a0ni第j列 依矩陣相等定義，P(i, j) A 的(i, j) 元 a jj = AP(i, j) 的(i, j) 元 aii ，且其余元素a j1 aj , j 1 a j, j 1 a jn于是 a 0 ， a1i ai1,i ai1,i ani 0 ，0a0 0 A ，0 0 0a 2/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015即 A 為數(shù)量矩陣，其中 a aii (i 1, 2, n) ?！咀ⅰ?m

5、n 矩陣 P(i, j) (除(i; j)(i 1, 2, m, j 1, 2, n) 元為 1 外，其他為基本矩陣。【評】結論：與所有n 階矩陣可交換的矩陣一定是n 階數(shù)量矩陣。為 0)稱1 1111例3. 設矩陣 A 11 ，矩陣 X 滿足： A X A1 2 X ，其中 A 為 A 的伴隨矩 11 陣，求矩陣 X ?！窘狻坑?A X A1 2 X ，等式兩端A X E 2 AX ，即( A E 2 A) X E ，A ，有222A E 2 A 22 ，A E 2 A 可逆，且 X ( A E 2 A)1 ，又 4 ，A22于是 22下面采用初等變換法求( A E 2 A)1 ，即( A

6、E 2 A) E) 行(E (A E 2 A)1) ， 22 2200 11 / 40 22 21000100011 / 401/ 4( A E 2 A) E) 210 01 / 4 1 / 4 ， 21 001/ 4 01/ 41 / 41/ 400從而 X ( A E 2 A)1 01/ 4 。1/ 41/ 4 例 4 設2E C1B AT C 1 ，其中 E 是 4 階矩陣， AT 是 4 階矩陣 A 的轉置矩陣，3 2102 1 0 1 01 0 2100210002103B ,C ，求 A 。 0 0 0 02 1 21【解】由題設，2E C1B AT C 1 C 2E C 1B A

7、T E (2C B) AT E A(2C B)T E ，E ) E (2C B)T 1 ，于是 A (2C B)T )1 ，對矩陣施以初等行變換，(2C B)T 1 20 0123001200011000010000100 (2C B)TE 0 3 41 3/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015 1 0010000100001001212 100 012 100120 0 0 0 01 1012 1120 故所求 A (2C B)T 。0 101 2 124 131 0例 5 設數(shù)域 K 上矩陣 A 01 ，(1)求線性方程組 AX O 的一個基礎 13解系；(2)求滿足

8、AB E 的所有矩陣 B ， E 為 3 階矩陣?！痉治觥?(1) 3 4 矩陣 A 滿足 r( A) 4 ，對 A 施以初等行變換，將其化為簡化行階梯形矩陣即可確定基礎解系；(2)矩陣 A 不可逆，若設1,2 ,3 為 3 階矩陣 E 的列向量組，3 是矩陣 B 的列向量組，則AB E ( AX1, AX 2 , AX 3 ) (1,2 ,3 ) AX1 1, AX 2 2 , AX 3 3 ?！窘狻?(1)對方程組 AX O 的系數(shù)矩陣 A 施以初等行變換，將其化為簡化行階梯形矩陣，2 124 1 131 001001A 0 002 ，13 1 013 x1 x4 ,xr( A) 3 4

9、(未知元的個數(shù))，方程組有非零解，其一般解為 2x ,24 x 3x , 34 1 2 令未知量 x 1，代入得其一基礎解系為 。 3 4 1 矩陣 E 的列向量組，(2)設1,2 ,3 為 3 階3 是矩陣 B 的列向量組，則AB E ( AX1, AX 2 , AX 3 ) (1,2 ,3 ) AX1 1, AX 2 2 , AX 3 3 ，上述 3 個線性方程組： AX1 1, AX 2 2 , AX 3 3 ，由于它們的系數(shù)矩陣同為 A ，可以對下述矩陣施以初等行變換，將其化為簡化行階梯形矩陣，4/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015 10 10 2 124 132

10、 104 1331 010001031 1101014 A 1 2 00 00 1 3 11 0 115 43010001211634 01， 01 因為 r( A) r( A 1) r( A 2 ) r( A 3 ) 3 4 (未知量的個數(shù))，所以 3 個方程組都有無窮多個解， AX1 1, AX 2 2 , AX 3 3 的一般解分別為x 2 x 1 4 6 3 4 x3 4 1 5x4 , 1 4x4 ,x4 ,未知量，令未知量 x4 0 ，代入分別得 3 個特解，其中 x4 是 1 2 6 1 3 1 , , ， 1 4 1 123 0 0 05x 5x , 4 14未知量 x4 1，

11、代入得一基礎解系為 ，它們對應的導出組為 x2 4x4 , 令 3 x 3x , 341于是得方程組 AX1 1 的通解為 2 12 5k15 4 1 4k 1 ,X k k(k K ) ， 11 3 1 3k11111 k10 1方程組 AX 2 2 的通解為6 5k265 3 4 3 4kX k k 2 ,(k K ) ， 4 2 3 4 3k22222 01k2方程組 AX 3 3 的通解為5/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015 1 1 5k3 5 1 4 1 4k ,X k k3(k K ) ， 1 3 33331 3kk3330 1從而滿足 AB E 的所有矩陣

12、 B ：2 5k16 5k21 5k3 1 4k3 4k4 3k k21 4k) ,123(k , k , k K ) 。B 1 3k31231 3kk3312k1【注】 對于m n 矩陣 A ，本例給出了求解矩陣方程 AX E 的方法。【評】 對于 m n 矩陣 A ，如何求解矩陣 B ，使?jié)M足 AB E ？設 E (1,2 ,3 ) ，AB E ( AX1, AX 2 , AX 3 ) (1,2 ,3 ) AX1 1, AX 2 2 , AX 3 3 ，3 ，進而確定未知矩陣 B 3 ) ?？赏ㄟ^求解上述各方程組確定 12463 例 6 設數(shù)域 K 上 3 階矩陣 A 的第一行是(a, b

13、, c) a, b, c 不全為零， B 26 ， 3k (k 為常數(shù))，且 AB O ，求線性方程組 AX O 的通解?！痉治觥吭O B (1, 2 , 3) ，則 1, 2 , 3 都是方程組 AX O 的解， AX O 的基礎解系所含解向量的個數(shù)為 r( A) ，其中 r( A) 3 r(B) ?！窘狻坑?AB O ，依3.4 命題 4，r( A) r(B) 3 ，又 A 的第一行元素不全為零，即 A O ，所以 r( A) 1 ，設 B 的列向量組為 1, 2 , 3 ，即 B (1, 2 , 3) ，則1, 2 , 3 均為方程組 AX O 的解向量，(1)如果k 9 ，則r(B) 2

14、 ，r( A) 3 2 1 ，又 r( A) 1 ，于是r( A) 1 3(未知量的個數(shù))，方程組 AX O 有非零解，且 AX O 的基礎解系應含 2 個解向量，又1, 3 線性無關，取 1, 3 為 AX O 的基礎解系，則其通解為 1 3 c c c 2 c 6 ,(c , c , k K , k 9) 。1 12 31 2 12 3 k (2)如果 k 9 ，則 r(B) 1， r( A) 3 1 2 ，又 r( A) 1 ，因此 r( A) 26/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015或 r( A) 1，如果 r( A) 2 3 ，方程組 AX O 有非零解，且 A

15、X O 的基礎解系應含 1 個解向量，又 1 O 線性無關，可取為基礎解系，則其通解為 1 2 ,c c(c K ) 。3 13 3 3 如果 r( A) 1 3 ，方程組 AX O 有非零解，且 AX O 的基礎解系應含 2 個解向量，其一般解為ax1 bx2 cx3 ,(a, b, c 不全為零)， x2 a 0bc不妨設 a 0 ， x1 a x2 a x3 ，令 ，代入得 AX O,未知量 x0a 3 bc基礎解系為 a , ，則方程組 AX O 的通解為012 a 0bcc c c a c ,0(c , c K ) 。4 15 24 5 45 a 0【評】 由 AB O ， B (1

16、, 2 , 3) 可知， 1, 2 , 3 都是方程組 AX O 的解，且( A)r(B) 3 ，依 r( A) 的可能取值，進而確定 AX O 的r(B) ，可確定 r基礎解系，從而確認 AX O 的通解。例 7 解下述矩陣方程： 11101101 1210320n 01 0n 1 X 。 1 01 0【分析】 依矩陣方程左、右矩陣的結構特點施以分解，再求解?！窘狻?令 0100001000 00 A ， An O ， 01 00 則依例 3.1.2，矩陣方程可以寫成7/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015(E A A2 An1) X (E 2 A 3A2 nAn1) ，

17、在上式兩端E A ，由于(E A)(E A A2 An1) E An E ，于是EX (E A)(E 2 A 3A2 nAn1) ，X E 2 A 3A2 nAn1 A 2 A2 3A3 nAn ，也即 1 011011011 E A A2 An1 。 0 1【注】 (E A)(E A A2 An1) E An E ，其中 An O 。【評】 本例借助矩陣的結構特點，使 X (E A)(E 2 A 3A2 nAn1) 。例 8 求下述n 階矩陣 A 的逆矩陣： 1an1 a2aa10 0a2a1 。A 0【分析】 先依 A 的結構特點對其 A 施以分解，再求逆陣?！窘狻?令 010000 0

18、T 0 ， 1 00 O ，依例 3.1.2 結論， A E T 2 an1T n1 ， T n2 an1T n1)(E aT ) E ，從而于是 A(E aT ) (Eaa1 10a00 0A1 E aT 0 。 a 01【評】本例利用了 A 與T 的結構關系，使求解 A1 簡單易行。8/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015例 9 設數(shù)域 K 上 A 1a , B 01 ，當 a, b 為何值時，存在矩陣C ，使得10 1b AC CA B ，并求所有矩陣C 。 x1x2 【解】由題設，設C ，由于 AC CA B ，故xx 34 ax1x2 01 01 x 1b 110

19、 b ，x 34 即 ，x2 ax3 0,ax x ax 1,124依矩陣相等定義，得線性方程組， x 14x2 ax3 b設上述方程組的系數(shù)矩陣為C ，增廣矩陣為C ，下面對C 施以初等行變換， 0 a1 1010 11a001 0001 a01a0a1 001001 00C ，1 01 a 10b 0b當 a 1 或b 0 時， r(C) 2 3 r(C) ，方程組無解。當 a 1 且b 0 時， r(C) r(C) 2 4 ，方程組有無窮多個解，此時對增廣矩陣繼續(xù)施以初等行變換， 1 01 1001 0001 0 0100C ， 0 00 0 x4 ,未知量，令 x3 0 x4 ，代入得

20、方程方程組的一般解為其中 x3 , x4 為x x , 1 23 0 x , x 1 0 組的一個特解 ，其導出組為4x2 x3 , , 3令 ，代入得其一基礎 0 x4 0 1 0 9/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015 1 1 1 0 , ，于是方程組的通解為解系為 1 0 0 1 12 x k1 k2 k ， (k , k K ) ， 11 1 0 2 0 120 1 k1 1 k1 k2故所求的矩陣C ， (k1, k2 K ) 。kk12 1 1010 001 100 例 10 已知 ABC D ，其中 A 00 , C 010 , D 230 ，求 B 。 0

21、1 10 43 06 1 0, 1 0, 9 0 知，矩陣 A, C, D 都可逆，于是ACD【解】由A 1C 1 9 ，B A1DC1 ，A1DC 1BD且 B1 CD1A ，可依方法(DA) 初等行變換(E D1 A) ，先確定 D-1A ， 1101 1001 030001000112 30A) 20 ，(D 012 31 3 1 101 32 3即 D1 A 2 3 2 3 ，于是1 3 001 01 1002 3 1 3 0 2 32 3 ，B1 CDA 10 1 3 1002 3103 36 。從而 B B BB2 61 91009設矩陣 A En ，其中 , T均為 n 維列向量

22、，且 T 0 ，例 11(1)證明 A 是可逆矩陣，且寫出 A1 ；(2)求 Ak ，其中k 為正整數(shù)。(1)【證】由于 T T 0 ，所以10/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015A2 (E T )(E T ) E 2 T ( T ) T E 2 T ，于是 A2 2E 2 T E 2 A E ，即 A(2E A) E ，則 A 可逆，且 A1 2E A 。(2)【解】由(1)， A2 E 2 T ，由于( T )2 ( T )( T ) ( T ) T ( T ) T O ，因此當 k 2 時， ( T )k ( T )2 ( T )k2 O ，于是 (E T )k E

23、 ) C ) + ( )1 k 1T) C2 k 2T23 k 3T 3AkkC E(E(E(T kkkk E k( T ) ，即對任意正整數(shù) k ， Ak E k( T ) 。 a0 1例 12 設矩陣 A= 1a1 ，且 A3 O ， 0a 1求a 的值；若矩陣 X 滿足 X XA2 AX AXA2 E ，其中 E 為 3 階矩陣，求 X 。 0 ，A【解】(1)由題設， A3 O ，因此a101001a101 a21a1 1 a21 a3 ，a 0 。aaa1aa 01010 (2)由(1)知， A 11 ，由題設， 00 X E A2 AX E A2 E ，即因此 E A 及 E A2

24、 可逆，所以 E A X E A2 E ，X E A1 E A2 1 (E A2 )(E A)1 E A A2 1 ，1 01 其中 E A A2 111 ， 112 下面利用(E A A2E) 初等行變換E (E A A2 )1 求(E A A2 )1 ，11/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015 0100 112 112100010001312 1110 01 ，1 111 01102 31 (E A A2 )1 11 。于是 X1 211 1 1 0 例 13 設數(shù)域 K 上向量 2 , 1 / 2 , 0 , A T , B T , T 是 的轉 1 8 0 置矩陣

25、，解矩陣方程2B2 A2 X A4 X B4 X 。【分析】 先化簡矩陣方程，再求解。 1 10 1 1 / 2 2 1120 = 210 ，B 10 2 2 ，1【解】由題設， A TT 1 2 1 10 1 / 2 10 1/ 211/ 2于是 A2 ( T )( T ) ( T ) T ( T )( T ) 2 20 2 A ，于是 10 A4 ( A2 )2 (2 A)2 4 A2 8A ，代入矩陣方程，8AX 16 X ，即8( A 2E) X ，摘其增廣矩陣，對其施以初等行變換， 80 1011/ 2 40，(8( A 2E) )8 04000(8( A 2E) ) 3 ，所以方程

26、組有無窮多個解，其一般解因為 r(8( A 2E) 2r1/ 2 x 1 x ,其中 x 為未知量，令 x 0 ，得方程組的一個特解為 1 ，132為33x2 1 2x3 ,0 1 x x ,令 x 1 ，得導出組的一個基礎解系為 2 ，于是方程組的通解13其導出組為 x 2x ,3 2 1 3 為 X k, (k K ) 。12/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015【注】 A 是 3 階方陣， B 是一個數(shù)， A2 表達式中的 T 也是一個數(shù)，依此化簡矩陣方程。 0 ，即 A 2E 不可逆，故不能寫成 X 1 ( A 2E)1 。A 2E【評】因8 0 ，則 A B, E

27、 AB 都不可逆；A 例 14 證明：(1)如果 A, B 都是n 階對合矩陣，且B 1，則 E B 不可逆。(2)如果 B 是 n 階對合矩陣，且B 0 ?！痉治觥?矩陣 A 可逆的充分必要條件是A 1，不妨設 1, 1 ，因為AAB【證】 (1)由題設，A BA( A B)E ABA B( A B)BAB EAB，A BA BA B A BA B 0 ，即 A B 不可逆，AB所以，從而E ABA B 0 ，即 E AB 不可逆。于是 0 ，則 E B 不可逆。(2)由(1)的結論， E, B 都是對合矩陣，且EB【評】 雖然 A, B 都是可逆的，但是 A B 不是可逆矩陣。例 15 設

28、 A 是數(shù)域 K 上一個 m n 矩陣，且 A O ，證明 r一個 m 維列向量與一個n 維行向量的乘積。( A) 1當且僅當 A 能表示成【分析】 若 A ，則 r( A r( ) 1；反之若 r( A) 1，則行秩等于 1，此時行組的極大線性無關組僅含一個向量?！咀C】充分性。設 A ，其中 是 m 維列向量， 是 n 維行向量，又 A O ，所以 O ， r( A r( ) 1，因此 r( A) 1。必要性。設 r( A) 1，即 A 的行秩等于 1，即 A 的行向量組的極大線性無關組僅含一個行向量，記作 ( 是 n 維行向量)，于是 l1 l1 l l A 2 ，2 l l m m 上式

29、說明 A 可以表示成一個 m 維列向量與一個n 維行向量的乘積。【注】如果 A ，其中 是列向量， 是行向量，則 r( A) 1 ，又如果 A O ，則r( A) 1。13/15線性代數(shù)例題精選-3Zhanglizhuo-2015例 16 證明任一個秩為 r(r 0) 的矩陣都可以表示成 r 個秩為 1 的矩陣之和。【證】設m n 矩陣 A 的秩為 r(r 0) ，依推論 2，存在m 階可逆矩陣 P 和n 階可逆矩陣Q ， ErO 使 A PQ P(E E E)Q PE QPE22，1122rr11OO其中矩陣 Eij 表示(i; j) 元為 1 其余元素都為 0 的m n 矩陣，由于(PE jjQ r(E jj ) 1 ，j 1, 2, r ，r從而 A 可以表示成 r 個秩為 1 的矩陣之和。例 17 設矩陣 A T T