三角形四心的向量表示

1、三角形四心的向量表示第1頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日一、 外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心。 證明外心定理證明: 設(shè)AB、BC的中垂線交于點O， 則有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂線上， 因為O到三頂點的距離相等， 故點O是ABC外接圓的圓心 因而稱為外心OO第2頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心 的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。到的三頂點距離相等。故 是解析：由向量模的定義知的外心，選B。O是的外心若 為內(nèi)一點，則 是

2、的（ ） A內(nèi)心B外心 C垂心 D重心B第3頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日 二、垂心ABCABCABC三角形三邊上的高交于一點，這一點叫三角形的垂心。DEF證明: AD、BE、CF為ABC三條高， 過點A、B、C分別作對邊的平行線 相交成ABC，AD為BC 的中垂線；同理BE、CF也分別為 AC、AB的中垂線， 由外心定理，它們交于一點， 命題得證證明垂心定理ABC第4頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日例1如圖，AD、BE、CF是ABC的三條高， 求證：AD、BE、CF相交于一點。ABCDEFH又點D在AH的延長線上，AD、BE、CF相交于一點

3、證：設(shè)BE、CF交于一點H， 垂心第5頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日ABCO證：設(shè)例2已知O為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足:求證：化簡：同理：從而 垂心第6頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日1.O是的垂心是ABC的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心.第7頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日例3 O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點， 動點 P 滿足則P的軌跡一定通過ABC的 _ 在ABC的邊BC的高AD上.P的軌跡一定通過ABC的垂心.所以，時，解:第8頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日解:

4、 例4.（2005全國）點O是ABC所在平面上一點， 若 ， 則點O是ABC的（ ）（A）三個內(nèi)角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點（D）三條高線的交點則O在CA邊的高線上,同理可得O在CB邊的高線上.D 垂心 5. (2005湖南) P是ABC所在平面上一點，若 則P是ABC的（ ） A外心B內(nèi)心C重心D垂心D第9頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心。 證明重心定理 E F D G第10頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日3. O是的重心為的重心.是B

5、C邊上的中線AD上的任意向量，過重心.2.在中，給出等于已知AD是中BC邊的中線;第11頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日例1 P是ABC所在平面內(nèi)任一點.G是ABC的重心證明: G是ABC的重心即由此可得（反之亦然（證略）思考： 若O為ABC外心，G是ABC的重心，則O為ABC的內(nèi)心、垂心呢？第12頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日例2證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍 A B C E F D G證：設(shè)A, G, D共線，B, G, E共線可設(shè)即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF 重心第13頁，

6、共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日例2證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍另證: A B C E F D G 重心想想看？第14頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日四、內(nèi)心ABCABCABCABCABC三角形三內(nèi)角平分線交于一點，這一點為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。證明內(nèi)心定理證明 : 設(shè)A、C的平分線相交于I, 過I作IDBC，IEAC， IFAB，則有IE=IF=ID 因此I也在C的平分線上， 即三角形三內(nèi)角平分線 交于一點II E F D第15頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日1.設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長

7、，O是三角形ABC內(nèi)心的 充要條件是ACBOabc第16頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日2003天津理科高考題 2. O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點， 動點P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心B 內(nèi)心是BAC的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心； 第17頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日3.（2006陜西）已知非零向量 與 滿足 則ABC為（ ） A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形解法一：根據(jù)四個選擇項的特點，本題可采用驗證法來處理. 不妨先驗證等邊三角形，剛好適

8、合題意，則可同時 排除其他三個選擇項，故答案必選 D.D第18頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日 解法二：由于 所在直線穿過ABC的內(nèi)心，則由 (等腰三角形的三線合一定理)；又 ，所以 ,即ABC為等邊三角形，故答案選D.注: 等邊三角形(即正三角形)的“外心、垂心、 重心、內(nèi)心、中心 ” 五心合一！第19頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日 法一抓住了該題選擇項的特點而采用了驗證法,是處理本題的巧妙方法；法二要求學(xué)生能領(lǐng)會一些向量表達(dá)式與三角形某個“心”的關(guān)系，如 所在直線一定通過ABC的內(nèi)心; 所在直線過BC邊的中點，從而一定通過ABC的重心； 所

9、在直線一定通過ABC的垂心等.第20頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日【總結(jié)】(1).是用數(shù)量積給出的三角形面積公式; (2).則是用向量坐標(biāo)給出的三角形面積公式. 4. 在ABC中: (1)若CAa，CBb，求證ABC的面積 (2)若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )， 求證：ABC的面積 解:第21頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日ABC P第22頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日思考: 如圖，設(shè)點O在內(nèi)部，且有則 的面積與的面積的比為_ (2004年全國奧賽題) 3作AC、BC邊上的中點E、D，解1:DEABC O第23頁，共25頁，2022年，5月20日，0點29分，星期日作AC邊上的中點E，解2:思考: 如圖，設(shè)點O在內(nèi)部，且有則 的面積與的面積的比為_ (2004年全國奧賽題) 3E第24頁，共25頁，2022