講因素模型與套利定價(jià)理論

1、投資學(xué)第六講因素模型與套利定價(jià)理論陳善昂博士、副教授 8/28/20221廈門大學(xué)金融系 陳善昂教材與參考資料教材第六章。博迪等投資學(xué)第10-11章。夏普等投資學(xué)（上）第11-12章。8/28/20222廈門大學(xué)金融系 陳善昂主要內(nèi)容本講分為兩大部分，即：因素模型或指數(shù)模型套利定價(jià)理論8/28/20223廈門大學(xué)金融系 陳善昂馬克維茨模型的缺陷： -計(jì)算量過大.假定分析n種股票,需要計(jì)算n個(gè)預(yù)期值、n個(gè)方差以及(n2 n)/2個(gè)協(xié)方差. -相關(guān)系數(shù)確定或者估計(jì)中的誤差會(huì)導(dǎo)致無(wú)效結(jié)果.指數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)： 大大降低了馬克維茨模型的計(jì)算量,它把精力放在了對(duì)證券的專門分析中. 指數(shù)模型以一種簡(jiǎn)單的方式來

2、計(jì)算協(xié)方差,證券間的協(xié)方差由單個(gè)一般因素的影響生成,為市場(chǎng)指數(shù)收益所代表,從而為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與公司特有的性質(zhì)提供了重要的新視角. 指數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)8/28/20224廈門大學(xué)金融系 陳善昂ri = E(Ri) + iF + ei = 證券i對(duì)因素F的敏感度指數(shù)F = 宏觀事件,非預(yù)期的宏觀事件,能影響證券的收益e =非預(yù)期的公司特有事件的影響假設(shè)：主要證券指數(shù)收益率（如S&P500的收益率）是一般宏觀因素的有效代表單因素模型8/28/20225廈門大學(xué)金融系 陳善昂(ri - rf) = i + i(rm - rf) + eiaRisk PremMarket Risk Prem or Index R

3、isk Premi 市場(chǎng)超額收益(rm - rf) = 0時(shí)的股票預(yù)期收益率i(rm - rf) =隨整個(gè)市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的收益成分ei =不受市場(chǎng)影響的公司特有事件a單指數(shù)模型8/28/20226廈門大學(xué)金融系 陳善昂Let: Ri = (ri - rf) Rm = (rm - rf)Risk premiumformat就有：Ri = i + i(Rm) + ei無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的超額收益8/28/20227廈門大學(xué)金融系 陳善昂證券特征線Security Characteristic LineExcess Returns (i)SCL.Excess returnson market indexRi =

4、i + iRm + ei.截距-2.59%斜率1.13578/28/20228廈門大學(xué)金融系 陳善昂Jan.Feb.Dec中值標(biāo)準(zhǔn)差5.41-3.44.2.43-.604.977.24.93.3.901.753.32市場(chǎng)超額收益GM的超額收益SAL舉例8/28/20229廈門大學(xué)金融系 陳善昂估計(jì)系數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差特有事件殘差項(xiàng)的方差 = 12.60%殘差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差 = 3.55%R-SQR = 0.575 證券特征線 Security Characteristic Line-2.590(1.547)1.1357(0.309)rGM - rf = + (rm - rf)回歸結(jié)果8/28/2022

5、10廈門大學(xué)金融系 陳善昂市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)或系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)公司特有風(fēng)險(xiǎn)或非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)總風(fēng)險(xiǎn)由以上兩者構(gòu)成風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成8/28/202211廈門大學(xué)金融系 陳善昂i2 = i2 m2 + 2(ei)式中：i2 =總方差i2 m2 =系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)2(ei) =公司特有風(fēng)險(xiǎn)ijm2=兩證券的協(xié)方差可見,證券i的方差由兩部分構(gòu)成：一是由宏觀因素的不確定性導(dǎo)致的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn);二是由隨機(jī)項(xiàng)帶來的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn).風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成的計(jì)算8/28/202212廈門大學(xué)金融系 陳善昂指數(shù)模型與分散化8/28/202213廈門大學(xué)金融系 陳善昂分散化以降低風(fēng)險(xiǎn)Number of SecuritiesSt. DeviationMarket RiskUni

6、que Risks2(eP)=s2(e) / nbP2sM28/28/202214廈門大學(xué)金融系 陳善昂說明單因素模型假設(shè)誤差項(xiàng)之間是不相關(guān)的,因而,得出了分散化可以消除特有風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)論.但實(shí)際上,如果組合中的證券數(shù)量不夠多,誤差項(xiàng)之間存在相關(guān)性,誤差項(xiàng)的方差就不為零.因此,單因素模型不是一個(gè)很精確的模型.8/28/202215廈門大學(xué)金融系 陳善昂指數(shù)模型的行業(yè)版本與Beta預(yù)測(cè)美林Merrill Lynch的行業(yè)版本 運(yùn)用總收益而不是超額收益進(jìn)行回歸，用S&P500作為市場(chǎng)組合的替代； a 有不同的解釋： a實(shí)際上是a = a + rf (1-b)的一個(gè)估計(jì),不等于指數(shù)模型的a.預(yù)測(cè) 從過去

7、的數(shù)據(jù)估算出貝塔值不可能是未來貝塔值的最佳結(jié)果,運(yùn)用回歸模型建立對(duì)貝塔值的估計(jì).收集不同時(shí)期的值,用模型：現(xiàn)在的=a+b(過去的),估計(jì)出a、b的值,進(jìn)而預(yù)測(cè)未來的值. 多元回歸模型預(yù)測(cè)的值,即現(xiàn)在的= a+b1(過去的)+b2(公司的大小)+ b3(負(fù)債率)+b4(成長(zhǎng)率),利用a、b1、b2、b3、 b4的估計(jì)值,預(yù)測(cè)未來的值.8/28/202216廈門大學(xué)金融系 陳善昂多因素模型Multifactor Models在單指數(shù)模型中,把影響收益的因素分解為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和公司特有風(fēng)險(xiǎn),這種分析方法不僅過于簡(jiǎn)單,而且把系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)限制在單一因素內(nèi)是不對(duì)的.實(shí)際上,用市場(chǎng)收益來概括的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)受多種因素影響

8、,如經(jīng)濟(jì)周期、利率和通貨膨脹率等.顯然,多因素模型可以給出影響收益的更好描述.運(yùn)用每個(gè)因素在每一時(shí)期的超額收益對(duì)股票的超額收益進(jìn)行多元回歸,估計(jì)股票收益對(duì)每一因素的beta值(即敏感度系數(shù)).8/28/202217廈門大學(xué)金融系 陳善昂雙因素、三因素與五因素模型雙因素模型：假設(shè)經(jīng)濟(jì)周期GDP和利率IR是兩個(gè)最重要的宏觀經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)來源. Fama and French的三因素模型：除市場(chǎng)收益外,他們考察了公司規(guī)模大小SIZE、托賓Q值比HML這兩個(gè)因素.五因素模型：陳、羅爾和羅斯把宏觀經(jīng)濟(jì)因素分解為：行業(yè)生產(chǎn)變動(dòng)百分比IP 、預(yù)期通脹變動(dòng)百分比EI、非預(yù)期通脹變動(dòng)百分比UI 、長(zhǎng)期公司債券對(duì)長(zhǎng)期政

9、府債券的超額收益CG、長(zhǎng)期政府債券對(duì)短期國(guó)庫(kù)券的超額收益GB.每一模型都進(jìn)行多元回歸分析,以回歸殘值方差估計(jì)公司特有風(fēng)險(xiǎn). 8/28/202218廈門大學(xué)金融系 陳善昂套利定價(jià)理論Arbitrage Pricing Theory，APT斯蒂芬羅斯Stephen Ross，1976從無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原理的角度考察了套利與均衡，推導(dǎo)出均衡市場(chǎng)中的資本資產(chǎn)定價(jià)關(guān)系，建立了套利定價(jià)理論。套利就是利用證券定價(jià)之間的不一致進(jìn)行資金轉(zhuǎn)移從中賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的行為。套利三要點(diǎn)： -零凈投入,不增加資金； -無(wú)因素風(fēng)險(xiǎn),套利組合對(duì)任何因素的敏感度為0； -正收益.以上所稱套利為純套利，還有風(fēng)險(xiǎn)套利(risk arbit

10、rage),后者是指在特定領(lǐng)域?qū)ふ叶▋r(jià)有偏差的證券的專業(yè)行為.8/28/202219廈門大學(xué)金融系 陳善昂套利機(jī)會(huì)套利機(jī)會(huì)-arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit.如果市場(chǎng)是有效的,套利機(jī)會(huì)將立即消失.因?yàn)槿魏瓮顿Y者,不考慮風(fēng)險(xiǎn)厭惡與財(cái)富狀況,均愿意盡可能多地?fù)碛刑桌M合的頭寸,大量頭寸的存在將導(dǎo)致價(jià)格上漲或下跌直至套利機(jī)會(huì)完全消除.8/28/202220廈門大學(xué)金融系 陳善昂Stock 現(xiàn)價(jià)$ 預(yù)期收益%標(biāo)準(zhǔn)差% A 10 25.0 29.58 B 10 20.0 3

11、3.91 C 10 32.5 48.15 D 10 22.5 8.58套利舉例8/28/202221廈門大學(xué)金融系 陳善昂中值 標(biāo)準(zhǔn)差 相關(guān)性PortfolioA,B,C 25.836.400.94 D22.258.58可以看出,由A,B,C三種證券(等權(quán)重)構(gòu)成的組合在所有環(huán)境下都比D的表現(xiàn)好.所以,任何投資者,無(wú)論是否厭惡風(fēng)險(xiǎn),只需對(duì)D做空頭,然后再購(gòu)買等權(quán)重的組合,就可以從中獲得好處.假如賣空D300萬(wàn)美元,然后用于購(gòu)買A,B,C各10萬(wàn)股,結(jié)果如下:套利組合8/28/202222廈門大學(xué)金融系 陳善昂Stock 美元投資(萬(wàn)元) 收益(萬(wàn)元) A 100 25.0 B 100 20.0

12、 C 100 32.5 D -300 -67.5_資產(chǎn)組合 0 10結(jié)果是:D價(jià)格下跌的同時(shí)A,B,C的價(jià)格上漲,或者只有D的價(jià)格下跌或只有A,B,C的價(jià)格上漲,這樣套利機(jī)會(huì)就被消除了.套利行為與收益:計(jì)算8/28/202223廈門大學(xué)金融系 陳善昂套利行為與收益:圖示E. Ret.St.Dev.* P* DShort 3 shares of D and buy 1 of A, B & C to form P.You earn a higher rate on the investment than you pay on the short sale.8/28/202224廈門大學(xué)金融系 陳善

13、昂APT與充分分散的投資組合rP = E (rP) + bPF + eP F=共同因素的預(yù)期值與實(shí)際值之間的差額,也稱驚喜因素;E (rP)=表示組合P的預(yù)期收益;bP=組合P對(duì)該因素的敏感度;eP=P特定的擾動(dòng),所有的非系統(tǒng)收益eP之間是相互獨(dú)立的,并與F相獨(dú)立.共同因素F和特定因素eP的期望值為0.該模型與CAPM模型相同.舉例:假定F為GDP的意外的百分比變化,預(yù)期今年增長(zhǎng)4%,某股票或組合的b為1.2.如果GDP只增長(zhǎng)了3%,則F為-1%,根據(jù)給定的b值可將其轉(zhuǎn)化一項(xiàng)表示比先前預(yù)測(cè)低1.2%的收益.這項(xiàng)意外加上特定的擾動(dòng)bP,便可得出該股票的收益對(duì)其原始預(yù)期值的全部偏離程度.8/28/

14、202225廈門大學(xué)金融系 陳善昂充分分散的投資組合如果一個(gè)投資組合是充分分散的，那么,它的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)將可以被分散掉，剩下的就只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。組合的方差由系統(tǒng)的與非系統(tǒng)的兩方面構(gòu)成,見下式,P2 = P2 F2 + 2(eP)2(eP)=Wi22(ei)如果組合是等權(quán)重的, 則Wi=1/n,當(dāng)n時(shí), 2(eP)=0. 也就是說,充分分散的投資組合應(yīng)當(dāng)滿足:按比例Wi分散于足夠大數(shù)量的證券中,而每種成分又足以小到使非系統(tǒng)方差2(eP)可以被忽略.于是,就有: rP = E (rP) + bPF8/28/202226廈門大學(xué)金融系 陳善昂充分分散投資組合與單個(gè)證券的比較FE(r)%Portfolio

15、FE(r)%Individual Security8/28/202227廈門大學(xué)金融系 陳善昂解釋從充分分散投資組合與單個(gè)證券的比較中可以看出,非分散化的股票受非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的影響,并呈現(xiàn)為分布在直線兩側(cè)的散點(diǎn).而充分分散化的投資組合的收益則完全由系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)決定,其收益率均在直線上.假如存在兩個(gè)充分分散化的投資組合A和B.A的收益率為10%, B的收益率為8%,兩者的b值均為1.于是就出現(xiàn)了套利機(jī)會(huì),即可以賣空B而買入A.這是因?yàn)?b相同的證券應(yīng)該擁有相同的預(yù)期收益,否則,就存在套利機(jī)會(huì).8/28/202228廈門大學(xué)金融系 陳善昂非均衡舉例E(r)%Beta for F1076Risk Free

16、4ADC.51.08/28/202229廈門大學(xué)金融系 陳善昂非均衡舉例的解釋b相同的證券應(yīng)該擁有相同的預(yù)期收益,否則,就存在套利機(jī)會(huì).現(xiàn)在討論的是不同b值的組合情況.如圖所示, rf=4%,將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與A點(diǎn)(預(yù)期收益為10%, b =1)連接成一條直線,一充分分散化的組合D(預(yù)期收益為7%, b =0.5)就落在該直線上.假如存在另一充分分散化的組合C(預(yù)期收益為6%,b =0.5)就落在D的下方.于是,套利機(jī)會(huì)就出現(xiàn)了,即賣出C而買入D就可以獲得1%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益.該例表明:為了排除套利機(jī)會(huì),所有充分分散化的投資組合的預(yù)期收益必須落在通過無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的直線上.這條直線給出了所有充分分散化投資

17、組合的預(yù)期收益值.8/28/202230廈門大學(xué)金融系 陳善昂E(r)%Beta (Market Index)Risk Free M1.0E(rM) - rfMarket Risk Premium APT with Market Index Portfolio8/28/202231廈門大學(xué)金融系 陳善昂1.APT大大簡(jiǎn)化了CAPM的假設(shè)條件.與CAPM一樣,APT假定:擁有相同預(yù)期的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者,市場(chǎng)不存在交易成本.但是,APT的限制條件不像CAPM那樣嚴(yán)格,其最基本的假設(shè)是證券收益率受某些經(jīng)濟(jì)因素的共同影響,但是沒有限定這些因素的個(gè)數(shù)及內(nèi)容.2.理論依據(jù)不同.APT建立在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原

18、理上,認(rèn)為市場(chǎng)在不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)達(dá)到均衡,證券價(jià)格正是因?yàn)橥顿Y者不斷進(jìn)行套利活動(dòng)而實(shí)現(xiàn)均衡.CAPM以均值-方差模型為基礎(chǔ),考慮當(dāng)所有投資者以相同方式選擇投資組合時(shí),如何確定證券價(jià)格.APT 與 CAPM比較18/28/202232廈門大學(xué)金融系 陳善昂APT 與 CAPM比較23.市場(chǎng)均衡的形成原由不同.CAPM中,投資者具有相同的預(yù)期,當(dāng)證券定價(jià)不合理時(shí),所有投資者都會(huì)改變投資策略,調(diào)整資產(chǎn)組合.CAPM假定在投資者共同行為的影響下,市場(chǎng)重新回到均衡狀態(tài).按照APT,不需要所有投資者都對(duì)不合理的證券價(jià)格產(chǎn)生反應(yīng),即使只有幾個(gè)投資者的套利行為也會(huì)使市場(chǎng)盡快回到均衡狀態(tài).4.聯(lián)系.兩者都是均衡模型:CAPM強(qiáng)調(diào)證券市場(chǎng)上所有證券的供需達(dá)到均衡,APT要求市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)從而使證券價(jià)格不存在套利機(jī)會(huì).從某種意義上說,CAPM是APT的一個(gè)特例.8/28/202233廈門大學(xué)金融系 陳善昂多因素套利定價(jià)理論前面都是假定只有一個(gè)系統(tǒng)因素影響證券收益.現(xiàn)分析多因素影響證券的收益的情況.由單因素模型可推導(dǎo)出雙因素模型：ri=E(ri)+i1F1+i2F2 +ei該模型可以直接發(fā)展為任意數(shù)量的多因素模型.多因素套利定價(jià)理論認(rèn)為：資產(chǎn)組合的全部風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)等于作為對(duì)投資者補(bǔ)償?shù)拿恳豁?xiàng)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的總和. 8/28/202234廈門大學(xué)金融系 陳善昂思考與練習(xí)